非負(fù)矩陣最大特征值的新界值

李 華 (河南城建學(xué)院數(shù)理系,河南平頂山467044)

1 基本概念與引理

用A≥0(aij≥0)來表示A是非負(fù)矩陣,記ρ(A)為n階非負(fù)矩陣A的最大特征值。

由G.Frobenius不等式[1]知:

對列和也有相同的結(jié)論。

對于有非零行和的非負(fù)矩陣,文獻(xiàn)[2]把式(1)進(jìn)一步作了改進(jìn),有:

引理1[3]設(shè)A=(aij)為n階非負(fù)不可約矩陣,B=(A+I)n-1,其中,I為n階單位陣,則對任何正整數(shù)k有:

引理2[4]設(shè)A=(aij)為n階非負(fù)不可約矩陣,若存在正整數(shù)k使得ri(Ak)≠0(i=1,2,…,n),則:

引理3[5]設(shè)A是n階非負(fù)矩陣,若A有若干零行(列),設(shè)其編號為k1,k2,…,ks,化去A的k1,k2,…,ks行(列)以及k1,k2,…,ks列(行)后所得的矩陣為A1,則ρ(A1)=ρ(A)。

在以下的討論中均設(shè)非負(fù)矩陣既無零行也無零列。下面,筆者在文獻(xiàn)[2,3]的基礎(chǔ)上給出非負(fù)矩陣最大特征值的新界值。

引理4[2]設(shè)α是矩陣A的特征值,X=(x1,x2,…,xn)T,Y=(y1,y2,…,yn)T分別是矩陣AT和A對應(yīng)于α的特征向量,則:

引理5[2]若q1,q2,…,qn是正數(shù),則對任意實數(shù)p1,p2,…,pn,有:

引理6[6]設(shè)A是n階矩陣,ri(Ak),ci(Ak)分別表示矩陣Ak的第i行行和與第i列列和,則:

2 主要結(jié)果

證明由于ri(B)≠0,則ri(Bk)≠0。設(shè) X=(x1,x2,…,xn)T＞0,Y=(y1,y2,…,yn)T＞0分別是矩陣A和AT對應(yīng)于ρ(A)的特征向量,且,則:

由引理4知:

則:

由引理5知:

定理2設(shè)矩陣則對任意正整數(shù)k,極限k和存在,且:

證明因為B=(A-αI)n-2,則有AB=BA,AkBk=ABAk-1Bk-1,則對任意正整數(shù)k,由引理5及引理6知:

即:

兩邊取極限,即:

對列和,也有類似定理1和定理2的結(jié)果。

3 數(shù)值算例

例1[4]設(shè)矩陣估計A的最大特征值。

A的最大特征值估計結(jié)果比較如表1。例1的實際結(jié)果ρ(A)=7.7290。由表1可以看出,定理1得到的結(jié)果在一定程度上要其他方法的結(jié)果更精確。

表1 最大特征值估計結(jié)果

[1]Frobenius G.Uber matrizen aus nich t negativen elementen[M].Berlin:S B P ress,1912.456～477.

[2]M inc H.Nonnegative Matrices[M].New york:Wiley,1988.11～19,24～36.

[3]殷劍宏.非負(fù)矩陣最大特征值的新界值[J].數(shù)值計算與計算機(jī)應(yīng)用,2002,23(4):282～295.

[4]景何妨,尤偉華,司書江.非負(fù)矩陣最大特征值的新界值 [J].蘭州大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版),2004,40(5):1～3.

[5]談雪媛.有關(guān)非負(fù)矩陣半徑及分離度的估計 [J].南京師范大學(xué)學(xué)報,2004,(1):24～27.

[6]Liu S L.Bounds for the greatest characteristic root of a nonnegativem atrix[J].Lin A lg Appl,1996,239:151～160.