數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)\\作用及教學(xué)

摘要：圖式是依據(jù)先前經(jīng)驗(yàn)把各種相關(guān)概念有意義地組織起來的認(rèn)知模式。數(shù)學(xué)問題中的圖式的各部分間的關(guān)系可概括為數(shù)量關(guān)系，利用圖式解決問題是問題解決的途徑之一。新課改中的數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)中，仍應(yīng)該正確認(rèn)識和恰當(dāng)發(fā)揮數(shù)量關(guān)系的作用，在把握適度原則的前提下，繼續(xù)重視數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：數(shù)量關(guān)系

圖式

本質(zhì)

作用

教學(xué)

新課改前的小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中十分重視數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，新課改以來，由于多種原因，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)有被弱化或邊緣化的傾向，令許多老師產(chǎn)生了一些疑問：“現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)還要不要進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的教學(xué)?”“在解決問題教學(xué)中如何看待數(shù)量關(guān)系的作用?”“傳統(tǒng)數(shù)量關(guān)系教學(xué)的優(yōu)勢如何在當(dāng)前的教學(xué)中發(fā)揮其應(yīng)有的功能?”……面對諸如此類的問題，迫切需要我們對數(shù)量關(guān)系的教學(xué)進(jìn)行科學(xué)的認(rèn)識。以促進(jìn)新課程背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)。

一、數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)

數(shù)學(xué)問題解決中的數(shù)量關(guān)系，其本質(zhì)屬于心理學(xué)中圖式的成分之一。心理學(xué)中對圖式的概念有多種相似的闡述。它最初是由英國心理學(xué)家巴特萊特在1932年提出來的，他將個(gè)體積極組織過的過去的反應(yīng)或過去的經(jīng)驗(yàn)稱為圖式。同時(shí)，圖式又是著名心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)知發(fā)展論中的一個(gè)核心概念，他認(rèn)為：“以身體感覺為基礎(chǔ)的基本行為模式，可以視之為個(gè)體用以了解周圍世界的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)稱為圖式，也可稱為認(rèn)知圖式。”圖式就是動(dòng)作的結(jié)構(gòu)或組織，這些動(dòng)作在相同或類似的環(huán)境中由于重復(fù)而引起遷移或概括。圖式最初來自先天遺傳，一經(jīng)和外界接觸，在適應(yīng)環(huán)境的過程中圖式就不斷變化、豐富和發(fā)展起來。圖式經(jīng)過同化、順應(yīng)、平衡而逐步構(gòu)成新的水平，如感覺動(dòng)作圖式內(nèi)化以后就成為表象圖式、直覺思維圖式，以至到一定年齡階段，就構(gòu)成運(yùn)算思維圖式等。因此，皮亞杰將圖式視為人類吸收知識的基本架構(gòu)，個(gè)體的認(rèn)知發(fā)展或智力發(fā)展，均可解釋為個(gè)體的圖式隨年齡的增長而產(chǎn)生的改變。

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家魯墨哈特認(rèn)為，圖式是用來描述一類人、一類客體、一類事件的共同特征的。它就像存在于我們頭腦內(nèi)部的表示一類事物共同特征的一種“表格”。即圖式是我們頭腦中關(guān)于一類客體、事件或情境的一般知識結(jié)構(gòu)，一般由組成部分、各部分的排列順序、各部分間的關(guān)系、每部分的變化范圍四種成分構(gòu)成。圖式有一定的概括性，可應(yīng)用于多種情境中：代表的是個(gè)人所知道的知識；代表的知識是圍繞一定的主題組織起來的，圖式中包含有槽或空位，可由環(huán)境中的信息來加以填充、解釋、組織與記憶，還可以使我們超越給定的信息做出預(yù)測和推理。腳本和框架都是個(gè)體對一類事件、情境的一般化的表征，是圖式的具體例子。如：媽媽到服裝店買衣服，短袖衫每件32元，褲子每條45元。她買了5件短袖衫和6條褲子一共要付多少元?這個(gè)問題中的“買衣服”就是一類事件的圖式，“買衣服”一般包括來到服裝店、選擇衣服、算總價(jià)、付錢和找錢等幾件事，隱含其中的與問題解決有關(guān)的各部分?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系是“買5件短袖衫的錢+買6條褲子的錢=一共要付的錢”，當(dāng)然，其中還有“付出的錢一買衣服的錢=找回的錢”這一數(shù)量關(guān)系，如果學(xué)生不熟悉這些，對解決此類問題是不利的。

在小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決中，圖式集中體現(xiàn)為學(xué)生掌握不同類型問題的結(jié)構(gòu)。我們在教學(xué)中常常把這種結(jié)構(gòu)中各部分?jǐn)?shù)量之間存在的關(guān)系概括為數(shù)量關(guān)系，其文字表達(dá)就是數(shù)量關(guān)系式，數(shù)量關(guān)系在解決數(shù)學(xué)常規(guī)問題中具有重要作用。如“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的數(shù)學(xué)問題：“學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)。三年級有56人參賽，五年級的參賽人數(shù)是三年級的4倍。五年級有多少人參賽?”這樣的題型就可以看作一個(gè)圖式，它有兩個(gè)變量：一個(gè)數(shù)和倍數(shù)。它們間的數(shù)量關(guān)系式是：“一個(gè)數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù)”或“一倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù)”。學(xué)生掌握了這樣的數(shù)量關(guān)系，解答此類問題就十分快捷。而且，這兩個(gè)變量是可以不斷變化的。

二、圖式在問題解決過程中的作用

心理學(xué)家早就將問題解決看作一個(gè)過程。認(rèn)知心理學(xué)家吉克在1986年提出了一個(gè)問題解決過程的模型：

該模型突出了問題解決過程的兩大特點(diǎn)：一是問題解決的過程不是線性的，是一個(gè)經(jīng)歷由失敗到成功的反復(fù)進(jìn)行的過程，在問題未得到解決時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致新的問題解決。二是問題解決方法的形成有兩條途徑。第一條途徑是在建構(gòu)了問題的表征、激活了正確的圖式后，就不必探索嘗試多種方法而能夠明顯地解決問題了。第二條途徑是問題解決者沒有可以利用的圖式。必須通過對各種方法的搜索檢驗(yàn)才能找到合適的解決方法。由此我們可以明顯地看出圖式在問題解決中的重要作用，對解決學(xué)生曾經(jīng)經(jīng)歷過的類似的數(shù)學(xué)問題時(shí)。學(xué)生只要激活已有的圖式(主要是利用已有的數(shù)量關(guān)系)解決問題就行了。無需再經(jīng)歷第一次解決此類問題的探索過程。但是，從加涅有關(guān)問題解決的觀點(diǎn)看，第一條途徑嚴(yán)格說來不是解決問題，第二條途徑才是加涅認(rèn)為的創(chuàng)造即解決問題。根據(jù)這些我們不難解釋各地反映出的新課改以來關(guān)于學(xué)生解決問題能力情況的矛盾結(jié)論。部分老師根據(jù)學(xué)生解決問題的測試分?jǐn)?shù)降低了，認(rèn)為現(xiàn)在的學(xué)生解決問題的能力下降了。其實(shí)分?jǐn)?shù)下降只能說明由于數(shù)量關(guān)系教學(xué)弱化后學(xué)生利用第一條途徑解決問題的能力下降了。而新課程重視培養(yǎng)的是學(xué)生利用第二條途徑解決問題的能力，所以，部分老師測試的結(jié)果是學(xué)生解決問題(尤其是非常規(guī)問題)的能力提高了，原因就在于此。

三、新課改數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)量關(guān)系教學(xué)

新課改下的數(shù)學(xué)教學(xué)。仍然應(yīng)該吸取課改前數(shù)量關(guān)系教學(xué)的成功經(jīng)驗(yàn)，在把握適度原則的前提下，繼續(xù)重視數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。這是因?yàn)椋芯繑?shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)要求，新課改數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，已經(jīng)不再局限于解決問題的教學(xué)，它已經(jīng)在數(shù)感培養(yǎng)、符號意識、數(shù)學(xué)建模、幾何圖形、問題解決等多領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中都起有重要作用；同時(shí)，利用圖式中的數(shù)量關(guān)系分析問題，也是解決問題尤其是常規(guī)問題的簡捷途徑。‘而且，要實(shí)現(xiàn)解決問題中從“抽象出的數(shù)學(xué)問題”向“解決問題方法”的轉(zhuǎn)化。“全面分析數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系”是十分重要的環(huán)節(jié)。因此，新課改下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)仍然應(yīng)該重視數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。主要應(yīng)該把握好這樣幾點(diǎn)：

1 注重?cái)?shù)量關(guān)系的積累和歸納。四則運(yùn)算的意義是歸納數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。在解決問題的教學(xué)中，教師要充分領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖，引導(dǎo)學(xué)生將幾個(gè)同類情境中的問題與運(yùn)算意義相聯(lián)系，充分經(jīng)歷思考與體驗(yàn)的過程，在學(xué)生思考情境中的問題與數(shù)學(xué)意義的聯(lián)系中，潛移默化地滲透基本數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，順利實(shí)現(xiàn)對數(shù)量關(guān)系的積累和歸納。為學(xué)生解決問題能力的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2 注重基本數(shù)量關(guān)系的抽象概括與應(yīng)用。“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”、“速度×?xí)r間=路程”、“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”等基本的數(shù)量關(guān)系，具有高度的概括性和廣泛的應(yīng)用價(jià)值，它們是概括性的陳述性知識，是陳述性知識的精華。教師應(yīng)該結(jié)合具體的問題情境幫助學(xué)生正確理解，并在此基礎(chǔ)上通過抽象概括，進(jìn)行變式運(yùn)用，逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)化遷移和記憶，對提高學(xué)生解決問題的能力發(fā)揮良好作用。

3 與解決問題方法策略的學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合。數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，應(yīng)該緊密結(jié)合解決問題的過程進(jìn)行，并可以和解決問題的方法策略結(jié)合在一起進(jìn)行教學(xué)，如在運(yùn)用綜合、分析、畫圖等策略解決問題的過程中，都可以與數(shù)量關(guān)系的教學(xué)相結(jié)合。在具體解決問題的過程中，數(shù)量關(guān)系與方法策略都對問題解決起重要作用，將分析數(shù)量關(guān)系和運(yùn)用解決問題方法策略的有機(jī)結(jié)合。就能夠在兩者的共同作用下幫助學(xué)生順利找到解決問題的途徑。

4 防止數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)中的不良作用。可以借鑒課改前的一些做法，適當(dāng)進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練，但無需像過去那樣將數(shù)量關(guān)系概括得過細(xì)過死，似乎解決每道題都離不開數(shù)量關(guān)系。

數(shù)量關(guān)系的教學(xué)已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的諸多領(lǐng)域，尤其在數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)量關(guān)系更發(fā)揮著重要的作用，它是學(xué)生有效解決數(shù)學(xué)問題的工具之一。故只要我們在正確認(rèn)識數(shù)量關(guān)系教學(xué)的本質(zhì)和教學(xué)中利弊得失的基礎(chǔ)上，恰當(dāng)進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，就一定能夠讓數(shù)量關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮應(yīng)有的作用，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。

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(作者單位：江蘇省江陰市英橋國際學(xué)校)