調和方程Dirichlet外問題的Green函數研究

(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

調和方程作為偏微分方程中最典型的一種，在研究調和場理論與電磁場的性質時常會遇到，而Green函數是求解調和方程邊值問題的重要方法之一，在船舶磁場的計算[1]與物理大地測量學[2]等方面都有應用，因此對調和方程Green函數的研究既有理論意義又有實用價值。傳統教材定義調和方程的Green函數有2種方式，分別是基本解方式[3]和狄拉克δ函數方式[4]，文獻[5]還討論了2種定義方式的等價性，而且幾乎以Dirichlet內問題進行討論,只有文獻[2]討論了外問題的Green函數，但沒有給出滿足的條件。為此，筆者在以基本解方式定義Green函數的基礎上，導出了有界區域外部調和函數的積分表達式，并在此基礎上給出了Dirichlet外問題的Green函數及其滿足的條件，最后用此Green函數給出了調和方程球域外Dirichlet問題的解?。

1 有界區域外部調和函數的積分表達式

(1)

以M0為球心、充分小的正數ε為半徑作球面Γε,記小球面所包圍的區域為Kε?Ω′。再以原點O為球心、以任意大的正數R為半徑作球面ΓR，使得ΓR包含Γ和Γε，并記ΓR與Γ所夾的區域為ΩR。在以Γ∪Γε∪ΓR為邊界的區域ΩRKε上,對調和函數u,v應用格林第二公式[3]可得：

即:

(2)

從而:

在大球面ΓR上,由文獻[6]知：

由三角不等式rOM≤rOM0+rM0M可得：

在式(2)中,令ε→0，R→+∞可得：

(3)

式中,ΓR的法向量指向內側。

2 Dirichlet外問題的Green函數及其滿足的條件

作以原點O為球心，任意大的正數R為半徑的球面ΓR，使得ΓR包含Γ，并記ΓR與Γ所夾的區域為ΩR。在以Γ∪ΓR為邊界的區域ΩR上,對調和函數u、g應用格林第二公式[3]可得：

即：

(4)

在球面ΓR上,由于:

在式(4)中,令R→+∞可得：

(5)

式中，Γ的法向量指向內側。

式(3)減去式(5)可得：

記：

并注意到u、g滿足的邊界條件，得到：

(6)

(7)

3 應 用

圖1 靜電源像法求Green函數示意圖

作為Dirichlet外問題Green函數的應用，下面求解以原點O為球心，R為半徑的球面KR外的Dirichlet外問題：

(8)

其中,u在KR上有一階連續偏導數。

這是感應電荷的等效電位，其中q待定。

M處的總電位為：

由余弦定理及關系式ρ0ρ1=R2可得：

其中,γ是ρ0與ρ之間的夾角。顯然g(M,M0)滿足條件(7)。

由式(6)化為球坐標形式可得問題(8)的解為：

其中,cosγ=cosθcosθ0+sinθsinθ0cos(φ-φ0)。

[1]周耀忠.格林函數在船舶磁場計算中的應用[J].中國修船，2006，19(5)：29～31.

[2]張傳定，陸仲連.球域調和函數外部邊值問題的格林函數解[J].解放軍測繪學院學報，1994，11(3)：161～165.

[3]谷超豪.數學物理方程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2002.68～95.

[4]于濤.數學物理方程與特殊函數[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，2006.99～116.

[5]柯導明，陳軍寧.數學物理方法[M].北京：機械工業出版社，2008.297～311.

[6]趙天玉，劉慶.反演變換在調和函數研究中的應用[J].長江大學學報(自然科學版)，2009，6(3)：N1～4.