從高斯公式到高斯定理＊

陳修芳

（武漢工業學院，湖北 武漢 430023）

俗話說，“數理不分家”，主要是說數學中的理論來源于物理實踐，反過來又可以應用于物理。理論上，大學物理教師的主要任務是提出物理概念，建立物理模型，至于模型計算如求導積分等只要交給學生利用數學工具去解決就可以了。

數學中的高斯公式是曲面積分的一個重要公式。設空間區域V由分片光滑的雙側封閉曲面S圍成。若函數P，Q，R在V上連續，且有一階連續偏導數，則：

而高斯定理是靜電學中的一個重要定理。［2］在靜電場中，高斯定理的數學表達式為：

教科書上一般都是利用點電荷的電場線的特點和位于球面球心的點電荷在球面上產生的電通量這個特例及電場線的特點和電場強度的疊加原理來證明高斯定理，［3］這種證明雖然較為簡單，但學生較難理解。下面利用高斯公式推導高斯定理：

見圖1，閉合曲面為球面S（方程 x2＋y2＋z2＝R2），其所圍的立體為V，單位正電荷q放在球心。點電荷在球面上的電場強度為是由點電荷q指向球面的單位矢量。由于球面指向外側的法向量為故通過高斯面的電通量可寫成：

根據高斯公式，有：

若包含點電荷的閉合曲面為任意的，由于電場線不會在無電荷的地方中斷，因此，通過任意閉合曲面的電通量與上式相等，若高斯面內包含多個電荷，根據矢量疊加原理，就可以得出高斯定理

圖1 高斯面上電場強度示意圖

高斯公式和高斯定理雖然表面形式不同，但從高斯公式推導出高斯定理，不僅使我們在電磁學中較容易地引進高斯定理，而且使學生對高斯定理有比較準確地、深刻地理解，更重要的是對學生綜合運用所學知識的能力的一個訓練，收到較好的效果。

1 同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2005

2 施傳柱.關于高斯定律應用的探討［J］.曲靖師專學報，1996（6）：20～21

3 馬文蔚.物理學中冊（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2008