巧用“補形法” 妙解幾何題

在解幾何題時，常常根據求解的需要，適當添加一些輔助線，把原來的圖形補充成一個熟悉、簡單、特殊的新幾何圖形，如等邊三角形、矩形、正方形、圓等。然后通過對圖形的綜合分析，探求問題的答案，這種方法稱為“補形法”。補形法不僅能大大地縮短從已知到未知的探求過程，使解題方法簡潔、明快，而且還能逐步培養學生豐富的想象力，促進學生創造性思維的發展。

一、補成等腰三角形

例1△ABC中，AD是∠A的平分線，且AD=AB。CM垂直AD的延長線于M，求證:AB+AC=2AM。

分析:如圖1，由∠1=∠2，AM⊥MC，自然地想到等腰三角形的三線合一定理。延長AB與CM交于E，于是將原圖形補成等腰三角形AEC。過M作BC的平行線交BE于N。則不難證明AB+AC=AB+AE=2AN=2AM。

二、補成正三角形

例2三角形ABC中，∠B=60°，∠A=20°，點D平分AC、點E在AB上，且AE=AD。假設AB=1，試求S△ABC+2S△ADE的值。

分析:如圖2，延長BC至F，使BF=AB，連AF，則△ABF為正三角形，在FC上取FG=BC，連AG，則易證△ABC≌△AFG，從而∠CAG=20°=∠DAE∶AC∶AG=1=AE∶AD。

從而可證△ADE∽△ACG。

則2S△ADE=S△ACG 。

S+2S=S=。

三、補成直角三角形

例3已知在梯形ABCD中，AB//CD，∠A+∠B=90°，E、F分別是底邊AB、CD的中點，求證:EF=(AB-CD)。

分析:如圖3，已知梯形ABCD中同一底上的兩個角是互余關系，若平移兩腰DA和CB，使∠A、∠B集中在△GFH內，于是∠GFH=90°，即△GHF為直角三角形，又因為E為AB的中點，故E也是GH的中點，那么EF=GH，而GH=AB-(AG+BH)=AB-(DF+CF)=AB-CD，所以GH=AB-CD，從而EF=(AB-CD)。

四、補成矩形

例4如圖4，已知在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=2，BC=6，求四邊形ABCD的面積。

解:如圖4，構造矩形BCEF，得AE=ED=，DF=FC=6-。

由S=S-S-S，得S=12。

五、補成正方形

例5已知△ABC中，∠A=45°，AD⊥BC于D，BD=3，DC=2，求三角形ABC的面積。

分析:如圖5，以AB為軸補畫一個與三角形ABD對稱的直角三角形ABE，再以AC為軸補畫一個與三角形ACD對稱的直角三角形ACF，延長EB、FC交于點G，由∠CAB=45°，易知四邊形AEGF，為正方形且邊長等于AD。

設AD=x，則BG=x-3，CG=x-2。

在直角三角形BCG中，由勾股定理得(x-2)+(x-3)=5，

解得x=6或 x=-1(舍去)。

從而三角形ABC的面積等于

×5×6=15。

六、補成圓形

例6如圖6，已知AB是半圓的直徑，C、D是AB上兩點，M、P、N是半圓上三點，且∠ACM=∠BCP，∠ADP=∠BDN，若、BN的度數分別是20°和60°，求∠P的度數。

分析:此題要在半圓中解決問題很困難，如果能從局部想到整體，把半圓補成整圓，再延長PC、PD，把∠P轉化為圓周角，同時運用圓的對稱性求出這個圓周角所對弧的度數，本題迎刃而解。

解把半圓補成整圓，分別延長PC、PD交圓于E、F。

則∠ACE=∠BCP。

∵∠ACM=∠BCP，

∴∠ACE=∠ACM。

∵AM的度數是20°。

∴由圓的對稱性可知的度數是20°。

同理可知:的度數也是60°。

∴的度數為180°-20°-60°=100。

∴∠P=×100°=50°。

總之，“補形法”是一種常用的解幾何問題的方法，這種方法的關鍵是要擺脫原題條件和圖形的束縛，放寬自己的視野進行勇敢探索(因為添輔助線一般都在圖形的內部，而補形更多的是向外添輔助線)。學生如果能很好地掌握補形的方法，熟練運用這種方法，那么對提高解題能力有很重要的作用。◆(作者單位:江西省橫峰縣第二中學)

□責任編輯:包韜略