基于Mohr準(zhǔn)則的巖石損傷本構(gòu)模型及其修正研究

蔣 維,鄧 建,司慶超

(1.中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙410083;2.河北工程大學(xué) 資源學(xué)院,河北 邯鄲 056038)

巖石是一種天然地質(zhì)材料,其內(nèi)部包含各種隨機(jī)分布的缺陷,在外載荷作用下,這些缺陷將繁衍和發(fā)展,巖石內(nèi)部結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能也將連續(xù)發(fā)生變化。巖石破裂過程中的全應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系研究一直是巖石力學(xué)與工程研究的重點(diǎn)。目前,巖石損傷本構(gòu)模型的研究主要包括唯象學(xué)方法和統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。前者引進(jìn)內(nèi)部變量從宏觀上對(duì)損傷問題進(jìn)行分析,后者以統(tǒng)計(jì)學(xué)為工具,假設(shè)巖石微元物理力學(xué)性能服從某種隨機(jī)分布,推導(dǎo)出巖石損傷演化方程和損傷本構(gòu)模型。采用第二種方法建立巖石損傷本構(gòu)模型的關(guān)鍵在于巖石微元強(qiáng)度的確定。自D.Krajcinovic等人將連續(xù)損傷理論與統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論有機(jī)結(jié)合提出一統(tǒng)計(jì)損傷模型以來,許多學(xué)者[1-6]均在這方面進(jìn)行了研究,初步建立了各種巖石損傷本構(gòu)模型。

在巖土領(lǐng)域中廣泛采用了Drucker-Prager準(zhǔn)則和Mohr-Coulomb準(zhǔn)則,這兩個(gè)準(zhǔn)則把Mohr圓包絡(luò)線近似為直線。在較小應(yīng)力范圍內(nèi),把Mohr圓包絡(luò)線近似為線性,誤差不大,但是在高應(yīng)力條件下,應(yīng)力范圍變化很大,如果將Mohr圓包絡(luò)線近似為直線可能造成較大誤差[7]。而Mohr準(zhǔn)則是巖石在各種應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度特征的真實(shí)逼近,它能較準(zhǔn)確地反映巖石的強(qiáng)度條件。本文擬在前人研究的基礎(chǔ)上,利用經(jīng)典的Mohr準(zhǔn)則,重新定義巖石微元強(qiáng)度,建立出三軸壓縮條件下巖石損傷本構(gòu)模型。為使建立的模型更具一般性,分析了模型參數(shù)與圍壓的關(guān)系并據(jù)此對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了合理修正,從而建立出完整的巖石損傷本構(gòu)模型,與試驗(yàn)結(jié)果比較顯示了所建模型的正確性。

1 損傷本構(gòu)模型的建立

1.1 損傷本構(gòu)模型及損傷變量

利用Lemaitre應(yīng)變等價(jià)性假說,建立巖石損傷本構(gòu)關(guān)系如下[1-2]:

式中[σ*]—有效應(yīng)力矩陣;[σ]—名義應(yīng)力矩陣;[E]—巖石材料彈性矩陣;[ε]—應(yīng)變矩陣;D—巖石損傷變量。

假定破壞前巖石微元服從虎克定律,即微元具有線彈性性質(zhì)。

由式(1)、式(2)得

假設(shè)巖石微元破壞概率隨巖石微元強(qiáng)度F的分布密度為P[F],定義損傷變量為[3]。

1.2 巖石微元強(qiáng)度

巖石微元強(qiáng)度的確定是建立損傷演化本構(gòu)方程的關(guān)鍵。Mohr準(zhǔn)則是巖石在各種應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度特征的真實(shí)逼近,它能較準(zhǔn)確地反映巖石的強(qiáng)度條件。為了應(yīng)用方便,常采用各種不同形式的曲線來逼近試驗(yàn)結(jié)果所作出的Mohr包絡(luò)線,拋物線是常見的一種。

二次拋物線型Mohr準(zhǔn)則的一般方程為[8]

利用主應(yīng)力表示的二次拋物線型Mohr準(zhǔn)則,選擇材料的抗剪強(qiáng)度為隨機(jī)變量,重新定義巖石微元強(qiáng)度F

由式(1)、式(3)得

1.3 巖石損傷演化方程

巖石內(nèi)部含有大量復(fù)雜分布的缺陷,在變形的過程中,這些缺陷將進(jìn)一步劣化,這個(gè)過程用損傷演化來描述。以往的研究[1～6]均采用Weibull分布或正態(tài)分布作為巖石微元強(qiáng)度的概率模型,取得了較好的效果。張明[9]通過對(duì)巖石類材料破壞過程分析中采用的Weibull分布、正態(tài)分布、類Weibull分布所作的討論和剖析,建議在準(zhǔn)脆性材料損傷分析中采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布,并建立了采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)的一維彈性損傷模型。

利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布表示巖石微元強(qiáng)度的概率模型為

式中F0、S0—對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)。

由式(4)和式(8)可得巖石損傷演化方程為

對(duì)巖石微元強(qiáng)度與正態(tài)分布變量進(jìn)行線性擬合可求得模型參數(shù)F0、S0的值,代入式(3)和式(9)即可得到三軸壓縮條件下的巖石損傷本構(gòu)模型。

2 模型修正

按上述方法建立的模型,只是某一特定圍壓下巖石本構(gòu)關(guān)系的反映,無法模擬不同圍壓下多條試驗(yàn)曲線的綜合情況,為使建立的模型更具一般性,有必要對(duì)模型進(jìn)行修正。

分析模型參數(shù)F0,S0與圍壓σ3的關(guān)系,分別以模型參數(shù)F0,S0為縱坐標(biāo),圍壓σ3為橫坐標(biāo),由此得到F0,S0與圍壓σ3的關(guān)系如圖1所示。

對(duì)F0與圍壓進(jìn)行擬合,可得如下方程

相關(guān)系數(shù)為0.997 5。

對(duì)S0與圍壓進(jìn)行擬合,可得如下方程

相關(guān)系數(shù)為0.927 2。

由此,可求得任意圍壓下的模型參數(shù)值,代入式(3)和式(9)即可得到修正的巖石損傷本構(gòu)模型。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文模型的正確性,引用文獻(xiàn)[10]的巖石試驗(yàn)資料,其中:巖石彈性模量E=93.5 MPa,泊松比μ=0.2,取巖石抗拉強(qiáng)度H=10MPa,λ=30.7。按上述方法將求得的各級(jí)圍壓下的參數(shù)值代入式(3)和式(9)即可得到不同圍壓下巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型,將其與試驗(yàn)曲線對(duì)比,結(jié)果見圖2。

由圖2可以看出,所建模型與試驗(yàn)曲線吻合良好,可以很好地模擬各級(jí)圍壓下巖石破裂過程的全應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,說明所建模型是正確的。同時(shí),該模型真實(shí)地反映了巖石應(yīng)變軟化特性、巖石強(qiáng)度隨圍壓變化等特性,能較好地模擬工程實(shí)際。

4 結(jié)論

利用經(jīng)典的Mohr準(zhǔn)則,得到巖石微元強(qiáng)度新的表示方法,結(jié)合損傷力學(xué)理論和統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論,建立了三軸壓縮條件下的巖石損傷本構(gòu)模型。模型曲線與試驗(yàn)曲線吻合良好,可以靈活地模擬各級(jí)圍壓下巖石破裂過程的全應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,尤其是應(yīng)變軟化特性。模型形式簡(jiǎn)單,應(yīng)用方便,接近工程實(shí)際。

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