周期特征值問題的Wilkinson型定理

（海軍航空工程學院 基礎部，山東 煙臺 264001）

Wilkinson 定理是代數特征值問題中的一個經典定理，在研究矩陣特征值的靈敏度時是非常重要的理論工具。1972年，J.H.Wilkinson 在論文[1]中證明了著名定理：設 A ∈ Cn×n，A x=λx，yHA=λyH，其中 x,y∈ Cn且x≠0，y≠0。假設λ是矩陣A的一個單特征值，λ的(絕對)條件數是

如果C(λ)＞1，則存在 E ∈ Cn×n使得λ是矩陣A+ E的一個重數至少為2的特征值，且

如果矩陣有重特征值，那么稱該矩陣關于特征值問題是病態的（ill-posed）。不難發現，Wilkinson定理實際上給出了一個矩陣A 到其相應的ill-posed集之間距離的簡單上界。由于在很多應用領域，如時變最佳控制和極點配置問題的研究中，一系列周期離散Riccati 方程的半正定解集的周期穩定不變子空間是需要已知的，而這些問題都可以歸納為周期特征值問題。因此，研究更為復雜的特征值問題，如周期特征值問題是十分必要的。

本文討論了周期特征值問題的條件數問題。首先，列舉了該類特征值問題的一些已有結果；然后，借助相關的證明方法將Wilkinson 定理推廣到了周期特征值問題中。

1 預備知識

則相應的周期特征值問題[2]是

式中：xj≠0，yj≠0，j=1,…,k，且有 x0=xk，

令(πα,)βπ是的一個單特征值，其中

定理1（周期Schur 分解定理）：存在酉矩陣Qj、Zj，使得

式中，j=1,…,k。

令 Z0=Zk，且

文獻[2]中給出了關于(πα,)βπ的條件數的定義及表達式

2 將Wilkinson 定理推廣到周期特征值問題中

式中：jδ 和jτ是正參數；ρ(?,)?為文獻[3]中所定義的弦度量。

應用文獻[2]中的方法，不難得到下述結果。

引理1：不失一般性，設那么

考慮變換[4-7]

式中，j=1,…,k。

那么，式(8)、(9)可以等價地寫為

由于 (πα,πβ)是單特征值，式(10)的系數矩陣是非奇異的（見文獻[2]），因此wj和 vj（j=1,…,k）可被惟一確定。

由式(8)、(9)，可得

令xj=Zje1（即Zj的第一列），且則

式中，j=1,…,k。

由式(4)、(11)，有

如果 wj≠0，j=1,…,k，則式(13)可寫為

令

由式(4)、(14)，(πα,πβ)是的一個重數至少為2的特征值，且

則 wj≠0，j=1,…,k。

綜上所述，可以得到以下結果。

定理2：如果 Cj(πα,πβ)，j=1,…,k的偏條件數滿足式(16)，則存在使得(πα,)βπ是的一個重數至少為2的特征值，且

至此，我們就得到了關于周期特征值問題的Wilkinson型定理。

[1]WILKINSON J H.Note on matrices with a veryill-conditioned eigenproblem[J].Numer.Math.,1972,19:176-178.

[2]LIN W W,SUN J G.Perturbation analysis for the eigenproblem of periodic pairs[J].Lin.Alg.Appl.,2001,337:157-187.

[3]SUN J G.Stability and accuracy:perturbation analysis of algebraic eigenproblems[M].Revised Version.Umea University,Sweden,2002.

[4]WILKINSON J H.On neighbouring matrices with quadratic elementary divisors[J].Numer.Math.,1984,44:1-21.

[5]DESMOND J HIGHAM,NICHOLAS J HIGHAM.Structured backward error and condition of generalized eigenvalue problems[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.,1998,20:493-512.

[6]DEMMEL J W.On condition numbers and the distance to the nearest ill-posed problem[J].Numer.Math.,1987,51:251-289.

[7]SUN J G.Some research problems[M].Preprint,2005.