再保險策略下的理賠總額近似分布研究

李 凱

（中央財經大學 中國精算研究院，北京 100081）

0 引言

在短期聚合風險模型中，所有的保單被視為一個整體，考慮在未來一段時期（如1年）內所發生的損失（理賠）總額。以每一次損失為基本對象，損失總額就是所有單個損失額的和。我們用S來表示損失總額，則有：

其中，Xi表示第i次的損失額，N表示損失次數，Xi和N都是隨機變量，且相互獨立。在聚合風險模型中，通常把S的分布稱作復合分布，譬如當損失次數分布為泊松分布時，相應的復合分布被稱作復合泊松分布。S的分布函數通常比較復雜，獲得S分布的方法有卷積法、矩母函數法、遞歸法、傅里葉法等[1]，但這些方法計算量非常大，且條件較強，所以我們常常采用近似分布來估計S的分布[2]。近似方法大致可分為兩類：一類是給定分布函數類型（如伽馬分布、對數正態分布），再采用矩估計確定參數，另一類則是對S進行調整，使其服從較為簡單的分布（如正態功效近似）。由于理賠總額分布（如復合泊松分布）往往具有厚尾的性質，其偏度系數也顯著大于0，故本文將采用平移伽馬分布近似來估計再保險雙方理賠總額的邊際分布。

連接函數（Copula）理論在隨機變量聯合分布的估計問題中應用廣泛[3][4][5]。首先，由于不限制邊際分布的選擇，可運用連接函數理論構造靈活的多元分布；其次，運用連接函數理論建模時，可將隨機變量的邊際分布和它們之間的相關結構分開研究，使問題大大簡化。相關性分析中常用的連接函數主要有兩大類：橢球類連接函數和阿基米德類連接函數。橢球類連接函數一般被定義為橢球類分布的連接函數，包括高斯連接函數、學生t連接函數和柯西連接函數。本文將重點應用高斯連接函數（正態連接函數）和學生t連接函數來刻畫原保險公司和再保險公司理賠總額的相關性。

再保險優化問題中，有許多種目標函數可作為優化準則，如破產概率、效用函數等[6][7]。而將原保險公司和再保險公司相結合進行討論亦頗具意義，雙方均希望獲得更多的保費并承擔較低的風險，最優再保險策略應兼顧這兩方面的關系，最直觀的方法便是以聯合生存函數作為優化準則，尋求聯合生存概率最大的再保險安排。本文的主要貢獻是找到了一種近似聯合分布的有效方法，并將其應用于新的再保險優化準則，從而對再保險合同的決策提供有力依據。

1 理賠總額邊際分布的近似

本文所討論的再保險形式是：雙方按比例a分攤保險責任，同時確定責任限額M，若原保險人理賠超過此限額，則剩余部分全部由再保險人承擔。如發生賠付X，則原保險人與再保險人所承擔的賠付分別為：

XI=min(aX，M),XR=X-min(aM,M)

特別的，當a=1時，該再保險形式為停止損失再保險；當M/a→∞時，為成數再保險。我們稱之為復合型再保險。

聚合風險模型是將所有的保單視為一個整體，考慮未來一段時期內所發生的理賠總額（累積損失）。本節研究在一定的再保險合同下，原保險人與再保險人理賠總額的邊際分布問題。對于具有同質風險的一類保單而言，若一次事件賠款金額為X，原保險人和再保險人分別承擔XI，XR，則在一段時期內（通常為一年）原保險人和再保險人的理賠總額為：

其中N為隨機變量。（SI，SR）的聯合分布函數為：

F（x1，x2）=Pr（SI≤x1，SR≤x2）

關于理賠總額變量S分布函數的近似問題，前人已經做了大量工作。我們希望獲得SI，SR的聯合分布，首先須尋求近似SI，SR邊際分布的最佳方法。S的分布大多是右偏的，且有一個眾數，這與伽馬分布類似。假設隨機變量X服從參數為（α，δ）的伽馬分布，即具有下述分布函數：

將它平移k后，即可得到平移伽馬分布。顯然，平移伽馬分布具有三個參數(α，δ，k)，如果用平移伽馬分布近似理賠總額S的分布，就需要估計這三個參數的取值，可以用矩估計法進行估計。為了使平移伽馬分布和S的前三階矩相等，α，δ，k必須滿足下述等式：

不難看出，形狀參數a反映了分布的偏度，a取值越小則偏度系數越大。

2 理賠總額聯合分布的近似方法研究

本文研究的核心內容是原保險人與再保險人的聯合生存概率，我們將運用Copula函數（連接函數）描述原保險人和再保險人理賠總額之間的相關性。連接函數是將多個隨機變量的聯合分布函數用它們各自的邊緣分布表示的函數，上一節我們給出原保險人和再保險人理賠總額的邊際分布的最佳近似方法，再通過構造連接函數，便可獲得二者理賠總額聯合分布的近似解。本節首先將介紹連接函數的定義、性質和種類。而后，分別將橢圓連接函數、學生t連接函數應用于聯合分布近似，同時進行隨機模擬，尋求最有效、最準確的連接函數。

2.1 高斯連接函數

這種連接函數產生于一個具有線性相關矩陣Σ的多元正態分布：

C(u1，…，un)=H(Φ-1(u1，…，Φ-1un))

其中H是一個標準正態隨機變量的聯合分布函數

式中Φ-1(·)是一個標準正態分布的反函數，高斯連接函數具有零尾部相依性。

2.2 學生t連接函數

這個聯接函數由一個多變量學生t分布產生，具有線性相關系數矩陣Σ：

其中Tv是一個標準學生t向量的聯合分布，自由度為v，

與高斯連接函數不同，學生t連接函數具有非零的尾部相依。

學生t連接函數主要依賴于自由度參數，Glasserman等人 (2002)認為強尾部相依性的自由度在3和7之間，而Demarta和McNeil(2005)認為在3和8之間。根據Embrechts等人(2002)可知，尾部獨立的自由度(高斯連接函數)。因此，本文選擇的連接函數，根據尾部相依性增加，我們預期依次是高斯、學生t(v=10)、學生t(v=5)連接函數。尾部越重的相依性連接函數在理賠總額分布中產生越厚的尾部。這就可以解釋在厚尾相依性下，極端損失同時出現于原保險人與再保險人的情況更為頻繁。

我們依次選擇高斯、學生t(v=10)、學生t(v=5)連接函數，確定再保險雙方理賠總額的關聯結構。同時，我們仍然用模擬的方法取得聯合分布概率，比較后得到最佳的連接函數。

3 基于聯合生存概率的最優再保險的策略

從實務的角度來說，再保險合同的簽訂需兼顧到償付能力、期望收益等因素，并符合再保險業務的監管規定。首先，雙方的償付能力對再保險合同有著較大的影響，若原保險人選擇償付能力充足的再保險公司進行投保，那么便可將大規模的風險分出，反之，原保險人須謹慎考慮分保安排。假設原保險人和再保險人的初始余額（準備金）分別為UI，UR，則基于聯合生存概率的優化準則為：

本節將通過一系列具體的例子確定復合型再保險的最優形式。之前討論的例子均為復合泊松分布，且理賠額服從帕累托分布（重尾），本節的將進一步討論復合二項、復合負二項分布，以及理賠額服從指數分布（輕尾）時的情形。

指數分布 若理賠額X服從期望為100的指數分布，即f(X=x)=1/ue-x/u，u=100。損失次數N分別服從均值為100的泊松分布（λ=100）、二項分布（n=200，q=0.5）、負二項分布（r=100，β=0.5）。考慮復合型再保險合同，a，M在集合Ω上取值。

Ω={(a，M)|a∈(0，1]，M∈R+}

保費原則遵循期望保費原理，原保險人的附加因子θI=0.1，再保險人的附加因子θR=0.2，則再保險人獲得保費：

扣除再保險費后，原保險人剩余保費為：

PI=(1+θR)E(N)u-PR

依定義，還可求得原保險人與再保險人理賠總額的前三階矩以及相關系數。設原保險人的初始余額（準備金）為UI=500，并選擇實力較強、償付能力充足的再保險人，其初始余額為UR=2000。

運用 Matlab 軟件，分別取 a=0.01，0.02，…，1，M=10，20，…，2000，對于每一組(a，M)，均可通過“Gamma-t Copula”方法求得聯合生存概率的近似值，再取其最大值，便可得到該準則下的最優再保險策略。結果見表1。

表1 準則1下的最優再保險策略

從結果看，當a=1，即超額賠款再保險時可達到最優。同時，我們選擇同期望的理賠次數分布，方差（變異系數）從小到大依次為復合二項分布、復合泊松分布、復合負二項分布，而理賠總額方差的順序也如此。比較這三種情形下的最優再保險策略，不難發現，聯合生存概率差異較大，會隨著理賠總額方差的增大而減小，這個結果是很容易解釋的，因為損失期望相等時，方差越大則對于原保險人和再保險人來說，承擔的風險就越大，故聯合生存概率會變小。

表2 準則1下的最優再保險策略

帕累托分布 若理賠額X服從期望為100的帕累托分布，即 f(X=x)=αkα/(k+x)1+α,其中 k=400，α=5 之前我們討論的幾個例子，都是理賠次數服從泊松分布，現在還需討論復合二項、負二項分布，其他條件同上例。當理賠額分布為帕累托分布時，再保險人獲得保費：

扣除再保險費后，原保險人剩余保費為：

準則(2)下的最優再保險策略為：

與一次理賠額服從指數分布時一樣，聯合生存概率隨理賠次數方差增大而變小。與指數分布比較，帕累托分布的聯合生存概率整體偏小，這是因為帕累托分布的尾部較指數分布更重，尾部風險更高。

4 結論

在聚合風險模型下，原保險人和再保險人的理賠總額分布為復合分布，一般無法得到精確解，而雙方理賠總額的聯合分布更難獲得，因此，只能嘗試用近似方法處理此類問題。我們首先討論了原保險人和再保險人理賠總額的邊際分布，給定再保險策略以及理賠次數和理賠金額分布，進行平移伽馬分布近似。而后，運用橢球型連接函數(copula)，刻畫原保險人和再保險人理賠總額的相關性和尾部相依性，從而得到了近似雙方理賠總額聯合分布的最優方法。本文提供的方法可用于研究保險精算中與聯合分布函數相關的內容，例如：條件概率，給定初始準備金后的聯合生存概率，保證收益率前提下的聯合生存概率等等。因此便有了更多的新的優化準則可供選擇，為研究再保險優化問題拓寬了思路。

[1]Klugman S.A.,Panjer H.H.,Willmot G.E.Loss Models:From Data To Decisions[M].Chichester:Wiley,2004.

[2]Hardy M.R.Approximating the Aggregate Claims Distribution,Encyclopaedia of Actuarial Science[M].Chichester，Wiley,2004.

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