數控機床主軸系統熱誤差溫度測量點的最優化設計方法

李郝林 應杏娟

上海理工大學,上海,200093

0 引言

數控機床的誤差源主要有幾何誤差、熱誤差、伺服控制誤差和切削力誤差四大類,其中熱變形誤差和幾何誤差為最主要的誤差,分別占總誤差的45%和20%,所以減小這兩種誤差,特別是減小熱誤差是提高機床加工精度的關鍵,而且越是精密的機床,熱誤差占總誤差的比例越大。因此,研究機床的熱變形誤差測量與補償技術對于提高機床的加工精度有著極其重要的作用[1-5]。數控機床誤差補償的過程一般分為誤差測量、建模和補償三個階段。機床的熱誤差和機床的溫度場有關,而機床的溫度場是隨時間變化的,因此,對于機床熱誤差的補償必須采取實時測量和補償的方法,建立能夠對誤差進行精確預測的數學模型是進行熱誤差補償的關鍵。

數控機床熱誤差數學模型的建立,一般需在機床熱誤差測量的基礎上,通過分析機床不同位置溫度傳感器測量值與機床熱變形的關系,建立溫度-熱誤差關系數學模型[6-7]。然而,如何選擇機床溫度測量點是該項工作的難點與關鍵,機床上溫度測量點越多,所建立的熱誤差模型也就越精確,但數據處理量會隨之大大增加。另外,溫度測量點布置過密,會使相鄰測點輸出信號具有較大的相關性。為了從眾多測量點中選擇出適當數目的測量點,文獻[8]提出了溫度點的分組選擇方法,以減少溫度變量之間的相關性對誤差模型精度的影響。文獻[9-12]也對該問題進行了研究,所采用的方法是依據工程經驗,選擇機床溫度敏感點(如絲桿的溫度、主軸溫度、床身溫度等處)安裝大量的溫度傳感器,然后再采用相關分析、聚類分析等方法選出少量的傳感器測量值用于溫度誤差的建模,所提出的方法均未解決最優溫度測量點位置的確定問題。

信息論所建立的互信息概念[13],給出了定量計算兩序列之間的互信息方法,文獻[14]闡述了互信息概念在數據處理中多方面的應用方法,其概念可用于描述某溫度測量點所提供的關于機床熱變形信息量的大小。本文基于信息論,在對機床熱誤差有限元分析的基礎上,提出了一種對溫度測量的測點位置進行優化的計算方法,這些測點包含機床熱變形誤差互信息量最大點;給出了評判溫度測量位置優劣的評價指標;通過主軸熱誤差測量實驗驗證了所提出方法的有效性。

1 基于信息論的溫度測點位置優化方法

設機床上溫度測量點的待定位置為X,X={x1,x 2,…,xn},通過有限元分析獲得這些位置上的溫度隨時間的變化量 T,T={T1(t),T2(t),…,Tn(t)},機床變形量隨時間的變化量為Y(t),各測量位置溫度值的值域為[Tmin,Tmax],機床變形量的值域為[D min,D max]。將[T min,T max]區間劃分為N等份,[D min,D max]區間劃分為M等份。分別統計Ti(t)與Y(t)落入各個小區間的樣本數,計算概率分布PTi(j)與PY(k),i=1,2,…,n;j=1,2,…,N;k=1,2,…,M。根據信息論,各個溫度測點位置溫度變化的不確定度可用熵函數H(Ti)表示為

機床變形量的不確定度可用熵函數H(Y)表示為

建立數控機床熱誤差模型的目的就是要通過盡量少的溫度傳感器獲得準確的機床變形量的信息。根據信息論,某溫度測點測量值 Ti(t)所提供的機床變形量的互信息量可表示為

其中,聯合離散概率分布P(Y k Ti(j))可以通過將Ti(t)與Y(t)張成二維空間,然后等分為N×M個小區間,統計落入這些小區間的樣本數計算得到。

根據式(3),分別計算每一個溫度測點與機床變形量Y的互信息量I(Y;Ti),取最大的I(Y;Ti)值,即可確定包含機床變形量最大互信息量的溫度測量點,此位置即為最優的溫度測量點位置。然而,僅僅一個溫度測量點的信息往往不能完全消除機床變形量的不確定度,還需要計算其他溫度測量點所提供的機床變形量Y(t)的互信息量I(Y;Ti),使得其提供的互信息量能夠獲得足夠準確的機床變形量Y(t)的信息。m個溫度傳感器所提供的機床變形量Y(t)的互信息量可表示為

值得指出的是,當計算最優的多個溫度傳感器測量位置時,其傳感器組合內并不一定包含機床變形量最大互信息量的傳感器。因此,為了確定最優的m個溫度傳感器位置,應該按照式(4)遍歷計算所有可能的傳感器組合方式。當所計算的溫度傳感器數目較多時,傳感器安裝備選位置組合數將呈指數增大,給式(4)的計算帶來困難。為了有效解決該問題,可采用遺傳算法,分別計算出最優的2個、3個、…、m個溫度傳感器的組合,并根據機床變形量的計算精度,確定出最少的溫度傳感器組合作為溫度誤差建模使用的變量。

2 主軸系統溫度場和熱變形有限元分析

主軸系統的熱變形是高精度數控機床熱變形的重要因素之一,本文以一種數控螺紋磨床的主軸系統為例來說明所提出計算方法的有效性。該主軸部件由主軸、主軸箱、前后軸承等組成,主要熱源是前后滾動軸承的摩擦發熱。

計算中使用有限元分析軟件建立了經過簡化的有限元模型,如圖1所示[15-17]。設定環境溫度為20℃,當主軸轉速為2000r/min時,計算得到前后軸承的發熱量分別為147W 和112.6W,將軸承發熱量作為熱源邊界條件以生熱率的形式施加到主軸有限元模型上。主軸與空氣間的對流換熱系數可按努謝爾特準則方程計算,本例中,當主軸轉速取2000r/min時,計算得到對流傳熱系數為89W/(m2?K),箱壁自由換熱表面的對流傳熱系數取10 W/(m2?K)。在主軸系統的熱分析過程中,按如下順序加載：啟動機床運轉600s→停止300s→重新啟動運轉1200s→停止300s→再啟動運轉直到時間滿2h。

圖1 主軸部件有限元模型

在上述邊界條件下計算主軸系統在空載狀態下運轉2h的瞬態溫度場,圖2為主軸箱和主軸在熱平衡狀態下的溫度分布云圖,主軸箱的最高溫升為26.8℃,出現在前軸承內圈處。圖3所示為主軸箱體側面16個測點的溫升隨時間變化曲線(圖3中溫度曲線編號與圖1測點序號對應),測點在箱體的3個側面靠近主軸線方向均勻分布,如圖1所示,其中上側面右方因為箱體有立柱因而不能安裝傳感器,所以該面只能分布4個測點。從圖3測點溫度—時間曲線中可以發現溫度的滯后效應：靠近熱源的測點在升降溫過程中響應迅速而且溫升變化較大;而遠離熱源的測點,升降溫響應滯后一段時間,且溫升變化較小。

圖2 主軸系統溫度分布云圖

圖3 測點溫度—時間曲線

以主軸瞬態溫度場作為載荷,加上主軸系統的位移約束條件,進行主軸系統的“熱—結構”耦合分析,得到主軸系統瞬態熱變形結果。關于主軸熱變形誤差的評定指標一般有：軸線角度誤差(包括傾斜、偏轉)以及主軸在X軸、Y軸和Z軸方向的位移。而軸線角度誤差是主軸熱變形誤差的綜合性指標,因此本文選擇軸線角度誤差作為熱變形誤差評定參數。

主軸受熱變形后,其軸線的變形傾斜情況如圖4所示,圖中虛線、實線分別為主軸變形前和變形后位置。變形后截面圓心位置發生了改變：O1→O′1,O2 →O′2,軸線的角度誤差為 α。利用前述模擬計算結果提取這些點變形前的坐標值(x0,y0,z0)和熱變形位移值(Δx,Δy,Δz),通過擬合并利用幾何關系計算出主軸軸線對應每一個模擬分析時間段的角度誤差α。從而得到角度誤差α隨時間的變化曲線。圖5分別為主軸軸線沿x方向的偏轉角誤差和y方向的傾斜角誤差隨時間的變化曲線。可以看到,主軸軸線沿x方向的偏轉角誤差αx在升降溫過程中有明顯的變化,而沿y方向的傾斜角誤差αy非常小,這是由于主軸部件在y方向結構基本是軸對稱的,所以軸線在y方向基本不會偏轉。因此,以下分析過程僅考慮主軸在x方向的偏轉角誤差αx。

圖4 主軸軸線熱變形角度示意圖

圖5 主軸偏轉/傾斜角誤差-時間曲線

3 溫度測點位置優化選擇

根據上述計算得到的隨時間變化的溫度和熱變形誤差的數據,提取16個測點的溫度隨時間變化的數據 T,T={T1(t),T2(t),…,Ti(t),…,T16(t)}和主軸偏轉角度αx隨時間的變化數據αx(t),按照式(3)和式(4),可求得溫度測量點所提供的機床主軸熱變形的互信息量。溫度和變形量樣本數量、溫度值域[T min,T max]和變形量值域[D min,D max]區間等分數N、M的選取應能夠保證概率分布的穩定性,計算中取樣本數100,區間等分數N、M取20～40。計算得到待定測溫點所提供的主軸熱變形的互信息量。為了提高熱變形的計算精度,可以根據式(4)增加溫度測量點的數量,本文以兩個溫度測量點組合為例采用遺傳算法進行了溫度測點位置優化的計算。表1列出了單個溫度測量點和兩個溫度測量點組合的互信息量值最大的3個點。

表1 互信息量

表1的計算結果說明,溫度測量點2提供的互信息量最大,可以確定其為一個測溫點的最優敏感熱源點。當其殘差不能滿足要求時,需要增加溫度測量點,當采用兩個傳感器時,2號和12號溫度測量點組合是互信息量最大的測點組合。2號和12號溫度測量點組合比單獨2號溫度測量點的預報精度高。測點2位于箱體上側面距前軸承熱源中心x=0.20L 0處,測點12位于箱體下側面距前軸承熱源中心x=0.24L 0處(L0是前、后軸承熱源中心之間的距離)。

4 主軸系統的熱誤差實驗驗證

為了驗證上述所選擇的最優敏感熱源點的有效性,使用SK7520H數控螺紋磨床進行了主軸旋轉實驗。該機床具有較高的幾何精度和定位精度,運行時產生的熱誤差成為影響加工精度的主要因素,實驗時在主軸箱體側面不同位置安裝了16個溫度傳感器。為了檢測軸線的傾斜和偏轉角度,在軸端安裝砂輪部位放置了5個非接觸式電容位移傳感器,其中2個位移傳感器測量徑向(x向)熱誤差,另2個測量徑向(y向)熱誤差,1個測量軸向(z向)誤差。溫度和位移傳感器具體安裝位置見圖6。

設定主軸轉速為2000r/min,按兩種方式(兩種實驗條件)加載：①主軸啟動運轉2h;②啟動主軸運轉600s→停止300s→重新啟動運轉1200s→停止300s→再啟動運轉直到時間滿2h。

根據實驗得到的數據進行計算,得到主軸軸線偏轉角αx隨最優敏感熱源點測點2以及測點12的溫度的變化曲線,兩種實驗條件下的誤差-溫度曲線分別如圖7所示。

利用有限元計算得到的溫升和熱變形誤差數據,可以通過多元線性回歸得到溫升和熱變形誤差之間的誤差預報模型回歸方程。計算得到最優敏感熱源點(測點2)的主軸軸線偏轉角誤差αx的熱誤差模型為

圖6 溫度傳感器和位移傳感器安裝圖

圖7 主軸熱誤差角度—溫度曲線

測點2和測點12最優組合熱源點的主軸軸線傾斜角誤差αx的熱誤差模型為

熱誤差模型的有效性可以用殘差作為評價指標,可用下式表示：

式中,Eresidual為殘存熱誤差即殘差;E為熱誤差計算值;Ereal為實驗測得的熱誤差值;l為代表樣本號。

計算得到單個熱關鍵點和2個熱關鍵點的熱變形引起的角度誤差預報模型的殘差值,見表2。

表2 殘存熱誤差值 (rad)

從表2可以看出：

(1)使用2個熱關鍵點的預報模型精度要比一個關鍵點的模型精度高;

(2)對于實驗條件①,偏轉角度的殘差較小,表明所選擇的熱關鍵點可以用來建立精確的熱誤差模型;

(3)對于實驗條件②,由于溫度變化經歷了升降溫過程,溫度-熱變形曲線有轉折(圖7b),用式(5)線性模型來建模導致的殘差比較大,為了減小這種誤差,可以用二次擬合模型來代替線性模型,例如：α2x=-5.95×10-9+1.49×10-11θ2p,計算得到殘差為2.2×10-5(°),雖然精度有所提高,但誤差相對還是較大。所以,為了減小機床的熱誤差,機床使用過程中要盡量避免主軸的反復啟動。

5 結束語

本文給出了數控機床最優熱誤差測量系統的設計方法,通過數控螺紋磨床主軸系統的計算說明了具體的計算方法。計算結果表明,該方法可以在有限元分析的基礎上,計算出最優的溫度測點位置以及多個溫度測點的最優組合。

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