新混沌系統的自適應控制與噪聲中的同步研究

葉 慧,章亭芳

(江蘇科技大學 數理學院，江蘇 鎮江212003)

0 引言

由于混沌系統對初值的敏感性和長時間的不可預測性，控制混沌和混沌同步就成了混沌應用的關鍵環節，文獻[1]基于Lyapunov穩定性理論實現了連續混沌的自適應控制，文獻，文獻〔2-5〕采用了不同的方法實現混沌同步問題，但對于在噪聲作用下的異結構同步研究較少。 筆者在文獻[6]的基礎上接著對新混沌系統進行研究。首先分析它的動力學行為，在參數未知時設計一連續的自適應控制器，通過調整控制增益提高控制速度,并證明所給控制器能使受控混沌系統全局漸近穩定。接著研究在有界噪聲作用下文獻[6]中的兩個新混沌系統的異同步控制器的控制效果，用Matlab軟件進行數值仿真，檢驗了該控制器具的魯棒性和抗干擾能力。

1 新混沌系統的描述

1944年Nadolschi在研究剛運動時引入了一個新的系統,其特點是它的右端還有三個非線性項，在不同參數下可產生多個不同的吸引子。此新的混沌系統的數學模型為：

其中X=(x,y,z)T∈R3為系統的狀態變量，其中a,b,c為系統參數。

2 系統的穩定性分析

（1）對稱性和不變性。首先，注意到系統(1)在變換S：(X，Y，Z) →(-X，-Y，Z);S：(X，Y，Z)→(X，-Y，-Z);S：(X，Y，Z)→(-X，Y，-Z);下對于所有的參數 a，b，c 具有不變性，則這些變換表明系統關于x，y，z軸都是對稱的，即此系統關于原點對稱。顯然，坐標軸本身也是系統的解軌線，即，若t=0時有X=0，Y=0，Z=0，則對于所有的 t＞0，仍然有 X=0，Y=0，Z=0.更進一步說，對于t趨于0，坐標軸上所有的解軌線都趨向于原點。

（2）耗散性。當參數 a+b+c＜0 時，系統是耗散的。Δv==a+b+c它是收斂到一個零測度集=ea+b+c，即v(t)=v0e(a+b+c)t，其中v0是系統體積的初始值。

（3）與其他系統不同的是，令方程右端為零，我們得 該系統存在五個平衡點：］

由系統的Jacobi矩陣 可以求得系統的特征方程為：λ3-(a+b+c)λ2+(ab+ac+bc-mx2+z2+my2)λ+(mx2a-z2c+2mxyzmy2b-abc)=0上式中λ為待定的特征根將平衡點E0(0,0,0)代人 特 征 方 程 中 ， 有 ：λ3-(a+b+c)λ2+(ab+ac+bc)λ-abc=0，由Routh-Hurwitz判據，只要有 abc＞0,則 E0(0,0,0)是不穩定的。下面分析平衡點E1,E2,E3,E4的不穩定的參數條件，由系統(1)在變換S下及這些平衡點關于坐標軸的對稱性，所以只需要分析其中之一即可。如我們僅僅分析E1(的穩定性。將E1代入上述特征方程有λ3-(a+b+c)λ2+2abc+2m=0可得平衡點E1)不穩定的參數條件為：abc＞0， m＞0， a+b+c＜0

（4）根據上面的分析,根據Matlab軟件我們可畫出他的吸引子圖。見圖1。

當a=4.5,b=-12,c=-5,m=1/3時，系統是一個兩渦旋的混沌系統。當a=0.4.,b=-12,c=-5，m=1/3是一個四渦旋的混沌系統,且系統不存在Hopf分叉。

3 控制方法

下面考察將系統（1）全局漸近穩定到這五個平衡點E1,E2,E3,E4的控制問題。

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在控制律（2）中k用作自適應可調函數，β是自適應增益常數，β＞0改變β值可以適當改變自適應的速度。

定理1 通過自適應反饋控制器（2），受控閉環系統

在零點全局漸近穩定，即原混沌系統（1）能被全局漸近穩定到它的五個不穩定的平衡點Ei。

證明:現構造如下的Lyapunov函數

即V˙負定.據 Lyapunov 穩定性定理，可知受控系統（3）的零解漸近穩定，亦即原系統（1）全局穩定于平衡點。

取 β=-5，采用（2）式控制律，以在平衡點 E0(0,0,0)為例，取初始值為（-1，-1，-1），作出受控閉環系統的三維相圖如圖2所示。

由圖2可知，在參數a未知的情況下（2）控制器，受控的閉環系統都是全局漸進穩定于平衡點E0(0,0,0)。

4 在噪聲下的兩類新混沌系統的異結構同步

在實際的物理環境中，噪聲是普遍存在的.實際的混沌系統是不可避免地受到噪聲的干擾.因此研究在外噪聲作用下同步方法[7]的魯棒性就極其重要.有界噪聲與理想的白噪聲相比，它是一個更切合實際的合理的噪聲模型.下面考慮外加有界噪聲對文獻[6]自適應同步方法的影響.

以新混沌系統（1）為例，注意觀察系統（1）可發現它還有三個非線性項，我們如果把它稍微變動就可發現它與最近陳關榮等最近研究Lorenz系統時，在Lorenz系統的第一個狀態變量上加上一個非線性項，從而得到的另外一個新的混沌系統

此系統與（1）系統有相同的結構特征，當a1,b1,c1的取值不同時它們有不同形式的混沌吸引子。在a1=40,b1=25,c1=-3時系統(4)的混沌吸引子圖3

文獻[6]給出了系統(1)和(4)在控制率為如下（5）時，這兩個新混沌系統的異結構同步。

其中β為大于0的數(β是自適應增益常數，改變它的值可以適當改變自適應的速度)。

現以將 Dξ(t)加到響應系統(4)式的右邊，ξ(t)=cos(Ωt+σB(t)+Γ)，其中 σ,Ω 為正的常數，B(t)是單位 Wiener過程，Γ 是[0,2π]之間均勻分布的隨機變量，D是噪聲強度。采用控制器(5),模擬數據仍用文獻[6]中的數據，選取有界噪聲ξ(t)中的參數Ω=1.0,σ=1.0,噪聲強度 D=0.5。 用 Matlab 仿真,畫出圖 4。

數值研究結果表明：在有界噪聲的作用下，自適應同步誤差在趨于零的過程中會出現一定的擾動，此時自適應同步誤差變得比較粗糙，但不影響最終的控制效果。

5 結論

對新混沌系統進行分析，得出其具有的五個平衡點都是不穩定的參數條件。接著運用反饋的控制方法，通過坐標變換，對混沌系統（1）進行了控制。在系統參數未知時，克服了一般的自適應控制中的控制律不連續這一缺點，設計一連續的自適應控制器使混沌系統漸近穩定。然后研究在有界噪聲作用下該系統的的異同步控制效果，表明了自適應控制器方法具有較強的魯棒性和抗干擾能力，數值仿真進一步說明這種方法是有效的。

[1]Loria,A，Panteley,Enijmeijer,H.Control of the Chaotic Doffing E-quation with Uncertainty in all Parameters[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I.1998,(45).

[2]Zhang Huaizhou,Qin Huashu.Adaptive Control of Chaotic Systems with Uncertainties[J].Int J.Bifurcation and Chaos,1998,8(10).

[3]蔡國梁,黃娟娟,超混沌Chen系統和超混沌Rossler系統的異結構同步,物理學報,2006.55(88).

[4]李爽,徐偉,李瑞紅等,異結構系統混沌同步的新方法，物理學報,2006.55(11).

[5]Julien Clinton Sprott Chaos and Time-Series Analysis[M].London：Oxford UniVersity Press,2003.

[6]葉慧，姚洪興，一類新混沌系統的控制與異結構同步及其在保密通信中的應用，江蘇科技大學學報，2007，(10).

[7]賈飛蕾，徐偉，一類參數不確定混沌系統的延遲同步[J].物理學報，2007,56（06）.