平面并聯機構的自適應控制方法研究

敖銀輝

廣東工業大學,廣州,510090

0 引言

與串聯機構類似,并聯機構的位置控制可分為開環和閉環控制。開環控制一般是根據末端執行器的軌跡要求基于機構的運動學分析得到主動鉸需輸出的位置,該方法簡單易用,但其精度難以保證[1]。因此對并聯機構,通常采用基于位置和速度反饋的閉環控制方法,其中基于關節的反饋誤差進行簡單PID調節的獨立關節控制方法,不需要針對具體的控制對象,計算比較簡單,但控制精度不高、適應性差、抗干擾能力不強[2],因此有必要研究以動力學模型為基礎的、可不斷調節模型參數的自適應控制方法,這也是并聯機構研究的一個關鍵問題[3]。由于并聯機構動力學建模時難以獲得以主動鉸為變量顯式表達的動力學方程,故只能在任務空間里實施動力學控制,常需要進行正向運動學求解,但是并聯機構的前向運動學求解困難,對冗余鏈并聯機構尤其如此。文獻[4]采用了簡化的動力學模型控制冗余驅動的并聯機構。文獻[5]提出了基于最小跟蹤誤差的自適應控制器,使用了由Slotin和Li提出的前饋控制結構的自適應控制器,但是需要利用實際的鉸坐標速度來計算逆動力學模型,而文獻[5-6]中的自適應控制結構是基于串聯機構的,沒有考慮到并聯機構的特點。在文獻[4]基礎上,本文提出一種基于計算力矩結構的自適應控制器,該控制方法同時具有前饋控制的特點,不需要在線計算逆動力學問題,另外算法考慮到并聯機構正向運動學的求解難題,對反饋補償項進行了修正,以回避求解正向運動學問題。

1 平面并聯機構的動力學模型

圖1所示的平面并聯機構可視為由兩條支鏈所構成,兩條支鏈分別由桿件 li、ri(i=1,2)組成。其中點C(x,y)為此機構的末端執行器安裝位置。該機構自由度為2,因此在固定位置安裝2個驅動電機(圖1中A1、A2),B1、B2關節是被動鉸鏈。將機構從鉸鏈C處斷開,形成兩條完全相同的兩桿串聯機構 。定義 ：θi=(ai,bi)T,τi=(τAi,τBi)T,i=1,2,τi是關節 Ai、Bi處的力矩矢量 ,因此可使用拉格朗日方程對兩條相同的串聯支鏈建立動力學方程：

圖1 并聯機構

式中,Mi、Ci、Ni分別為相應串聯支鏈對應的質量矩陣、阻尼系數矩陣和與重量有關的矩陣。

根據變分原理,所有約束力與對應變分的乘積之和為零,即

此方程中存在未知的被動關節變量b1、b2,不便于實施控制,因此可轉換到任務空間q e=(x,y)T內,表示為

式中,Ji(i=1,2)為支鏈的鉸坐標θi到任務坐標qe的雅可比矩陣,(Ji)-T表示Ji逆矩陣的轉置;τa為主動力矩矢量,τa=(τa1,τa2)T。

如對圖2所示的冗余鏈并聯機構進行動力學建模,只需將三條支鏈的動力學方程用變分原理復合起來即得：

J-Tv的任務是將主動鉸空間q a=(a1,a2,a3)T的力矩輸入變換到任務空間內的力輸入F=(Fx,Fy)T。仿照串聯機構的映射關系,可以將J v定義為冗余鏈并聯機構的雅可比矩陣。

圖2 冗余并聯機構

2 自適應控制

式(1)中的質量陣M、阻尼陣C等包含大量的未知參數。這些參數與機構的尺寸、摩擦等相關。有些參數可以通過實際測量、計算或系統辨識得到,但其與實際值之間存在誤差,由此確定的驅動力矩與實際需要不符,將產生跟蹤誤差。自適應控制器能實時生成驅動力矩,并根據誤差對系統未知參數進行在線更新,從而使初始系統參數不斷接近其實際值而達到減小誤差的目的。

式(1)可改寫成關于參數P的線性函數：

式中,P為機構的基本動力學參數;φ為與基本動力學參數相對應的回歸矩陣。

根據計算力矩結構的自適應控制方法對式(2)實施如下的力矩：

將式(5)與式(8)相加得主動驅動力矩矢量：

參數矢量P的自適應修正律按基于最小跟蹤誤差的自適應方法得到：

式中,η為一個由學習因子構成的正定矩陣。

式(9)和式(10)即為冗余驅動并聯機構的基于逆動力學模型的控制律及參數自適應律。P的初始值通過測量機構參數得到。對于給定的末端執行器的期望目標,計算其逆運動學問題可得到期望的驅動空間的鉸鏈值,進一步得到)P及M′,此過程不需要驅動鉸的實際值,也無需計算正向運動學問題。反饋加速度項則由式(7)通過比較理想的與實際的鉸鏈位置及速度后進行PD調節得到。將由式(9)計算得到的力矩輸出到三個主動電機的驅動器上,同時對參數 P按照式(10)進行更新。

基于逆動力學模型的自適應控制系統結構如圖3所示。

圖3 并聯機構自適應控制框圖

3 算法的穩定性分析

將式(9)代入動力學方程式(1),并注意到本例中的N=0,則有

定義控制誤差e=qed-qe,則有

整理后得

對圖2的冗余并聯機構的建模過程分析可知,矩陣M、C均為正定矩陣,因此只要選擇的反饋控制系數K P、K D均為正定矩陣,就可使得式(13)只有零解,即e→0。因此圖3所實施的自適應控制算法可保證并聯機構的位置跟蹤誤差趨于零。

4 實驗結果分析

實驗裝置分為控制平臺、電控制箱、機械本體三部分。控制平臺包括PC機、插在PC機PCI插槽上的GT-400四軸運動控制器。電控制箱主要包含電源和信號轉接板、電動機驅動器等。機械本體包括交流伺服電動機、諧波齒輪減速器、冗余并聯機構本體(圖4)。

圖4 并聯機構本體照片

我們分別用傳統的PID方法、PID參數可在線調整的模糊PID方法[7],以及本文的自適應控制算法對并聯機構進行控制,使末端點沿直線軌跡運動,如圖5所示。圖6和7顯示了自適應控制跟蹤誤差與PID和模糊PID算法的對比效果,表1具體比較了三種控制方法的誤差。其中PID控制下的x向誤差方差為0.0086mm2,而自適應控制的x向誤差方差與模糊PID類似,只有PID方法的1/5。

圖5 實驗時用的位移跟蹤曲線

圖6 PID控制與自適應控制時的誤差比較

表1 各種控制策略誤差對比 mm2

圖7 模糊PID控制與自適應控制的誤差比較

5 結束語

針對一個并聯機構動力學模型的特點,本文提出一個基于計算力矩結構的自適應控制器,該控制方法不需要在線計算逆動力學問題。考慮到并聯機構正向運動學的求解難題,對反饋補償項進行了修正,可回避正向運動學問題。與PID及參數可調的模糊PID算法的對比實驗結果表明：本文提出的改進自適應控制方法可獲得更好的跟蹤效果和適應能力。

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