基于自適應(yīng)參數(shù)高階偏微分方程的圖像平滑

郭三華 ，高竹紅 ，曹麗娟 ， 寧志山 ， 初 玲

(1.煙臺(tái)汽車(chē)工程職業(yè)學(xué)院 電子工程系,山東 煙臺(tái)265500;2.深圳市中興通訊股份有限公司,廣東 深圳5180550;3.煙臺(tái)汽車(chē)工程職業(yè)學(xué)院 科研處,山東 煙臺(tái)265500)

圖像平滑作為圖像預(yù)處理基本步驟之一，為后繼圖像處理帶來(lái)很大方便，最常見(jiàn)圖像平滑方法是線性高斯濾波。KOENDERINK指出圖像I0(x,y)與不同尺度的高斯核卷積所得到的平滑圖像等價(jià)于傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)的熱擴(kuò)散方程的解，此解屬于各向同性擴(kuò)散,在平滑同時(shí)造成圖像特征的模糊化[1]。PERONA等提出了如下各向異性擴(kuò)散模型[2]：

基于上述問(wèn)題，在圖像平滑時(shí)提出了基于自適應(yīng)的高階偏微分方程圖像平滑方法,避免了傳統(tǒng)P-M方法圖像平滑方法的缺陷，獲取比較好的視覺(jué)效果。

1 高階方法的提出

P-M方法處理結(jié)果是分段恒定的[5]，容易導(dǎo)致結(jié)果圖像“階梯”狀分布，視覺(jué)效果不理想。而高階方法的處理結(jié)果是分段線性的,在視覺(jué)感知上明顯優(yōu)于P-M方法。

首先，對(duì)圖像 I進(jìn)行坐標(biāo)變換，將笛卡爾兒(x-y)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到(η-ξ)坐標(biāo)系下，其中η表示點(diǎn) p法線方向，ξ表示點(diǎn)p切線方向，[Ix,Iy]為圖像I梯度方向，可得如下變化公式：

根據(jù)二維平面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式有 Iη=(Ixcosα+Iysinα)

其中：

對(duì)上式分別進(jìn)行x和y求導(dǎo),得到：

進(jìn)一步得出：

同理可以得出：

定義相關(guān)的算子：

再考慮定義在圖像區(qū)域Ω上的泛函：

其中 I∈C4(Ω)，函數(shù) F(·)≥0 是遞增函數(shù)，即 F′(·)＞0。由算子?定義可知，圖像 I噪聲越大，式(5)的泛函值就越大。所以最小化E(I)就相當(dāng)于對(duì)圖像進(jìn)行平滑。

式(5)是如下泛函的特殊形式：

根據(jù)變分理論，可知式(6)對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程為：

于是可以得到式(5)的Euler-Lagrange方程：

式(7)可用梯度下降法求解：

2 自適應(yīng)閾值的參數(shù)估計(jì)

參數(shù)k的選取是非線性擴(kuò)散方法的一個(gè)主要難題。如何確定擴(kuò)散的范圍及擴(kuò)散的程度，使降噪和強(qiáng)化順利進(jìn)行的同時(shí)，圖像信息又不致因過(guò)度平滑而大量損失，是應(yīng)用時(shí)需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題。傳統(tǒng)確定參數(shù)的方法是人為指定一個(gè)固定常數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，不同圖像需要設(shè)置不同參數(shù)值，后來(lái)也有學(xué)者提出自動(dòng)估計(jì)梯度閾值的方法，如提出自動(dòng)估計(jì)梯度閾值的公式Sapiro[4]：

由于圖像不同區(qū)域邊緣強(qiáng)度分布不一致，噪聲也不同，而且不同尺度空間邊緣強(qiáng)度和噪聲也不一樣，因此對(duì)整幅圖像使用同一個(gè)全局固定的參數(shù)是不合適的。本文提出了自適應(yīng)閾值參數(shù)選擇方法，使得該算法閾值參數(shù)可以完全自動(dòng)確定，真正實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)閾值參數(shù)非線性濾波。

2.1 閾值參數(shù)估計(jì)

圖像平滑可看作是一個(gè)估計(jì)問(wèn)題：對(duì)于圖像上每一點(diǎn)x，觀測(cè)圖像在該點(diǎn)鄰域內(nèi)取值構(gòu)成一個(gè)觀測(cè)樣本集，要解決的就是如何從觀測(cè)樣本集中估計(jì)出原始圖像在該點(diǎn)的真實(shí)值u(x)。如果某點(diǎn)x的鄰域Nr中像素點(diǎn)都屬于同一區(qū)域，則算子?在Nr內(nèi)的概率分布為單峰分布；如果鄰域Nr中包含了兩個(gè)或多個(gè)區(qū)域，則?在Nr內(nèi)概率分布為多峰分布,如圖1所示。

因此，可以按照以下原則選擇點(diǎn)處x的參數(shù)k(x)：

(1)若點(diǎn) x鄰域內(nèi)樣本算子?為單峰分布(如圖 1(a)所示)，取k(x)為其截止點(diǎn)，即算子?直方圖中絕對(duì)值最大非零點(diǎn)；

(2)若點(diǎn)x鄰域內(nèi)樣本算子?為多峰分布(如圖1(b)所示)，選擇k(x)為算子?直方圖中絕對(duì)值最小谷值點(diǎn)。

據(jù)上述分析得如下結(jié)論：

(1)當(dāng)鄰域位于區(qū)域內(nèi)部時(shí)，可以對(duì)圖像盡量進(jìn)行平滑；

(2)當(dāng)鄰域內(nèi)存在多個(gè)區(qū)域時(shí)，平滑尺度不會(huì)超過(guò)區(qū)域邊緣強(qiáng)度最小值，從而盡可能地保持原圖像邊緣等重要信息。

上述分析完全是一種理想化假設(shè)，對(duì)于實(shí)際圖像處理存在如下兩大困難：

(1)由于鄰域內(nèi)所取樣本有限，從樣本直方圖不能直接得到完全規(guī)則分布的曲線，很難正確地選取閾值參數(shù)k(x)值。

(2)現(xiàn)實(shí)圖像中，即使在同一區(qū)域內(nèi)，平均灰度值往往是變化的，而不是嚴(yán)格滿(mǎn)足分段常數(shù)模型。

為克服以上問(wèn)題,采取Mean Shift核平滑方法對(duì)算子直方圖進(jìn)行處理，使其盡可能準(zhǔn)確地刻畫(huà)多峰分布情況。

2.2 直方圖平滑算法

根據(jù)前面分析可知，算子?直方圖可反映概率分布情況，所以可在鄰域Nr內(nèi)計(jì)算?的值來(lái)進(jìn)行直方圖統(tǒng)計(jì)。設(shè)x點(diǎn)鄰域內(nèi)算子?統(tǒng)計(jì)直方圖為H(d),d=-N,…,N。采用Mean Shift核密度估計(jì)方法對(duì)直方圖進(jìn)行平滑[6]。

直方圖平滑效果示例如圖2所示。

為了降低計(jì)算復(fù)雜度,在估計(jì)參數(shù)k(x)時(shí)，每隔r/2距離計(jì)算一次 (r為鄰域半徑)，然后對(duì)每個(gè)像素點(diǎn)選擇最近鄰的最小值近似為該點(diǎn)閾值參數(shù)，并且每一次迭代之后更新參數(shù)k(x)值，也可設(shè)置每隔若干迭代次數(shù)更新一次參數(shù)k(x)值，這樣可保證一定精度的前提下，大大提高效率。由于基于直方圖算法復(fù)雜度較低，閾值參數(shù)估計(jì)計(jì)算相對(duì)于圖像平滑本身計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)較小。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了比較自適應(yīng)參數(shù)的高階方法和P-M方法平滑的性能，進(jìn)行不同實(shí)驗(yàn)并加以分析。

(1)選用若干幅標(biāo)準(zhǔn)圖像進(jìn)行測(cè)試，圖3顯示沒(méi)有加入噪聲的Grid圖像平滑效果,從圖中可看出當(dāng)?shù)螖?shù)比較多時(shí)，P-M方法平滑的部分邊緣明顯被模糊了，而本文方法獲取的效果比較理想。

(2)圖4是對(duì)加入噪聲的圖像去噪的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖5給出了對(duì)圖4各邊緣的提取結(jié)果，其中圖5(b)采用最經(jīng)典的Canny邊緣提取算子。從圖4和圖5中可看出，PM方法抑制孤立噪聲點(diǎn)和保持圖像邊緣的效果并不十分理想。圖4(b)和圖5(b)中，平滑后天空和地面存在很多孤立噪聲點(diǎn)，建筑物邊緣也很模糊，圖像中細(xì)節(jié)信息也有較大程度損失。從圖4(c)和圖 5(c)來(lái)看，本文方法很好地實(shí)現(xiàn)了圖像平滑和保持邊緣的折衷，保證了圖像視覺(jué)連續(xù)性，其視覺(jué)效果明顯優(yōu)于P-M方法。

對(duì)于圖4(b)和圖 4(c)而言，在迭代次數(shù)相同的情況下，自適應(yīng)參數(shù)高階方法所能達(dá)到峰值信噪比比P-M方法所能達(dá)到峰值信噪比要高得多，并且平均耗時(shí)比P-M方法增加不到20%。表1為對(duì)于Cameraman圖自適應(yīng)參數(shù)高階方法與P-M方法運(yùn)行時(shí)間和峰值信噪比的對(duì)比結(jié)果。

表1 算法運(yùn)行時(shí)間和峰值信噪比的對(duì)比

本文首先對(duì)經(jīng)典P-M方程存在兩大問(wèn)題進(jìn)行分析，提出了自適應(yīng)參數(shù)高階偏微分方法，有效解決了PM方法“階梯”效應(yīng)及其閾值參數(shù)選取問(wèn)題，圖像平滑效果比較好，在耗時(shí)相對(duì)不長(zhǎng)的情況下所能達(dá)到的峰值信噪比也P-M方法高。

[1]BARASH D,COMANCIU D.A common framework for nonlinear diffusion,adaptive smoothing,bilateral filtering and mean shift[J].Image and Vision Computing,2004,22(1):73-81.

[2]PERNA P,MALIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].IEEE Trans on Pattern Anal Machine Intell,1990:12(7):629-639.

[3]YOU Y L,XU W,TANNENBAUM A,et al.Behavioral analysis of anisotropic diffusion in image processing[J].IEEE Trans.Image Processing,1996(5):1539-1553.

[4]WAND M P,JONES M C.Kernel smoothing[M].New York:Chapman&Hall,1995.

[5]BLACK M J,SAPIRO G,MARIMONT D H,et al.Robust anisotropic diffusion[J].IEEE Trans on Image Processing,1998,7(3):421-432.

[6]YOU Y L,KAVEH M.Fourth-order partial differential equations for noise removal[J].IEEE Transactions on Image Processing.2000,9(10):1723-1730.