一類描述五分Cantor集的擬移位映射

徐園芬, 戴振祥

(1.浙江萬里學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)院，浙江 寧波 315101;2.寧波教育學(xué)院 信息與藝術(shù)學(xué)院，浙江 寧波 315010)

0 引 言

1967年,Smale構(gòu)造了著名的馬蹄模型，并成功地運(yùn)用符號空間上的移位映射刻畫了它豐富的動力學(xué)性質(zhì)[1];文獻(xiàn)[2]在單邊符號空間Σ上引進(jìn)了一類單邊擬移位映射,證明了這類映射是在Li-Yorke意義下混沌的,并且用這類映射描述了Cantor集及平面Cantor集的混沌映射;文獻(xiàn)[3]定義了雙邊符號空間上的一種新的擬移位映射,并證明了它與傳統(tǒng)的移位映射σ拓?fù)涔曹?且成功地刻畫了M?bius帶上一類映射的吸引子的結(jié)構(gòu)及動力學(xué)行為.

本文將在單邊符號空間Σ3上給出一類單邊擬移位映射,證明它在Li-Yorke意義下是混沌的，并用這類映射描述了五分Cantor集的混沌映射.

1 符號空間上的擬移位映射

1.1 擬移位映射的有關(guān)定義

空間(Σ3,d)上的單邊移位映射σ定義為：對?s=(s0s1s2…)∈Σ3，σ(s0s1s2…)=(s1s2s3…)．現(xiàn)在(Σ3,d)上定義擬移位映射.

1.2 擬移位映射τ的基本結(jié)論

定理1(Σ3,τ)與(Σ3,σ)拓?fù)浒牍曹?

證明 作映射η:Σ3→Σ3.對于s=(s0s1s2…)∈Σ3，有η(s)=((s0×s1)(s1×s2)(s2×s3)…)，易證η在Σ3上連續(xù)．

當(dāng)s0=0時，

η(τ(s))=η(s1s2…sn…)=((s1×s2)(s2×s3)…);

σ(η(s))=σ((s0×s1)(s1×s2)(s2×s3)…)=((s1×s2)(s2×s3)…).

即η°τ=σ°η.

當(dāng)s0≠0時，

σ(η(s))=σ((s0×s1)(s1×s2)(s2×s3)…)=((s1×s2)(s2×s3)…).

所以η°τ=σ°η.因此,(Σ3,τ)與(Σ3,σ)拓?fù)浒牍曹棧?/p>

為了證明τ的Li-Yorke混沌性，首先引進(jìn)引理1.

引理1[4]若τ是Σ3到自身的連續(xù)映射，則τ在Li-Yorke意義下是混沌的充要條件是:存在x,y∈Σ3，使

首先證明τ是連續(xù)映射.

定理2擬移位映射τ:Σ3→Σ3是連續(xù)映射.

證明 對于?s=(s0s1s2…sn…)∈Σ3，?t=(t0t1t2…tn…)∈Σ3,有

定理3擬移位映射τ在Li-Yorke意義下是混沌的．

k=1,2,…；n=0,1,2,….這樣可以得到,對?r∈(0,1)，sr除了k2(k=1,2,…)位置上的符號*不確定外，其他位置上的狀態(tài)符號都是確定的，且3n位置上對應(yīng)的狀態(tài)符號是-1，3n+1位置上對應(yīng)的是0，3n+2位置上對應(yīng)的是1，即

作集合S={sr|r∈(0,1)}，對?r1,r2∈(0,1)，當(dāng)r1≠r2時，有ar1≠ar2，故集合S與(0,1)中的實數(shù)一一對應(yīng)，S是一個不可數(shù)集．

supd(τn(ar1),τn(ar2))≥supd(τkn(ar1),τkn(ar2))>0,

即

2 用擬移位映射描述五分Cantor集的混沌映射

2.1 五分Cantor集I的構(gòu)造

I0?I1?I2?…?In-1?….

2.2 五分Cantor集I中的點可以用五進(jìn)制無窮小數(shù)表示

令Hi0i1…in-1=[an,bn],其中an,bn∈I，且an,bn的五進(jìn)制表示為：an=0.i0i1i2…in-1000…;bn=0.i0i1i2…in-1444…,is∈{0,2,4},s=0,1,2,…,n-1.

由此得到五分Cantor集點的五進(jìn)制無窮小數(shù)表示．

定理4設(shè)I為區(qū)間[0,1]上的五分Cantor集，?x∈I，則

x=Hx0x1x2…=0.x0x1x2…,xi∈{0,2,4}.

這樣表示的I中的五進(jìn)制無窮小數(shù)中只出現(xiàn)0，2，4，沒有1和3.其中:0表示左邊區(qū)間;2表示中間區(qū)間;4表示右邊區(qū)間．

2.3 用擬移位映射描述五分Cantor集的混沌映射

將Σ3={s=(s0s1s2…) |si∈{-1,0,1}}中的符號作如下替換:-1換成0;0換成2;1換成4.則Σ3={s=(s0s1s2…) |si∈{0,2,4}}，由此決定了一個由I到Σ3的同胚映射T．

定理5設(shè)T是I→Σ3的映射，對?Hi0i1i2…in-1…∈I，有

T(Hi0i1i2…in-1…)=(i0i1i2…in-1…),(i0i1i2…in-1…)∈Σ3,

則映射T是一同胚映射．

因此T連續(xù)．類似可以證明T-1的連續(xù)性.故T是一同胚映射．

下面定義I上的擬移位映射.

定理6(I,Φ|I)與(Σ3,τ)拓?fù)涔曹棧⑶姚凳荓i-Yorke意義下的混沌映射．

證明 ?p=Hi0i1i2…in-1…∈I,有

即τ°T=T°Φ.由于T是一一的同胚映射，從而τ與Φ|I拓?fù)涔曹棧?/p>

由于τ在Li-Yorke意義下是混沌的，從而擬移位映射Φ是Li-Yorke意義下的混沌映射．

致謝：感謝浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院陳鳳娟老師的悉心指導(dǎo)！

參考文獻(xiàn)：

[1]Smale S.Differentiable dynamical systems[J].Bull Amer Math Soc,1967,73:747-817.

[2]李明軍,李開泰.一類描述混沌符號動力系統(tǒng)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,1999,14(2):125-129.

[3]陳芳躍,陳鳳娟.符號空間的擬移位和M?bius帶上的奇怪吸引子[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2003,24(7):747-754.

[4]耿祥義.Li-Yorke混沌的充要條件[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2001,44(5):929-932.