利用差錯資源 促進思維發展

在數學學習中，學生出現錯誤是必然的、普遍的。面對學生的錯誤，教師是害怕、藏著、捂著或輕描淡寫一帶而過；還是直面錯誤，認真分析產生錯誤的原因，辨別錯誤的價值，選擇有價值的錯誤作為課程資源加以利用，幫助學生加深對數學知識的理解，最終不再犯類似的錯誤，消除數學學習中的隱患呢?假若教師能夠善于發現差錯背后隱含的教育價值，引領學生從差錯中求知，在差錯中探究，那么課堂將因錯而精彩，學生也將因錯而發展。

一、用好差錯，激活思維

錯誤不是教給的，而是學習者構造了自己特有的概念與程式造成的。學生在數學學習活動中難以理解、容易混淆的內容往往成為教學的難點和易混點，而錯誤正是學習難點、易混點的折射反映。對于學生在課堂上出現的錯誤，如果教師能用好錯誤資源，通過展示學生的錯誤，辯論錯誤觀點，引導學生從不同角度去修正錯誤，讓他們在辯論中，碰撞思維，交流觀點，那么，學生會對這些難點內容、易混內容理解得更深刻，記憶得更牢固，并從中獲得了質疑、反思與多向思維的學習素養。

例如，“學校小星星合唱團有48人，其中五年級學生占3/8，六年級學生占25％。合唱團中五、六年級學生各有多少人?”學生在解答這道題時，出現了兩種不同的方案，我把兩種方案都展示在黑板上。

方案一：48×3/8=18(人)；

48×25％=12(人)。

方案：48÷3/8=128(人)；

48÷25％=196(人)。

師：這兩個方案你們同意哪個方案口福建省莆田市城廂區逸夫實驗小學張珍玉呢?(大部分學生同意方案一，個別同意方案二。)

師：我也覺得方案二的解法有道理。

生：不對，不對。(同意方案一的學生群起反對。)

師：為什么方案二的解法是錯誤的，你們有什么充分的理由來說明嗎?

小組討論片刻后。

生1：根據題意，學校合唱團的總人數是48人，而按方案二算出的結果，無論是五年級還是六年級參加合唱團的人數都比全校合唱團的總人數多，這不合常理，因此，肯定是錯誤的。

生2：我再補充一點，按照方案二的解法，五、六年級參加合唱團的人數總和是324人，比全校合唱團的總人數多出276人，太離譜了。(全班學生大笑)

生3：我想說明為什么要用乘法算。因為全校合唱團共有48人，五年級參加的人數占全校合唱團人數的3/8，求五年級合唱團的人數，就是求48人的3/8是多少人，所以用乘法計算。同樣的道理，求六年級的人數也是用乘法計算。(掌聲響起)

生4：方案二的解法之所以錯誤，是因為他們把五年級的人數與六年級的人數分別看作單位“1”，而把48人看作3/8及25％對應的數量。

師：用方案二解答的同學對剛才幾位同學的見解有意見嗎?現在自己會糾錯了嗎?(幾位錯誤的學生紛紛點頭)剛才我們在討論中，再次辨別了用分數乘除法解決問題的聯系與區別，相信大家對分數乘除問題的理解會更加深刻。

不可否定，這道題大部分學生都能正確解答，教師完全可以采取正面引導的教學策略，對方案二的“差錯”忽略不計。但是，建構主義學習觀認為，學生的錯誤不可能單獨依靠正面示范和反復練習得以糾正，必須經過一個自我否定的過程。所以，我在引導學生運用歸謬法分析方案二的差錯過程中，學生綜合運用了估算、反證、聯系生活實際等思想方法，在思維碰撞的過程中提升認識，促進了思維的發展；同時，由于教師起初“支持”差錯，維護了出錯學生的學習情感，他們在安全的心理環境中，更容易接納他人觀點，進行自我反省。

二、用活差錯，創新思維

數學學習活動，本來就是一次不斷觀察、猜測、實驗、嘗試、探索的復雜過程，學生在經歷這一數學活動過程時產生錯誤在所難免。錯誤表征著學生思想的航行，活動的展開。錯誤可能意味著學生一次觀念的冒險、體驗的豐富、超越的契機。例如，教學《比例尺》，在學生練習“一塊長方形地，按1:200的比例尺畫出平面圖后，量得長是8厘米，寬是6厘米，求這塊地的實際面積”時，我給出了下面兩種答案：

(1)8÷-1/200=1600(厘米)=16米；

6÷-1/200=1200(厘米)=12米；

16×12=192(平方米)。

(2)6×8÷1/200=9600(平方厘米)

=96(平方分米)

面對兩種不同的答案，我不僅組織學生集體查錯、析錯，還通過分析、綜合、類比等思維活動，糾正錯誤。憑借多年的教學經驗，我認識到算法二的錯誤是有代表性的、有價值的。于是，我引導學生深入地思考：圖上面積和實際面積的比與比例尺有什么關系呢?學生經過認真思考、討論、計算、推理，發現了“圖上面積和實際面積的比是比例尺的平方”這一規律。從而受算法二的啟發，獲得了一種新的解決問題策略，即6×8÷1/40000。在這一過程中，教師用活差錯，激勵學生轉換思路，利用錯誤中蘊含的創新火花點燃探究欲望，深化對知識的理解，從而使學生領會和掌握了內隱的數學規律及本質，磨煉了創新思維，體驗了探索數學奧妙的樂趣。

三、活用差錯，拓展思維

學習是在不斷出錯、糾錯中進行的。錯誤并不可怕，怕的是失去面對錯誤的勇氣，失去嘗試、探索的信心。學生只有主動表達自己思考的航向，敢于在課堂上暴露自己的真實想法和思考，真正明白自己的問題，改正錯誤，才能把知識和能力內化，在解決錯誤中拓展思維。

例如，學生解答“某旅館有24間雙人間，46間三人間，這個旅館一共可住多少人?”時，我在巡視中發現大多數學生很快列出了正確的算式：24×2+46×3，唯有張凡同學這樣算：(24+46)×2×3。當時我不置可否，只是把這兩個算式都寫在黑板上，先請一位同學說說用24×2+46×3計算的理由，再請張凡同學講講他的思路。張凡說：“(24+46)×2是表示把所有的房間都看成是雙人間，再乘3是……”他不好意思地用手抓了一下后腦勺，說不下去了。顯然，他發現了自己的錯誤。我見狀接著說：“張凡同學先把所有房間都看成雙人間，用了假設法，很有創意，那應該怎么改算式才是正確的呢?”張凡自己緊接著說：“應該是(24+46)×2+46。”其他同學情不自禁地為他獨特的解法鼓掌。一石激起千層浪，在張凡思路的啟迪、刺激下，同學們的思維頓時活躍起來，大家爭先恐后地發表自己的見解，很快地又找到了(24+46)×3-24等不同的解法。一種原本錯誤的解法，因為教師的活用，學生在對抗錯誤中，突破了常規思維，變錯為寶，在創造性思維中真真切切地體會到了“做”數學的樂趣。

正確的有可能是一種模仿，錯誤卻大凡是一種經歷，是學生樸實思想、經驗的真實暴露，從學生成長來說，學習中所犯的錯誤是他們生命成長中重要的財富。我們要允許學生犯錯，包容、接納學生的錯誤，更要從錯誤中獲得新的啟迪。對學生的錯誤，要正確地解讀，要辯證、合理地利用，讓學習差錯給課堂帶來涌動的生命力。

(責編林劍)