不能再下降的口算能力等

策劃人語(yǔ)

眾所周知，口算是一切筆算、簡(jiǎn)算和估算的基礎(chǔ)，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“要重視口算”。而實(shí)際情況是，很多人認(rèn)為口算就是簡(jiǎn)單的口頭計(jì)算，只是一種單一的運(yùn)算技能，沒(méi)有多大的思維含量，因此長(zhǎng)期以來(lái)使得口算處于“集體輕視”狀態(tài)。

本期這組文章，從一項(xiàng)一年級(jí)初入學(xué)兒童的加減法基本口算現(xiàn)狀的調(diào)查談起，進(jìn)而引發(fā)我們深入思考：課程改革后學(xué)生的口算能力為什么下降?當(dāng)前的口算教學(xué)到底出了什么問(wèn)題?怎樣采取有效策略提高口算教學(xué)的效益并影顯其核心價(jià)值?

從一項(xiàng)口算能力調(diào)查談起

徐 斌

一 問(wèn)題的提出

筆者在一年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)以及調(diào)研中常常發(fā)現(xiàn)，一年級(jí)新入學(xué)兒童的加減法口算能力很不平衡。有的學(xué)生在學(xué)前就已經(jīng)經(jīng)歷了幾年的加減法計(jì)算練習(xí)，有的學(xué)生不僅10以內(nèi)加減法能熟練計(jì)算，甚至20以內(nèi)、100以內(nèi)加減法也會(huì)計(jì)算，同時(shí)也還有不少學(xué)生20以內(nèi)加減法基本不會(huì)計(jì)算。這樣的情況，給我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)帶來(lái)了很多值得思考的問(wèn)題：一年級(jí)新人學(xué)兒童的20以內(nèi)加減法口算能力到底是怎樣的現(xiàn)狀?造成這種現(xiàn)狀的原因有哪些?面對(duì)這樣的現(xiàn)狀。如何改進(jìn)我們的計(jì)算教學(xué)?入學(xué)之前的加減法口算學(xué)習(xí)對(duì)入學(xué)后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有怎樣的影響?

二 調(diào)查的方法

1 調(diào)查對(duì)象。蘇州工業(yè)園區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)2007年和2008年秋季一年級(jí)新人學(xué)的所有兒童。調(diào)查時(shí)間為當(dāng)年9月中旬(調(diào)查時(shí)間之所以安排在9月中旬，主要基于如下考慮：一方面，9月上旬，剛?cè)雽W(xué)兒童的各項(xiàng)學(xué)習(xí)常規(guī)尚沒(méi)有初步形成，甚至有少數(shù)學(xué)生書(shū)寫(xiě)數(shù)字還不會(huì)；另一方面，此時(shí)尚沒(méi)有正式學(xué)習(xí)加法和減法，不會(huì)影響所測(cè)內(nèi)容的客觀性)。

2 調(diào)查內(nèi)容。20以內(nèi)加減法。我們?cè)O(shè)計(jì)了4份口算測(cè)試卷，分別測(cè)試lO以內(nèi)加法(25題)、lO以內(nèi)減法(25題)、20以內(nèi)進(jìn)位加法(36題)和20以內(nèi)退位減法(36題)。命題時(shí)依據(jù)隨機(jī)原則安排題目呈現(xiàn)的順序，同時(shí)考慮題目的典型性與分布率。

3 調(diào)查方式。本調(diào)查采用試卷測(cè)試、觀察、訪談等方式，共收回有效試卷707份。

三 調(diào)查結(jié)果與分析

經(jīng)過(guò)兩年的調(diào)查，我們對(duì)有效試卷采用SPSS11.5工具軟件進(jìn)行了數(shù)據(jù)處理。結(jié)果如下：

1 基本情況。

從表1可以基本了解新入學(xué)兒童20以內(nèi)加減法基本口算的總體情況。其中值得關(guān)注的是，兩年的調(diào)查結(jié)果中，10以內(nèi)加法的滿分率分別達(dá)到75.10％和77.80％，正確率則高達(dá)97.64％和98.36％；10以內(nèi)減法的滿分率達(dá)到52.50％和52.30％，正確率高達(dá)93.64％和94.08％；20以內(nèi)進(jìn)位加法的滿分率達(dá)28.70％和34.20％，正確率達(dá)到85.97％和75.56％；而20以內(nèi)退位減法的滿分率僅為18.10％和13.80％，正確率為62.72％和36.58％。也就是說(shuō)，在一年級(jí)新生剛?cè)雽W(xué)，尚未正式系統(tǒng)學(xué)習(xí)20以內(nèi)加減法時(shí)，就有超過(guò)四分之三的兒童會(huì)正確計(jì)算10以內(nèi)加法了，有超過(guò)一半的兒童會(huì)正確計(jì)算10以內(nèi)減法，有三分之一左右的兒童會(huì)正確計(jì)算20以內(nèi)進(jìn)位加法。只有將近五分之一的兒童會(huì)正確計(jì)算20以內(nèi)退位減法。

從標(biāo)準(zhǔn)差的值來(lái)看，10以內(nèi)減法的離散程度比10以內(nèi)加法大(兩年中減法計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差分別為3.66和3.67，加法計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.95和1.21)。20以內(nèi)退位減法的離散程度比20以內(nèi)進(jìn)位加法大(兩年中退位減法計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差分別為13.04和14.40，進(jìn)位加法計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差分別為7.55和11.36)。

2 正確率分布情況。

從表2、表3的分類統(tǒng)計(jì)可以看出：

(1)10以內(nèi)加減法的得分分布情況類似。前四個(gè)分?jǐn)?shù)段(0～5，6～10，11～15，16～20)的人數(shù)比較少：10以內(nèi)加法2007年占總數(shù)的2，64％，2008年占總數(shù)的1.13％：10以內(nèi)減法2007年占總數(shù)的8，68％，2008年占總數(shù)的6.34％。而第五個(gè)分?jǐn)?shù)段(21-25)的人數(shù)很多，10以內(nèi)加法2007年占總數(shù)的97.36％，2008年占總數(shù)的98.87％；10以內(nèi)減法2007年占總數(shù)的91.32％，2008年占總數(shù)的93.66％。這反映了新入學(xué)兒童大多數(shù)會(huì)計(jì)算10以內(nèi)的加減法。

(2)20以內(nèi)進(jìn)位加法和退位減法的得分分布情況略有不同。總體上，進(jìn)位加法計(jì)算的前六個(gè)分?jǐn)?shù)段(0～5，6～10，11～15。16～20，21～25，26～30)的總?cè)藬?shù)2007年占總數(shù)的26.04％，2008年占總數(shù)的39.37％。而第七個(gè)分?jǐn)?shù)段(31～36)的人數(shù)都超過(guò)了60％；退位減法的得分情況很不均衡，尤其值得關(guān)注的是2008年測(cè)試中，退位減法0～5分的學(xué)生占到了48.42％，比2007年的16.60％足足高了31.82個(gè)百分點(diǎn)，這表明2008年有將近一半的學(xué)生幾乎不會(huì)計(jì)算20以內(nèi)退位減法。

四、結(jié)論、思考與建議

1 結(jié)論。從以上調(diào)查，可以看出一年級(jí)新入學(xué)兒童20以內(nèi)加減法基本口算能力情況：

10以內(nèi)加法的口算能力很強(qiáng)，10以內(nèi)減法的口算能力比較強(qiáng)。由于兒童在學(xué)前的生活中經(jīng)常見(jiàn)到10以內(nèi)的數(shù)。而且通過(guò)觀察和訪談得知，學(xué)前兒童大多在家長(zhǎng)和幼兒園里非正式地學(xué)習(xí)和接觸過(guò)10以內(nèi)加減法。具體有如下的幾種狀況：大多數(shù)兒童是依賴實(shí)物數(shù)數(shù)(包括扳手指頭)來(lái)獲得結(jié)果的，少數(shù)兒童能初步由逐一計(jì)數(shù)過(guò)渡到按群計(jì)數(shù)，極個(gè)別兒童已經(jīng)通過(guò)多次口算而擺脫了實(shí)物依賴，能熟練算出得數(shù)。

20以內(nèi)進(jìn)位加法的口算能力比較弱，20以內(nèi)退位減法的口算能力很弱。雖然從認(rèn)數(shù)和數(shù)數(shù)的范圍來(lái)看，入學(xué)前兒童似乎能數(shù)20以內(nèi)甚至100以內(nèi)的數(shù)，但是，他們的認(rèn)數(shù)水平是表面的，很少有兒童能從數(shù)的位值原則和計(jì)數(shù)原理的角度來(lái)認(rèn)數(shù)和計(jì)算。所以，20以內(nèi)加減法的口算能力與10以內(nèi)加減法相比。明顯較弱。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，那些依賴扳手指頭來(lái)計(jì)算10以內(nèi)加減法的兒童，在計(jì)算20以內(nèi)加減法時(shí)，由于手指頭不夠用而無(wú)法計(jì)算。

通過(guò)學(xué)生測(cè)試時(shí)的觀察以及個(gè)別訪談我們也發(fā)現(xiàn)，新入學(xué)兒童20以內(nèi)加減法運(yùn)算的策略差異性很大。主要表現(xiàn)為以下幾種策略：逐一數(shù)手指，按順序口頭數(shù)數(shù)，通過(guò)扳手指接下去數(shù)，用數(shù)的組成算，通過(guò)湊十或分解推算，直接提取記憶結(jié)果，等等。我們認(rèn)為，新入學(xué)兒童進(jìn)行20以內(nèi)加減法運(yùn)算策略的運(yùn)用，反映了兒童對(duì)數(shù)概念及其關(guān)系的理解與運(yùn)用，反映了兒童早期數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展水平和個(gè)體差異，是其非正式的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力之一。對(duì)進(jìn)入小學(xué)后的正式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將產(chǎn)生重要影響。

2 思考與建議。

(1)對(duì)教學(xué)的建議。首先，重視10以內(nèi)加減法的基礎(chǔ)教學(xué)。6～7歲兒童的邏輯運(yùn)算能力處于“前運(yùn)算階段”，并逐步向“具體運(yùn)算階段”過(guò)渡，簡(jiǎn)單計(jì)算事實(shí)上還未完全進(jìn)入其長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)，其計(jì)算需要依賴于感知經(jīng)驗(yàn)。兒童入學(xué)之前計(jì)算加減法，往往是依靠扳手指或借助其他實(shí)物數(shù)出得數(shù)等外部策略獲得結(jié)果。因此，一年級(jí)教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，要特別注意把認(rèn)數(shù)與計(jì)算結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生在理解加、減法含義的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)計(jì)算。教學(xué)時(shí)，可以在直觀情境中先幫助學(xué)生理理加、減法含義，然后放手讓學(xué)生算出得數(shù)，再引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出計(jì)算方法，在觀察、比較、歸納中逐步過(guò)渡到利用10以內(nèi)數(shù)的組成來(lái)按群計(jì)算，并逐步擺脫手指和其他實(shí)物，再通過(guò)訓(xùn)練，達(dá)到看見(jiàn)或聽(tīng)見(jiàn)10以內(nèi)加減法，都能很快直接說(shuō)出得數(shù)，從而達(dá)到“自動(dòng)化”的程度。

其次，加強(qiáng)20以內(nèi)進(jìn)位加法和退位減法的方法教學(xué)。小學(xué)生口算加減法的方法一般存在3個(gè)層次：逐一重新計(jì)數(shù)一借數(shù)數(shù)加算或減算一按數(shù)群運(yùn)算。在教學(xué)基本口算時(shí)，要重視讓學(xué)生逐步掌握按數(shù)群運(yùn)算的方法。在教學(xué)初期，為了達(dá)到算法指導(dǎo)下的正確計(jì)算，可不作計(jì)算速度的要求。20以內(nèi)進(jìn)位加法和退位減法與10以內(nèi)加減法不同的是，在計(jì)算過(guò)程中除了要用到數(shù)的組成以外，更重要的是計(jì)算方法問(wèn)題。盡管課程改革以來(lái)，在計(jì)算教學(xué)中大力倡導(dǎo)了“算法多樣化”的思想，但是，在教學(xué)時(shí)也要重視“基本算法”。20以內(nèi)進(jìn)位加法教學(xué)時(shí)，要幫助學(xué)生深入理解“湊十法”的基本原理；而20以內(nèi)退位減法教學(xué)時(shí)，要利用加、減法的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生靈活掌握算法。而且在教學(xué)中還要注意，對(duì)某一個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)。不要求“一題多種算法”，以免互相干擾。

再次，科學(xué)進(jìn)行20以內(nèi)加減法的口算訓(xùn)練。口算，“原先是一個(gè)思維問(wèn)題，一旦掌握了計(jì)算法則，經(jīng)反復(fù)練習(xí)，也就成了記憶問(wèn)題”。基本口算作為一項(xiàng)基本功，在整個(gè)小學(xué)階段要不斷線地進(jìn)行訓(xùn)練，應(yīng)結(jié)合不同年級(jí)的教材和學(xué)生的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)靥峁┯?xùn)練材料，做到適時(shí)、適量、適度。口算訓(xùn)練時(shí)，要特別注意目的性和針對(duì)性。由于基本口算結(jié)構(gòu)單一，數(shù)域范圍小，有些教師容易忽視或命題時(shí)隨意性很大，易造成各題練習(xí)次數(shù)不合理，甚至出現(xiàn)易題多練、難題少練的現(xiàn)象。因此要在具體分析的基礎(chǔ)上，合理選擇訓(xùn)練的內(nèi)容。針對(duì)學(xué)生口算能力形成的心理特點(diǎn)，在開(kāi)始練習(xí)時(shí)，應(yīng)注意練習(xí)的量不宜太大，速度不宜太快。確保口算的準(zhǔn)確性和思考過(guò)程的清晰度；一段時(shí)間后。適當(dāng)增加練習(xí)量并提出速度要求；最后達(dá)到看到算式就能較快地說(shuō)出和寫(xiě)出得數(shù)的目標(biāo)，使學(xué)生建立起算式與得數(shù)之間的直接聯(lián)系，簡(jiǎn)縮思維過(guò)程，并逐步提出口算自動(dòng)化的要求。

(2)對(duì)教材的建議。由調(diào)查發(fā)現(xiàn)，新人學(xué)兒童10以內(nèi)加減法口算的基礎(chǔ)比較好(有超過(guò)半數(shù)的學(xué)生會(huì)正確計(jì)算)。因此在一年級(jí)數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)時(shí)，可以適當(dāng)縮短這部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)間，把更多的篇幅用來(lái)進(jìn)行20以內(nèi)進(jìn)位加法和退位減法教學(xué)。例如蘇教版課程標(biāo)準(zhǔn)教材一年級(jí)上冊(cè)中用了35個(gè)頁(yè)碼(P40～P75)近30節(jié)課時(shí)來(lái)教學(xué)10以內(nèi)的加減法，人教版一年級(jí)教材中用了60個(gè)頁(yè)碼(P14～P31教學(xué)“1～5的認(rèn)識(shí)和加減法”。P42～P83教學(xué)“6～10的認(rèn)識(shí)和加減法”)近50節(jié)課時(shí)來(lái)教學(xué)10以內(nèi)加減法。北師大版一年級(jí)教材也用了28個(gè)頁(yè)碼(P22～P49)20余課時(shí)來(lái)教學(xué)10以內(nèi)加減法，西南師大版一年級(jí)教材用了50個(gè)頁(yè)碼(P4～P53)近40節(jié)課時(shí)來(lái)教學(xué)10以內(nèi)加減法。筆者建議教材編寫(xiě)這部分內(nèi)容時(shí)，盡可能縮短10以內(nèi)加減法的課時(shí)或者給予更多彈性安排，把更多的時(shí)間用來(lái)在教材中適當(dāng)增加口算的練習(xí)量，增加訓(xùn)練的形式，以提高口算教學(xué)和訓(xùn)練的實(shí)效性。

(3)對(duì)學(xué)前計(jì)算教學(xué)的建議。經(jīng)過(guò)觀察和訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)前階段兒童的加減法計(jì)算。大多是家長(zhǎng)和幼兒園老師教會(huì)的。而不同水平層次的家長(zhǎng)對(duì)兒童加減法的口算教學(xué)所采用的方法各不相同，有的是死記硬背，有的是純粹數(shù)數(shù)，還有的完全依賴實(shí)物。而且。大多數(shù)家長(zhǎng)在教孩子口算時(shí)，單純地停留在機(jī)械計(jì)算層面上，很少?gòu)募印p法的含義方面來(lái)幫助學(xué)生獲得實(shí)質(zhì)理解，學(xué)生只是處于模仿、重復(fù)和記憶之中。這樣的提前教學(xué)，表面上看，不少學(xué)生似乎能計(jì)算不少口算題，實(shí)質(zhì)不利于學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)了解，也阻礙了學(xué)生正常的思維發(fā)展。因此，建議家長(zhǎng)不要過(guò)多地教孩子機(jī)械和單一的計(jì)算。而更應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，幫助學(xué)生建立對(duì)數(shù)學(xué)的基本認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣。經(jīng)過(guò)對(duì)有關(guān)幼兒園計(jì)算教學(xué)情況的走訪發(fā)現(xiàn)，幼兒園里有關(guān)數(shù)學(xué)方面的教材。很多把本應(yīng)該在小學(xué)教學(xué)的認(rèn)數(shù)和加減法計(jì)算提前教學(xué)了。因此，建議學(xué)校和幼兒園之間多進(jìn)行幼小銜接方面的溝通，以有利于兒童科學(xué)、高效地學(xué)習(xí)20以內(nèi)加減法。

總之。本次調(diào)查使我們從源頭上認(rèn)清了學(xué)生基本口算的概況，同時(shí)給我們的口算教學(xué)提出了挑戰(zhàn)：如此大的口算能力差異我們?cè)撊绾螒?yīng)對(duì)?其他年級(jí)學(xué)生的口算現(xiàn)狀又是怎樣?如何尋找最合適的策略去提高學(xué)生的口算能力?

(作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué))

口算教學(xué)，怎一個(gè)“煩”字了得?

陳惠芳

2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》(以下簡(jiǎn)稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”)把運(yùn)算作為必須具有的數(shù)學(xué)應(yīng)用技能之一，特別指出要重視口算，加強(qiáng)估算。“課程標(biāo)準(zhǔn)”還提出了各個(gè)學(xué)段的基本運(yùn)算應(yīng)該達(dá)到的速度和正確率指標(biāo)，要求學(xué)生運(yùn)用合理的計(jì)算策略，能為解決問(wèn)題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ芄烙?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性做出解釋。隨著課程改革的深入實(shí)施，口算教學(xué)也日漸成為一線數(shù)學(xué)教師普遍關(guān)注的焦點(diǎn)內(nèi)容。一線教師普遍感到口算教學(xué)看似簡(jiǎn)單，實(shí)則難以把握，甚至存在效率低下的現(xiàn)狀，挺“煩”人。那么，新課改背景下，小學(xué)數(shù)學(xué)口算教學(xué)究竟有哪些突出的問(wèn)題?

一 面對(duì)靈活開(kāi)放的教材。忽視文本解讀

較之老教材，新教材在每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)后，并沒(méi)有出現(xiàn)規(guī)范的計(jì)算方法的總結(jié)語(yǔ)，也沒(méi)有完整的提示語(yǔ)。這就給一線數(shù)學(xué)教師提供了更大的自主開(kāi)發(fā)教材的空間，也給學(xué)生的自主探究性學(xué)習(xí)提供了機(jī)會(huì)。然而，靈活開(kāi)放的教材也時(shí)時(shí)拷問(wèn)教師解讀教材的能力。

例如五年級(jí)初學(xué)小數(shù)乘法。教材首先出示了情境圖：“夏天每千克西瓜0.8元，冬天每千克西瓜2.35元，夏天買(mǎi)3千克西瓜要多少元?冬天買(mǎi)3千克西瓜需要多少元?”對(duì)于這樣一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，教學(xué)時(shí)是從小數(shù)加法引入小數(shù)乘法的，而豎式計(jì)算時(shí)，應(yīng)該怎么書(shū)寫(xiě)，如何進(jìn)行計(jì)算，教材上沒(méi)有出示相應(yīng)的方法，在“試一試”中有這樣一句提示語(yǔ)：“在小組里說(shuō)說(shuō)小數(shù)和整數(shù)相乘應(yīng)該怎樣計(jì)算。”教學(xué)時(shí)，究竟應(yīng)該如何把握編者意圖，需要教師對(duì)教材進(jìn)行認(rèn)真分析。小數(shù)乘法的基礎(chǔ)是整數(shù)乘法和小數(shù)加法，而豎式計(jì)算時(shí)學(xué)生需要掌握一定的算理和算法。因此。教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)。應(yīng)加強(qiáng)兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法口算練習(xí)。但事實(shí)上，部分教師沒(méi)有很好地挖掘教材的內(nèi)涵，往往就情境而情境，缺少結(jié)合筆算教學(xué)同時(shí)加強(qiáng)口算練習(xí)的意識(shí)和行為。是探索式，即經(jīng)過(guò)自己的獨(dú)立探究、思考，創(chuàng)造出算法。就計(jì)算方法而言，算法多樣化是新教材最顯著的特點(diǎn)之一。口算方法的多樣化，有其成功的方面，也給少數(shù)學(xué)困生帶來(lái)了學(xué)習(xí)上的“后遺癥”。

比如教學(xué)“9加幾”時(shí)，教師讓學(xué)生自主探索或者同桌合作，想辦法算一算9+4得多少。交流環(huán)節(jié)。第一位學(xué)生借助小棒數(shù)數(shù)，從9一直數(shù)到了13，他得出9+4=13；第二位學(xué)生先從4里面拿出1，與9湊成10，再用10+3，得到了13；第三位學(xué)生從9里面分出6和4湊成10，再用3+10得到了13；還有的學(xué)生直接把9看作10，先加4，再減去1，結(jié)果也等于13……教師一一給予了肯定。其實(shí)，本節(jié)課中，應(yīng)該重點(diǎn)讓學(xué)生掌握“湊十法”的思考過(guò)程，而教師并沒(méi)有很好地加以重視。所以，在接著計(jì)算9+5、9+6、9+7等算式時(shí)，學(xué)生依舊用了多樣的口算方法，教師對(duì)每種方法都進(jìn)行了肯定性評(píng)價(jià)，部分學(xué)生無(wú)所適從。到下課時(shí)連最基本的湊十法也沒(méi)有掌握。

其實(shí)，算法“多樣化”追求的是尊重差異、尊重真實(shí)、尊重學(xué)生的原生態(tài)思考，而算法的“優(yōu)化”就是讓學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在多樣化的算法中，找到一個(gè)普遍都能接受、最能理解和最容易掌握的算法的過(guò)程，“多樣化”只有得以“優(yōu)化”。才能更好地促進(jìn)口算能力的提高。

三、算理與算法之間脫節(jié)。忽視方法滲透

算理和算法是相互聯(lián)系、有機(jī)統(tǒng)一的一個(gè)整體，是計(jì)算教學(xué)必須關(guān)注的兩個(gè)方面。算法是對(duì)行為的規(guī)定，是計(jì)算的具體方法；算理是對(duì)算法的解釋，是計(jì)算的原理。口算教學(xué)，只有讓學(xué)生正確理解算理，才能靈活掌握算法。而事實(shí)上，算理與算法脫節(jié)，造成算法抽象與算理直觀之間出現(xiàn)了斷層，已經(jīng)是口算教學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題。

如教學(xué)二年級(jí)下冊(cè)“一位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，一位教師出示教材情境圖，引導(dǎo)學(xué)生列出算式14×2。如何計(jì)算呢?教師讓學(xué)生討論交流。有的學(xué)生說(shuō)用加法做。14+14得到28；有的通過(guò)看圖，右邊筐里一共是8個(gè)，左邊筐里一共是20個(gè)，合起來(lái)是28個(gè)；還有的用乘法想，10乘2等于20，4乘2等于8，20加8等于28；還有一學(xué)生說(shuō)。14是2個(gè)7，乘2后就是4個(gè)7，用口訣四七二十八……可見(jiàn)，學(xué)生采用口算14×2的方法是多種多樣的。但是，在引導(dǎo)學(xué)生用豎式計(jì)算時(shí)，該教師脫離了口算，直接講述抽象的算法，機(jī)械地講解先乘什么，再乘什么。其實(shí)，為了避免算理與算法的脫節(jié)，可以在學(xué)生初步理解算理之后。不著急抽象算法，而是讓學(xué)生運(yùn)用初建模式進(jìn)行同類練習(xí)。然后組織學(xué)生觀察和比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，第一次乘的結(jié)果是一位數(shù)，第二次乘的結(jié)果都是兩位數(shù)(并且是整十?dāng)?shù))；還有的發(fā)現(xiàn)，得數(shù)個(gè)位上的數(shù)就是第一次乘得的數(shù)，十位上的數(shù)就是第二次乘得的數(shù)十位上的數(shù)。此時(shí)可以逐步抽象出簡(jiǎn)化豎式(算法)，從而使學(xué)生掌握類似這樣的“一位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算方法。

可見(jiàn)。口算時(shí)學(xué)生要將計(jì)算分割成很多的小過(guò)程(如上面的4×2，10×2)，將各種信息在頭腦中合理地進(jìn)行拆分、拼組等。并要在短時(shí)間內(nèi)完成所有步驟得出正確結(jié)果，這是一個(gè)很高級(jí)的心理活動(dòng)。而學(xué)生正是通過(guò)這樣的心理活動(dòng)，鍛煉了自己的思維，發(fā)展了注意力、記憶力(短時(shí)記憶力)和創(chuàng)造性思維能力。這不僅是口算的價(jià)值之所在，而且是教材安排口算教學(xué)內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)。

四、只重視結(jié)果的正誤。忽視過(guò)程指導(dǎo)

很多教師平時(shí)也加強(qiáng)口算訓(xùn)練，而事實(shí)上，許多教師只重視學(xué)生口算結(jié)果是否正確，而忽視過(guò)程指導(dǎo)。

例如在口算20x30時(shí)。很多學(xué)生會(huì)受20+30加法的影響，算成50或500，教師應(yīng)該讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)，當(dāng)時(shí)是怎么想的，提醒學(xué)生以后看清楚運(yùn)算符號(hào)：在用豎式計(jì)算2x34時(shí)學(xué)生的正確率還可以，但口算2x34時(shí)，會(huì)把答案寫(xiě)成86，顯然在口算時(shí)隨意性比較大，口算時(shí)的對(duì)位思想比較淡薄，此時(shí)，應(yīng)該提醒學(xué)生看清楚8是幾乘幾得到的。6是幾乘幾得到的，寫(xiě)得數(shù)時(shí)要注意一一對(duì)應(yīng)；在口算35+38時(shí)。學(xué)生往往會(huì)忘記進(jìn)位。算成63；在口算52-19退位減法時(shí)，會(huì)不退位算成47，而不注意當(dāng)個(gè)位上不夠減時(shí)應(yīng)從十位退一作十再減，看似簡(jiǎn)單的算理，學(xué)生的理解尚需一定過(guò)程。可見(jiàn)，口算出現(xiàn)問(wèn)題，教師不能簡(jiǎn)單評(píng)判“對(duì)”還是“錯(cuò)”，而應(yīng)該盡可能地挖掘錯(cuò)誤背后的教學(xué)資源。要分析錯(cuò)誤原因，是學(xué)習(xí)習(xí)慣問(wèn)題，還是口算方法問(wèn)題，是心理因素影響，還是短時(shí)記憶問(wèn)題。只有找到錯(cuò)因，才能進(jìn)行有針對(duì)性的過(guò)程指導(dǎo)，口算訓(xùn)練才能真正落到實(shí)處。

五、訓(xùn)練時(shí)重“量”輕“質(zhì)”，忽視習(xí)慣培養(yǎng)

良好的習(xí)慣有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，而不良答題習(xí)慣經(jīng)常會(huì)引發(fā)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤。目前很多教師在口算訓(xùn)練時(shí)重“量”輕“質(zhì)”，忽視學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)。

如學(xué)生練習(xí)口算時(shí)，聽(tīng)題、讀題、抄寫(xiě)答數(shù)往往不夠仔細(xì)，經(jīng)常把1寫(xiě)成7，把6看成9，把5寫(xiě)成3等，或者看錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，把“+”看成“÷”等等。在口算加減法時(shí)，忘記進(jìn)位和退位，口算除法時(shí)，余數(shù)不能正確處理。如口算800÷30=26……20，余數(shù)算成了2。因此，我們不能把這種錯(cuò)誤簡(jiǎn)單歸咎于“粗心”或“馬虎”，而應(yīng)該重視學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成。教師要注意培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，克服提筆就算的毛病。不妨通過(guò)聽(tīng)算訓(xùn)練學(xué)生聽(tīng)的習(xí)慣，要求書(shū)寫(xiě)工整；通過(guò)視算，訓(xùn)練學(xué)生看的習(xí)慣，要求學(xué)生看清楚并正確記憶。培養(yǎng)學(xué)生思考的習(xí)慣，看到題目要尋找最簡(jiǎn)(最優(yōu))算法。檢驗(yàn)的習(xí)慣，口算時(shí)要有細(xì)心、認(rèn)真、負(fù)責(zé)的學(xué)習(xí)態(tài)度。還有改錯(cuò)的習(xí)慣，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)分析自己出現(xiàn)的錯(cuò)誤。總之，學(xué)生在任何地方、任何狀態(tài)下完成口算題時(shí)應(yīng)集中注意力。不說(shuō)話，獨(dú)立思考。養(yǎng)成“看清題目、注意符號(hào)，正確口算、書(shū)寫(xiě)整潔、自覺(jué)檢查”的良好習(xí)慣。努力提高口算正確率。

六、關(guān)注實(shí)際問(wèn)題解決。忽視相機(jī)訓(xùn)練

毋庸置疑，口算存在于生活的每一個(gè)角落，存在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每一個(gè)領(lǐng)域之中。在小學(xué)階段，學(xué)生的思維處于具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，發(fā)展邏輯思維是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在要求。也是促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展的有效途徑之一。課堂上，很多教師只關(guān)注問(wèn)題解決。而忽視相機(jī)的口算訓(xùn)練。

如：六年級(jí)在復(fù)習(xí)圓柱、圓錐一單元時(shí)，計(jì)算比較復(fù)雜。尤其是圓柱的表面積、側(cè)面積與體積，圓錐的體積計(jì)算等。很多算式中。都會(huì)出現(xiàn)3.14與半徑的平方的乘積。學(xué)生常常會(huì)算錯(cuò)。其實(shí)，平時(shí)在教學(xué)“解決問(wèn)題的策略”時(shí)，可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的口算練習(xí)，去熟記一些常用的公式、計(jì)算的結(jié)果，這樣能有效地幫助學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題解決。尤其通過(guò)一些算式的觀察比較，找尋規(guī)律，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)習(xí)品質(zhì)。可見(jiàn)，口算練習(xí)與其他知識(shí)的學(xué)習(xí)不能孤立開(kāi)來(lái)，應(yīng)該把口算練習(xí)融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)階段。

七、練習(xí)形式設(shè)計(jì)單一。忽視興趣激發(fā)

一堂計(jì)算訓(xùn)練課，一定有它內(nèi)在的生長(zhǎng)邏輯。什么是教師該傳授的?什么是該讓學(xué)生自主探索的?教學(xué)時(shí)若能將教材的內(nèi)在結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為課堂的教學(xué)結(jié)構(gòu)，不僅能突顯口算教學(xué)的主干，也能使課堂變得疏密有致。日常的口算教學(xué)中。我們常常發(fā)現(xiàn)教師不能根據(jù)學(xué)生各年齡段的心理特征，設(shè)計(jì)不同形式的題目吸引學(xué)生的眼球，而是練習(xí)的形式單調(diào)，學(xué)生感到乏味。還有的教師平時(shí)不加強(qiáng)練習(xí)，只在期末測(cè)試前才進(jìn)行突擊，并加大練習(xí)量。這種過(guò)分集中的方式。更容易使學(xué)生產(chǎn)生厭煩情緒。

另外，很多教師進(jìn)行口算教學(xué)時(shí)，總是用投影、卡片或直接用書(shū)上的口算題呈現(xiàn)出來(lái)，采取的方式大多是視算。包括看題目直接寫(xiě)出得數(shù)和看題目口述得數(shù)兩種方法。經(jīng)常采用單一機(jī)械的訓(xùn)練形式，學(xué)生容易“審美疲勞”。其實(shí)，像低年級(jí)學(xué)完乘法口訣，初步理解口算原理與方法后，可以進(jìn)行以口訣為中介的多樣化口算：先進(jìn)行見(jiàn)算式一說(shuō)口訣一寫(xiě)得數(shù)的訓(xùn)練，如4×5，先出聲說(shuō)口訣“四五二十”，然后寫(xiě)出得數(shù)20；再進(jìn)行見(jiàn)算式一想口訣一得結(jié)果的訓(xùn)練；最后是“一訣四式”的訓(xùn)練。倘若每個(gè)學(xué)段有意識(shí)地加以引導(dǎo)，口算練習(xí)的密度就提高了，口算技能的形成就指日可待。

八、家長(zhǎng)“揠苗助長(zhǎng)”。忽視家校攜手

“嚴(yán)格控制學(xué)生在校作業(yè)量”“切實(shí)減輕學(xué)生過(guò)重的課業(yè)負(fù)擔(dān)”，當(dāng)眾多的新聞媒體開(kāi)始關(guān)注學(xué)校、關(guān)注學(xué)生時(shí)，教師思想解放了，家長(zhǎng)卻愁眉苦臉了。由于每個(gè)學(xué)生的家庭文化背景不同。其家庭教育方法也不盡相同。學(xué)生之間的差異相對(duì)明顯。一部分家長(zhǎng)認(rèn)為。孩子進(jìn)了學(xué)校，就由教師負(fù)責(zé)，課堂上學(xué)好就行，家里用不著幫助孩子進(jìn)行口算訓(xùn)練，而另一種家長(zhǎng)“急中生智”，加大練習(xí)。往往“揠苗助長(zhǎng)”。他們買(mǎi)相關(guān)的口算本、參考書(shū)，開(kāi)“小灶”。這種現(xiàn)象在低年級(jí)家長(zhǎng)中尤為突出。殊不知。不合理安排訓(xùn)練時(shí)間，不講究訓(xùn)練方法。久而久之，孩子談“算’色變，聞“算”而逃。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多孩子在進(jìn)入一年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)，能進(jìn)行10以內(nèi)的簡(jiǎn)單口算，有的還學(xué)會(huì)了一些簡(jiǎn)單的整十?dāng)?shù)加減，個(gè)別甚至能做20以內(nèi)的進(jìn)位加和退位減了，但到真正接觸這些內(nèi)容時(shí)，學(xué)生昏昏欲睡……可見(jiàn)，家長(zhǎng)操之過(guò)急的心態(tài)，機(jī)械盲目的訓(xùn)練，并不科學(xué)的輔導(dǎo)方法，使很多學(xué)生從此失去了正確口算的自信。

九、過(guò)多依賴電腦演示。忽視示范引領(lǐng)

目前，隨著信息化社會(huì)的到來(lái)。很多青年教師上課都喜歡使用多媒體手段，變革教學(xué)方式，尤其是低年級(jí)的數(shù)學(xué)課，使用課件(光盤(pán))的特別多。這其中有積極的一面，可以借助多媒體手段突破教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，節(jié)省一些時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，但也存在一些不利因素。有些教師整節(jié)課都利用多媒體進(jìn)行演示操作，生動(dòng)的圖畫(huà)、逼真的效果，學(xué)生學(xué)的時(shí)候興趣盎然，看的時(shí)候目不轉(zhuǎn)睛，而到獨(dú)立練習(xí)時(shí)卻頭腦空空。很多教師的數(shù)學(xué)課，黑板上連課題都不板書(shū)，都在電腦上操作演示，一閃而過(guò)，忽視示范引領(lǐng)和過(guò)程展開(kāi)，以致新課結(jié)束時(shí)，黑板上一片空白。這樣的口算教學(xué)失去了教師應(yīng)有的主導(dǎo)作用，缺失了學(xué)生參與計(jì)算算理和算法的形成過(guò)程，無(wú)疑是有缺憾的。

十、考核評(píng)價(jià)方法隨意。忽視目標(biāo)導(dǎo)向

筆者發(fā)現(xiàn)。目前的小學(xué)數(shù)學(xué)考試，雖然也從多個(gè)方面來(lái)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、能力，但對(duì)口算的專門(mén)考核和評(píng)價(jià)，還缺少科學(xué)合理的方式。一般的數(shù)學(xué)期末考試，口算題安排在試卷里面，題量很少，覆蓋面不廣。難以真正考查學(xué)生的口算技能；有的口算測(cè)試，單獨(dú)進(jìn)行考核，一般以年級(jí)為單位，利用幾分鐘進(jìn)行單獨(dú)測(cè)試，題量一般在20～50道左右。但各個(gè)學(xué)校的做法不盡相同；有的口算測(cè)試只考查正確率，不考查速度，缺乏全面評(píng)價(jià)；還有的口算測(cè)試，對(duì)速度的要求過(guò)高，有的甚至要求學(xué)生每分鐘口算50道甚至60道題。口算教學(xué)，究竟如何進(jìn)行測(cè)試?試題的難度如何把握?看來(lái)，測(cè)試忽視目標(biāo)導(dǎo)向，考核方法隨意，顯然不能正確反映學(xué)生口算能力的真實(shí)水平。因此，從有效教學(xué)的角度看，我們顯然需要更加理性地思考：如何針對(duì)學(xué)生的年齡特點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行口算測(cè)試，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)而行為跟進(jìn)，真正提高口算教學(xué)的有效性。

(作者單位：江蘇省張家港市教育局教學(xué)研究室)

對(duì)口算算理、算法的辯證認(rèn)識(shí)

賁友林

什么叫算理?什么叫算法?這是進(jìn)行口算教學(xué)必須首先搞明白的問(wèn)題。算理就是計(jì)算過(guò)程中的道理，解決“為什么這樣算”的問(wèn)題。算法就是計(jì)算的方法，解決“怎樣算”的問(wèn)題。如何認(rèn)識(shí)口算中算理與算法的關(guān)系，下面談一些想法。

“有”與“無(wú)”

對(duì)于小學(xué)生的口算來(lái)說(shuō)，核心的內(nèi)容是基本口算。所謂基本口算主要指20以內(nèi)加減法和表內(nèi)乘除法。除了這些基本口算。要求學(xué)生掌握的還有簡(jiǎn)單的兩位數(shù)加、減法及百以內(nèi)的乘加、乘減、除加、除減等；在小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則計(jì)算中，也有相當(dāng)數(shù)量的口算內(nèi)容。那學(xué)生在學(xué)習(xí)這些口算時(shí)，是否都是理解算理、掌握算法，并在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法的呢?

先從最簡(jiǎn)單的加法說(shuō)起。3+2。怎樣算?為什么這樣算?就這兩個(gè)問(wèn)題，我訪談了大學(xué)教授、小學(xué)數(shù)學(xué)教研員和小學(xué)數(shù)學(xué)教師，但他們沒(méi)有一人能做出解釋。其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)。我們往往脫口而出3加2等于5，我們的策略是“直接提取”，也就是說(shuō)，3加2等于5，我們成人已經(jīng)形成了“計(jì)算自動(dòng)化”，在我們的頭腦中已經(jīng)有了現(xiàn)成的答案，我們可以迅速地從長(zhǎng)期記憶中提取有關(guān)數(shù)學(xué)事實(shí)。

那我們?cè)谝荒昙?jí)教學(xué)時(shí)。又是如何處理3+2的呢?一種常見(jiàn)的教法是借用數(shù)的組成想得數(shù)，即想：5可以分成3和2。3加2等于5。我們知道，在學(xué)習(xí)3+2=5之前，已有相當(dāng)一部分學(xué)生知曉3+2=5；我們也知道，有學(xué)生最初就是用“數(shù)手指”的方法數(shù)出來(lái)的。之后，又由數(shù)手指發(fā)展為數(shù)數(shù)，即接著3之后數(shù)兩個(gè)數(shù)：4、5，所以，3+2=5。這樣的算法，我們也許覺(jué)得很幼稚，但這樣的算法，恰恰最接近加法的定義。在遞歸算術(shù)中，自然數(shù)的加法可以用求繼數(shù)的運(yùn)算來(lái)定義。如，求3+2的和，就是求3的繼數(shù)的繼數(shù)。即在自然數(shù)中，從3往后數(shù)2個(gè)數(shù)所得出的5。

毋庸置疑，一段時(shí)間之后，學(xué)生在算“3+2”時(shí)也都形成了“計(jì)算自動(dòng)化”，3+2等于5，都儲(chǔ)存于記憶中。這時(shí)，算法已經(jīng)脫胎于算理。學(xué)生學(xué)習(xí)基本口算就是在頭腦中構(gòu)建一個(gè)“數(shù)學(xué)事實(shí)庫(kù)”的過(guò)程。繼而完成從構(gòu)建事實(shí)到提取事實(shí)的轉(zhuǎn)化。

我們是否可以這樣理解：最初，學(xué)生在口算時(shí)，可能有算法而不知算理；后來(lái)，知算法而且知算理；再后來(lái)，又是有算法無(wú)算理。也就是說(shuō)，在學(xué)生學(xué)習(xí)口算探索與掌握算法的不同時(shí)段，他們計(jì)算時(shí)是否具有算理，經(jīng)歷了“無(wú)——有——無(wú)”這樣一個(gè)過(guò)程。

由此推想，不同的口算內(nèi)容，算法與算理是否也表現(xiàn)出像這樣脫離、融合、脫胎的不同階段之分呢?

在口算教學(xué)時(shí)，學(xué)生不理解算理，教師需要引導(dǎo)，否則學(xué)生的計(jì)算只是停留于形式化地計(jì)算，他們只是機(jī)械地掌握計(jì)算程序，知其然，而不知其所以然；但理解算理之后，教師卻不要太多地糾纏于算理。

“一”與“多”

在學(xué)習(xí)口算兩位數(shù)減兩位數(shù)44-25時(shí)，學(xué)生獨(dú)立思考之后交流了各自算法。

算法1：44-5=39，39-20=19——把減數(shù)分成5和20，從被減數(shù)中依次減去。

算法2：40-25=15，15+4=19——把被減數(shù)分成40和4，先從40里減去25，再把所得的差與4合并。

算法3：40-20=20，5-4=1。20-1=19——個(gè)位上4減5不夠減，還差1，就從十位上減得的差20里去掉1。

算法4：44-24=20，20-1=19——把減數(shù)分成24和1，再?gòu)谋粶p數(shù)中依次減去。

算法5：30-25=5，14+5=19——把被減數(shù)分成30和14，從30里減去25得5，再把14和5合并。

算法6：14-5=9，30-20=10，10+9=19——豎式計(jì)算的方法。

算法7：十位上，30-20=10；個(gè)位上，14-5=9；得數(shù)是19——先算十位。再算個(gè)位。

算法多樣化是學(xué)生獨(dú)立思考后自然生成的。細(xì)細(xì)分析各種算法。算法1和算法4的算理是一樣的，都是把減數(shù)分成兩部分，從被減數(shù)中分別減去；算法2和算法5的算理是一樣的，都是把被減數(shù)分成兩部分，其中一部分減去減數(shù)后再與被減數(shù)的另一部分合起來(lái)；算法6和算法7都是在頭腦中構(gòu)建豎式，算法6從個(gè)位減起，算法7從十位減起。由此可見(jiàn)，就算題本身來(lái)說(shuō)，算法是多樣的，但算理可能相同。

再說(shuō)一例。學(xué)習(xí)小數(shù)乘法，一組口算練習(xí)之后，反饋時(shí)發(fā)現(xiàn)，有幾位學(xué)生在口算20×0.4這一題時(shí)出錯(cuò)了。教師指名一位學(xué)生口述算法：先算20乘4等于80。再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)：8.0，化簡(jiǎn)得8。學(xué)生采用的是“類似筆算的口算”。即在頭腦中想20×0.4的豎式并算出得數(shù)。教師在學(xué)生口述算法的過(guò)程中板書(shū)：

教師如上板書(shū)。是讓學(xué)生理解其算法的算理，即應(yīng)用了乘法中因數(shù)變化引起積變化的規(guī)律進(jìn)行口算。

一位學(xué)生舉手：我是這樣算的：20xO，4=2×4=8。教師追問(wèn)：你為什么這樣算呢?學(xué)生回答：20xO，4=2×10×0.4=2×4=8。不難發(fā)現(xiàn)，這位學(xué)生交流的是“分解因數(shù)、運(yùn)用乘法結(jié)合律”的方法進(jìn)行口算。

。

又一位學(xué)生舉手：我也是這樣算的：20×0.4=2×4=8。我想的是，一個(gè)因數(shù)除以10，另一個(gè)因數(shù)乘10，積不變。如果完整寫(xiě)出這位學(xué)生的算法，就是1.20×0.4=(20÷10)×(0.4×10)=2×4=8。

后兩種算法，如果不去追問(wèn)思維過(guò)程，我們也許會(huì)做出“算法相同、算理相同”的判斷，然而，看似相同的算法，其實(shí)并不同。但算理卻是相同的。當(dāng)我們看到的是“一”，也許僅僅是表面形式的相同，其內(nèi)部蘊(yùn)含的可能是“多”。學(xué)生的思維過(guò)程是豐富多彩的。口算教學(xué)中，存在著的一種現(xiàn)象是，教師重結(jié)果、輕過(guò)程，只滿足于口算正確，不愿花時(shí)間去分析學(xué)生的思維過(guò)程。我們要注意克服這種不良傾向。在口算時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生“用你的腦子去算”，而不僅僅是“在你的腦子里算”。

“有用”與“無(wú)用”

對(duì)于算理與算法。學(xué)生在實(shí)際口算時(shí)往往更注重算法，因?yàn)榘雌洳僮骷纯伤愠鼋Y(jié)果。教師關(guān)注的焦點(diǎn)是學(xué)生要算得對(duì)、算得快，至于“為什么這樣算”，往往不夠重視。那算理是“有用”還是“無(wú)用”呢?

有這樣一次“意外事件”。由于制作試卷的疏忽，在五年級(jí)學(xué)習(xí)小數(shù)加、減法之后的單元測(cè)試卷上出現(xiàn)了這樣一道口算題：3.6×0.5，這道題原本應(yīng)是3.6+0.5。顯然，這樣的算題如何計(jì)算學(xué)生還未學(xué)習(xí)。我想了想，決定不改題，看看學(xué)生能否獨(dú)立探索解決“未學(xué)過(guò)”的問(wèn)題。為了解學(xué)生具體的思維過(guò)程，我讓學(xué)生在試卷上寫(xiě)下口算3.6×0.5是怎樣想的。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：全班47位學(xué)生參加測(cè)試。有25位學(xué)生正確算出結(jié)果。其中有10位學(xué)生的算法是寫(xiě)出豎式，用筆算的方法算出結(jié)果(對(duì)這樣的算法，我又找?guī)孜粚W(xué)生進(jìn)行交流：為什么積是1.8?學(xué)生的回答是：3.6的一半，應(yīng)當(dāng)是一點(diǎn)幾；36乘5得180，結(jié)果是兩位小數(shù)，化簡(jiǎn)后是1.8)；有14位學(xué)生根據(jù)3.6×0.5的意義算出結(jié)果，他們的算法是：一個(gè)數(shù)乘0.5，得數(shù)是這個(gè)數(shù)的一半。3.6÷2=1.8：還有1位學(xué)生運(yùn)用乘法分配律的方法算出結(jié)果，他的算法是：先用3×0.5=1.5，再用0.6×0.5=0.3，再用1.5+0.3，就等于1.8。

學(xué)生為什么在未學(xué)的情況下能算出來(lái)?盡管正確算出得數(shù)的25位學(xué)生未必都理解算理，但可以發(fā)現(xiàn)，如果他們理解了算理，那么他們基本上就能正確算出算題。算理有助于學(xué)生探索算法。有算法時(shí)，不一定能說(shuō)清算理；但有算理。可以轉(zhuǎn)化成算法。

又一則例子。口算整百數(shù)乘一位數(shù)400×2，學(xué)生一般的算法是：先算4×2=8。再在8的后面添兩個(gè)0。為什么在8后面添兩個(gè)0，學(xué)生解釋不清楚。教學(xué)時(shí)。教師要讓學(xué)生給自己的算法找一個(gè)合理的解釋，在學(xué)生解釋的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生理解：4個(gè)百乘2，得8個(gè)百，也就是800。由此，學(xué)生可進(jìn)一步在理解算理的基礎(chǔ)上計(jì)算像4000×2、40000×2這樣的算題，而不停留于“照葫蘆畫(huà)瓢”式的模仿計(jì)算。

綜上所述，算理不是沒(méi)有用。而是教師在教學(xué)中是否發(fā)揮其作用。不要把算理、算法作為“兩張皮”。算理為計(jì)算提供了正確的思維方式。保證了計(jì)算的合理性和正確性，算法為計(jì)算提供了快捷的操作方法，提高了計(jì)算的速度。算理往往是隱性的。算法往往是顯性的。它們相輔相成，算理的探討有助于學(xué)生探索算法、掌握算法。當(dāng)然，在口算學(xué)習(xí)過(guò)程中，也要注意避免程式化地?cái)⑹鏊憷恚瑢?duì)算理的一味推崇容易讓學(xué)生陷入空洞抽象說(shuō)教的泥潭，不過(guò)，對(duì)算法的過(guò)度操練也容易讓學(xué)生走向機(jī)械重復(fù)練習(xí)的窠臼。

(作者單位：南京師范大學(xué)附屬小學(xué))

調(diào)動(dòng)兒童的“心智”來(lái)口算

繆建平

口算，就是“邊心算邊口說(shuō)地運(yùn)算”，它是不借助計(jì)算工具(如筆、紙)，直接通過(guò)思維和語(yǔ)言進(jìn)行計(jì)算并得出結(jié)果的一種計(jì)算方法。口算應(yīng)該是“用你的腦子算”，而不只是“在你的腦子里算”。口算時(shí)，計(jì)算者要將計(jì)算分解成很多的小過(guò)程。要將各種信息在頭腦中進(jìn)行合理的拆分、拼組等，并在短時(shí)間內(nèi)得出正確結(jié)果。因此它是一種高級(jí)的“心智”活動(dòng)。通過(guò)這樣的心智活動(dòng)，計(jì)算者鍛煉了自己的思維，發(fā)展了注意力、記憶力(尤其是短時(shí)記憶力)，口算也為個(gè)性化、多樣化地解決問(wèn)題提供了機(jī)會(huì)。那么，如何調(diào)動(dòng)兒童的“心智”來(lái)口算呢?

一、理解與記憶

就整數(shù)計(jì)算來(lái)說(shuō)，其中的口算通常分為3類：①基本型——一位數(shù)加法和相應(yīng)的減法、表內(nèi)乘除法。這是筆算乃至所有計(jì)算的基礎(chǔ)，要求學(xué)生人人過(guò)關(guān)，不僅要計(jì)算正確，而且要求口算答案輸出的“自動(dòng)化”，即要熟練到能脫口而出的程度。②發(fā)展型——兩位數(shù)加減整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)加減一位數(shù)、兩位數(shù)加減兩位數(shù)和兩位數(shù)乘(除以)一位數(shù)等。前兩種口算安排在相應(yīng)的筆算之前進(jìn)行教學(xué)，而后幾種都是在筆算之后再教學(xué)。這類口算只要求掌握方法、正確計(jì)算，不再有高速度的要求。這類口算不再作為“筆算的臺(tái)階”。而是課程中相對(duì)獨(dú)立的部分。但教師在實(shí)際教學(xué)中明顯感覺(jué)到，如果這一類口算學(xué)生也能基本熟練，無(wú)疑更加顯示出兒童在解決問(wèn)題時(shí)的優(yōu)勢(shì)和自信。③靈活型——運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)等進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。在這一類口算中，計(jì)算方法的合理、靈活和簡(jiǎn)算意識(shí)的強(qiáng)弱即是其數(shù)學(xué)心智水平高低的主要標(biāo)志。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，大都比較重視長(zhǎng)時(shí)記憶，而對(duì)短時(shí)記憶的培養(yǎng)則比較忽視。其實(shí)短時(shí)記憶對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展有至關(guān)重要的意義。比如口算23+19時(shí)，就需要短時(shí)記憶，如果短時(shí)記憶能力較弱。那么在十位上的數(shù)相加時(shí)，只算2加1的和是3，經(jīng)常忘掉個(gè)位上滿十進(jìn)上來(lái)的1，這在兩位數(shù)加兩位數(shù)口算訓(xùn)練的早期是較為常見(jiàn)的現(xiàn)象。

有研究表明，用“工作記憶”代替“短時(shí)記憶”能夠更加準(zhǔn)確地說(shuō)明這一部分記憶系統(tǒng)具有動(dòng)態(tài)過(guò)程的特征，而不只是靜態(tài)的存儲(chǔ)。重要的是，信息在工作記憶進(jìn)入意識(shí)后我們才能處理。如何避免或消除兒童口算中“工作記憶”的錯(cuò)誤呢?以下3種促進(jìn)學(xué)生理解的策略能有效幫助學(xué)生記憶水平的提高：

首先，“復(fù)述”策略。研究表明，工作記憶中的信息大約持續(xù)半分鐘。如果要將信息加以修正并保存更長(zhǎng)的時(shí)間，就必須通過(guò)復(fù)述過(guò)程得到重新存儲(chǔ)與更新。如上面的“兩位數(shù)加兩位數(shù)”口算，如果學(xué)生錯(cuò)了，我們不妨減慢學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)的速度，并輔之以讓孩子復(fù)述其計(jì)算過(guò)程，進(jìn)而讓他們自己在口述中知道“十位上要加個(gè)位上進(jìn)的1”，這種個(gè)別指導(dǎo)就會(huì)大大增加“首因效應(yīng)”。于是更為復(fù)雜的、逐漸積累式并且更加聰明的復(fù)述策略就會(huì)產(chǎn)生——“如果眼睛瞄到個(gè)位相加滿十了，一定要在十位上的兩個(gè)數(shù)相加時(shí)多加1：如果瞄到個(gè)位上的兩個(gè)數(shù)相加不滿十，不必考慮加1”。

其次，“表征”策略。通過(guò)多感覺(jué)表征，也將會(huì)大大提高記憶的效率。現(xiàn)行教材中，試圖通過(guò)許多情景圖來(lái)進(jìn)行口算的教學(xué)，無(wú)疑能幫助兒童“通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題加強(qiáng)運(yùn)算意義的理解”。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提倡算法多樣化。”因此，教師在口算教學(xué)中既要努力做“算法多樣化”的引導(dǎo)者。更要做“算法優(yōu)化”的促進(jìn)者。

再次，“組塊”策略。有意義的組塊策略是為了克服工作記憶的“有限空間”。有關(guān)研究表明，成年人短時(shí)記憶只能容納7項(xiàng)信息，兒童工作記憶容量還要小。在這種情況下，必須為兒童提供“認(rèn)知支架”。比如兒童起初學(xué)習(xí)小數(shù)乘除法的口算時(shí)，經(jīng)常為小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)錯(cuò)而苦惱，我們就利用“組塊”來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)清結(jié)果與兩個(gè)已知數(shù)之間的關(guān)系：12×0.4、1.2×0.4、120×0.04、0.12×0.4……4÷5、4+50、0.4÷5、0.4÷0.5……對(duì)于除數(shù)是小數(shù)的除法，還要求他們先把它轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法寫(xiě)在原式的下方，以減輕“工作記憶”的負(fù)擔(dān)。漸漸地。學(xué)生就會(huì)厘清結(jié)果與兩個(gè)已知數(shù)之間的關(guān)系及運(yùn)算規(guī)律，加之“估算”能力的同步培養(yǎng)，他們的口算水平也一定會(huì)逐步提高。

二、結(jié)構(gòu)與建構(gòu)

日常的口算教學(xué)或口算訓(xùn)練中，我們經(jīng)常可以看到這樣的做法：教師在課堂之初，總是拿著不斷變換的卡片，不停地進(jìn)行著口算訓(xùn)練，以期取得“熟能生巧”的教學(xué)效果。但實(shí)際情況卻差強(qiáng)人意，原因何在?我們需要反思。

首先，你給學(xué)生進(jìn)行口算訓(xùn)練時(shí)，有沒(méi)有一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)呢?如20以內(nèi)的加法與減法。教材中教學(xué)是分課時(shí)進(jìn)行的，我們要做的首先不應(yīng)該是“打亂”卡片的無(wú)序訓(xùn)練。而是整齊排列的“完整呈現(xiàn)”，這樣的呈現(xiàn)還要不斷地進(jìn)行，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)與數(shù)之間加減運(yùn)算關(guān)系理解的不斷深入。因?yàn)閷W(xué)生總是通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算逐步積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)再形成數(shù)的概念與組建認(rèn)知結(jié)構(gòu)的。如果教者煞費(fèi)苦心地阻止一種明明無(wú)法阻止的形成記憶經(jīng)驗(yàn)的做法，即認(rèn)為這是在進(jìn)行口算的思維訓(xùn)練，最終只能是使學(xué)生多做題，增強(qiáng)課業(yè)負(fù)擔(dān)，走了彎路，效果卻不佳。

我們?cè)M(jìn)行過(guò)20以內(nèi)加減法的對(duì)比試驗(yàn)。一種采用“打亂”卡片的訓(xùn)練法，一種采用“整體呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化材料”(如下表)，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能記住結(jié)果的方法。以下是關(guān)于20以內(nèi)加減法運(yùn)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)表。有81對(duì)加減法關(guān)系。

在上表中，處在AC及其左上的45對(duì)數(shù)字，都是兩數(shù)相加結(jié)果等于或小于10的，好差生均能熟練掌握。不是構(gòu)成口算速度差異的主要原因。構(gòu)成兒童口算困難的是由AC以下的36對(duì)數(shù)組成的習(xí)題。在這之中，又以BD為界，上下各16對(duì)，只是數(shù)字調(diào)換了位置而已，可以合二為一。BD框中是“對(duì)子數(shù)”相加的和學(xué)生容易記憶，運(yùn)算也不易出錯(cuò)。

經(jīng)過(guò)上面的分析，實(shí)驗(yàn)班的老師在進(jìn)行20以內(nèi)加減法口算訓(xùn)練時(shí)。只要讓學(xué)生將ABD區(qū)打“○”中的較為生疏的9對(duì)數(shù)字關(guān)系組成的習(xí)題側(cè)重訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生自然記住運(yùn)算結(jié)果。同時(shí)，對(duì)口算較慢的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)，他們一般都能跟上全班學(xué)生的平均速度，而學(xué)生比對(duì)比班的至少要少做近100多道訓(xùn)練習(xí)題，學(xué)生負(fù)擔(dān)輕了，但效果卻尤佳。

為什么會(huì)取得較好的效果呢?原因就是：結(jié)構(gòu)化的口算訓(xùn)練材料。讓兒童大腦中形成了20以內(nèi)的加法口算結(jié)果的記憶經(jīng)驗(yàn)。這些經(jīng)驗(yàn)在復(fù)雜的減法口算中遷移，是造成他們比另一些兒童減法口算迅速的主要原因。而減法口算反應(yīng)慢的學(xué)生的大腦中并不是完全沒(méi)有可利用的記憶經(jīng)驗(yàn)。他們只是對(duì)少數(shù)幾對(duì)二十以內(nèi)數(shù)的減法關(guān)系有零碎的記憶經(jīng)驗(yàn)或尚未形成完整結(jié)構(gòu)。

三、建模與求簡(jiǎn)

口算練習(xí)中學(xué)生在瞬間要進(jìn)行各種復(fù)雜的思維活動(dòng)，它要求把算題進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)換、變式、重組……從而迅速、準(zhǔn)確地解答。口算教學(xué)的重要任務(wù)就是要在引導(dǎo)學(xué)生正確解答的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，不斷建立新的模式結(jié)構(gòu)；而建立數(shù)學(xué)模型又可以讓學(xué)生更快、更好地解決問(wèn)題，從而形成良性循環(huán)。

引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成認(rèn)知沖突，有助于學(xué)生建模。比如。在小數(shù)除法教后，教者出示了一道7÷25的算式，讓學(xué)生筆算，當(dāng)學(xué)生算完后，老師告訴學(xué)生：其實(shí)這道題，老師一看題目，馬上就能知道得數(shù)了!同學(xué)們不信，于是老師迅速報(bào)出0.28!學(xué)生一片嘩然。不行!一定是老師事先算好的。隨便一道試試!老師說(shuō)：有個(gè)要求，除數(shù)一定是25，被除數(shù)一位數(shù)、兩位數(shù)都行的!于是有學(xué)生出題：9÷25，老師迅速報(bào)出0，36 1學(xué)生再出題：42÷25，老師迅速報(bào)出1.68!學(xué)生開(kāi)始沉思起來(lái)，老師于是引導(dǎo)大家一起思考：能不能從25上面去突破呢?漸漸地，同學(xué)們知道了：7÷25=(7×4)÷(25x4)=28÷100=0.28。另外兩道題也是同樣的道理，只要把被除數(shù)乘4再除以100就行了，真靈!同學(xué)們不禁歡呼起來(lái)，為自己的探索成功而自豪!于是，老師又出示了一組相關(guān)的題目，學(xué)生一個(gè)個(gè)爭(zhēng)先恐后，口算出來(lái)了!接著，教者又將之遷移到7÷125，3÷1.25，3.1+2.5這類題目上，同學(xué)們也能?chē)L試著用口算進(jìn)行計(jì)算了……

漸漸地，學(xué)生就能在解決問(wèn)題中把它看成一個(gè)整體，直接計(jì)算，這就初步建立起了一定的模型。這些初步的模型的建立，通過(guò)不斷的完善，就可以幫助學(xué)生“從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界”。

總之，口算技能屬于一種心智技能，心智技能具有簡(jiǎn)縮性特征——趨向于合并、省略或簡(jiǎn)化。因而，越是思維活動(dòng)簡(jiǎn)約的，其技能越容易形成，復(fù)雜的思維活動(dòng)總是阻礙技能的形成。要想讓口算做到“用腦子去算”而不是“在腦子里算”，就必須引導(dǎo)學(xué)生把“靈活運(yùn)用運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)使計(jì)算簡(jiǎn)便”的觀念滲透于口算學(xué)習(xí)的過(guò)程中，從而讓學(xué)生把運(yùn)算具體問(wèn)題的策略上升為一種自覺(jué)的簡(jiǎn)算意識(shí)。

(作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)新城花園小學(xué))

口算題組：在訓(xùn)練中“增值”

皋 嶺

通過(guò)扎實(shí)的口算訓(xùn)練提升口算技能是小學(xué)階段學(xué)生計(jì)算能力訓(xùn)練的一項(xiàng)重要任務(wù)。完成這項(xiàng)訓(xùn)練任務(wù)就必須以口算題為主要訓(xùn)練載體，讓學(xué)生在大量的口算練習(xí)中掌握口算方法，提高正確率和速度。而單一二、無(wú)關(guān)聯(lián)的口算題對(duì)口算方法的遷移與優(yōu)化沒(méi)有明顯的效用，為此，教者把具有關(guān)聯(lián)特征的一些口算題編成題組對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，在聯(lián)系、滲透以及比較中放大口算題組關(guān)聯(lián)的特征。讓口算題組在訓(xùn)練中“增值”。

一、聯(lián)系——促進(jìn)有效遷移

數(shù)學(xué)知識(shí)延伸發(fā)展具有前后密切聯(lián)系的特點(diǎn)，口算也不例外，復(fù)雜的口算都是建立在基本口算的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的。因此，在新舊口算認(rèn)知的聯(lián)系處進(jìn)行口算題組訓(xùn)練，有助于學(xué)生理解口算算理，有效獲得口算方法的遷移。

比如：在小數(shù)除法口算時(shí)出示了這樣的口算題組進(jìn)行訓(xùn)練。

600+200= 12÷3= 180÷60= 8÷4=

60÷20=

1.2÷0.3=

180÷6=

8÷0.4=

6÷2=

0.12÷0.03=

18÷6= 0.8÷0.4=

學(xué)生經(jīng)過(guò)這樣相關(guān)聯(lián)的幾組口算練習(xí)后，對(duì)小數(shù)除法口算的算理有所感悟，方法有所理解。第一組題主要是讓學(xué)生復(fù)習(xí)和回顧商不變的規(guī)律在簡(jiǎn)化口算中的作用；第二組題將商不變的規(guī)律擴(kuò)展到小數(shù)除法的口算中進(jìn)行練習(xí)：第三組題對(duì)被除數(shù)與除數(shù)變化引起商變化的規(guī)律進(jìn)行復(fù)習(xí)與回顧：第四組題運(yùn)用商不變的規(guī)律和商的變化規(guī)律靈活解決小數(shù)除法口算問(wèn)題。雖然只有12道口算題組成訓(xùn)練題組，但所包含的聯(lián)系廣泛，從整數(shù)除法口算到小數(shù)除法口算。從商不變規(guī)律到商的變化規(guī)律，給學(xué)生留下了很大的思考空間，在口算方法和知識(shí)的前后聯(lián)系中促進(jìn)了口算能力的有效遷移。

二、滲透——優(yōu)化口算方法

口算也稱心算，是一種不借助計(jì)算工具，只依靠記憶、思維和語(yǔ)言進(jìn)行計(jì)算直接得出結(jié)果的計(jì)算方法和方式。雖然口算的結(jié)果是外顯的，但口算的思維過(guò)程即是內(nèi)隱的。也正因?yàn)榭谒氵^(guò)程的內(nèi)隱性，所以也就有了口算方法的多樣性。不同的口算方法帶給學(xué)生的效率不盡相同。如何讓學(xué)生的口算方法在多樣化的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化呢?這就需要教者精心編制口算題組讓學(xué)生不斷感悟和優(yōu)化。

如：在三年級(jí)學(xué)習(xí)口算兩位數(shù)加兩位數(shù)(和不超過(guò)100)時(shí)。進(jìn)行下面題組訓(xùn)練。

40+50= 36+20= 40+35= 45+50= 45+35=

46+53= 36+22= 44+35= 45+48= 45+37=

訓(xùn)練中讓學(xué)生帶著問(wèn)題邊思考邊口算：每組中兩道口算題哪一道相對(duì)簡(jiǎn)單?為什么?這道簡(jiǎn)單的口算題對(duì)算同一組的另一道口算題有什么啟示?不難看出，每組中的第一道相對(duì)簡(jiǎn)單。主要是它們中不是含有整十?dāng)?shù)的加數(shù)，就是兩加數(shù)的和正好是整十?dāng)?shù)，口算時(shí)需要記憶存取的環(huán)節(jié)相對(duì)較少，口算難度也就相對(duì)降低；而每組第二道題的兩個(gè)加數(shù)都是非整十?dāng)?shù)，有的還需進(jìn)位，口算的難度增加。通過(guò)這樣的題組訓(xùn)練，學(xué)生從每組兩道口算題的聯(lián)系中很快獲得滲透的兩位數(shù)加兩位數(shù)的各種口算方法，讓學(xué)生在口算方法多樣化的基礎(chǔ)上根據(jù)加數(shù)的特征靈活地運(yùn)用。

三、比較——增強(qiáng)辨析能力

在口算中，由于受前攝、后攝抑制或記憶表象等方面的影響，學(xué)生經(jīng)常會(huì)將一些數(shù)量、運(yùn)算特征相似的口算混淆在一起，分辨不清，從而大大影響了他們口算的正確率。因此，把這些相互干擾的口算題編制成組，對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，就能克服干擾、加深印象，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)易混口算的辨析能力。

如：學(xué)生經(jīng)常會(huì)把一些口算中的數(shù)量位置看顛倒，或運(yùn)算順序不正確。面對(duì)這種現(xiàn)象。教者出示了下面的口算題組進(jìn)行對(duì)比訓(xùn)練。

25×4=

15×6= 80-30÷5=

5×5+5×5=

24x5= 16×5= (80-30)÷5= (5×5)÷(5×5)=

再如：通過(guò)分?jǐn)?shù)加減乘除的口算題組訓(xùn)練。幫助學(xué)生整理分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則之間的區(qū)別。

口算題組的比較訓(xùn)練，有利于學(xué)生增強(qiáng)對(duì)運(yùn)算法則與運(yùn)算順序的理解，同時(shí)也有利于學(xué)生口算方法的建構(gòu)。

(作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué))