改進的海浪波包譜

劉 思，柳淑學，俞聿修

（大連理工大學海岸及近海工程國家重點實驗室，大連116024）

海浪群性是海浪場的一種重要特性，對海堤、港灣共震、系泊浮體運動等有明顯影響。關于波群研究的波包線理論認為，波群即波列局部振幅（或稱波面包絡，簡稱波包）隨空間和時間緩慢變化的現象，用波包來討論波群方便而直接。現有研究表明，海浪群性的大小與其波包譜（包線譜）的形狀大小密切相關。目前對波譜已進行了大量的研究，得出了多種實用成果，但對于海浪的波包譜研究較少。

Tayfun等［1］討論了波包譜與波譜的關系，給出波包譜的理論形式。Xu等［2］將波包譜的概念用于波群模擬中，建立了以給定波譜和波包譜為靶譜的波群模擬方法，認為波群特征可由波譜和波包譜兩者決定，然而其方法并未得到實用的波包譜，所建議的波群特征參數也不合理，難以應用于實際。俞聿修等［3］采用了合適的波群特征參數，首次提出了風浪波包譜的經驗公式，但所依據的實測波浪資料較少，有些假定不盡合理，還需進一步的驗證和改進。

鑒于此，本文收集了更多的實測波浪資料，一方面計算實測波浪的群性特征參數并對其相關性進行分析，另一方面計算實測波浪的波包譜，從中總結規律，以期得到一個更能反映天然海浪的波包能量分布的波包譜經驗公式。

1 實測波浪資料的群性特征參數分析

關于波群的研究中，基于瞬時波能過程線（SIWEH）［4］、連長理論［5］和波包線理論［6］定義的參數得到了廣泛應用。這些參數一般從兩方面描述波浪群性：一方面是描述波群的高度特性，如參數GF，GFA，GFH等；另一方面是描述波群的長度特性，如GLF。其中GF是Funke等［4］提出的用SIWEH定義的參數，定義式為

式中：Tn為波浪資料的總長度；E（t）為光滑瞬時波能過程線，定義為

式中：η為波面記錄；Q（τ）為光滑函數，可采用Barleet窗，即

式中：Tw為窗口長度。GFA為List［6］由波包線出發定義的，先將波面記錄η（t）濾去小于0.05 Hz的低頻波，然后對進行低通濾波，濾去原始波面，得到波面包線，進而定義波群因子式中σA和分別為波包線的方差和均值。GFA為一個無量綱參數，且分布在0～1。但上述計算波包線的方法明顯地受到濾波截止頻率的影響。GFH是俞聿修等［7］建議的描述群高的參數，其定義式與GFA相同，二者區別在于計算GFH時，其波包線是通過Hilbert變換由波面記錄直接計算得到，不需進行濾波。GLF是波譜的峰頻fp與波包譜峰頻fpA的比值［7］，所以GLF越大，波包線的周期相對于波周期越大，即波群越長，GFH和GLF的計算公式可寫為

Goda［5］按上跨零點順序確定各個波浪的波高，定義超過某個預定門檻值的波群為連，連內的波數稱為連長，用1表示。

目前常籠統地將波群的高度特征參數如GF或GFH，作為判定群性大小的依據，而事實上群高參數的大小與波群的長度特征并非一一對應。尚不清楚群高大的海浪，其群長是否也一定大。因此，有必要對這兩者之間的關系進行研究。

對美國西海岸、中國珠江口和渤海3個測站的實測波浪資料進行波群特征參數的分析，為推導波包譜經驗公式作準備。其中美國西海岸外海觀測資料有4組［7］，每組采集點數18 000個，測點水深為2 100 m，采樣時距為0.39 s，時長約117 min，H1/3=2.34～2.92 m，T1/3=14.6～15.3 s；珠江口實測波浪資料由底壓式測波儀測得，水深約10 m，采樣頻率4 Hz，每次采樣4 800個點，時長約20 min，選用的71組波浪主要波要素H1/3=0.50～1.58 m，T1/3=2.79～5.25 s；渤海實測波浪資料是由垂線測波儀在水深27 m處測得，采樣頻率4 Hz，時長約20 min，選用的26組波浪主要波要素為H1/3=0.62～2.54 m，T1/3=3.65～6.34 s。圖1給出這三地海浪資料的主要波群參數計算結果，并對參數的聯合分布作了線性回歸分析，圖1中實線是按最小二乘法作的線性擬合，其線性回歸方程擬合的相關系數及標準差已注明。除了可以獲悉對于實測海浪資料來講，其波群參數的主要分布范圍外，從圖1-a可以看出，群高參數GFH和GF的相關性較好，而圖1-b表明GFH和群長參數GLF的相關性較差，如當GFH=0.7時，GLF的取值大約可由5變化到25。同樣，從圖1-c可以看出，GFH和群長參數1的相關性也不好。由此可見，描述海浪群性高度特征的參數與描述其長度特征的參數的相關性不強。

圖2給出了2組具有明顯不同群性特征波列的示意圖。圖2-a中由波包線定義的每個群內包含多個大波，波包線平坦，圖2-b中按波包線定義的每個群內的大波個數少，波包線起伏變化較快。可以看出，群性的不同主要體現在波包起伏幅度和變化快慢的不同，群高主要表征波群內外波振幅的差別，其統計特征量反映波包的起伏幅度，群長主要表征波群內大波個數，其統計特征量反映波包的變化快慢，或者說是連續大波的持續長度。顯然，圖2-a中群長大而群高小，圖2-b中群長小而群高大。由此可以推斷，正如描述波面的統計特征量波高與周期，在一定范圍內的相對獨立性一樣，描述波群的高度特征參數與長度特征參數也是從不同角度描述海浪群性的大小，是在一定范圍內相對獨立的參量。

事實上，波群的高度特征和長度特征都是海洋工程所關心的。因此在關于海浪波群的研究中，至少需要給出2個參數來表征波浪群性的大小。對于如何定義這2個參數的問題，List［6］充分闡述了無論是基于SIWEH定義的GF，還是波包線定義的群因子GFA，都對窗口長度值的選取很敏感，參數GF的另一個缺陷是沒有限定范圍，有的波群GF參數值比1.0大得多。相比之下，據波包線理論定義的波群參數GFH有明確的變化范圍（0～1），且不受濾波的影響。另一方面，平均連長jˉ1是某個門檻值下波列內各個波群中包含波數的平均值，可按Kimura［8］考慮相鄰波高間相關性的波浪連長概率理論算得。俞聿修等［7］對渤海風浪和日照港資料平均連長的統計分析值與計算值進行了比較分析，發現按Kimura理論計算的平均連長值與實測值符合良好，而且與群高因子、譜的尖度參數Qp等［9］有較好的相關性。但該參數不是以譜的形式定義的，不便于應用［10］。而參數GLF為波譜與波包譜的峰頻之比，應用方便，且與群長參數1有一定的相關性，從本文用到的實測波浪資料統計分析結果看，相關系數接近0.5（圖1-d）。在下文中采用參數GFH和GLF來共同表征波浪的群性特征。

2 實測波浪資料的波包譜分析

俞聿修等［3］根據渤海實測波浪資料進行波包譜分析，發現波包譜基本呈單峰形，且譜形尖而窄，峰頻非常小。對波包譜無因次化時，縱坐標取y=SA（f）/m0A，橫坐標取x=f/fPA，其中fPA為波包譜的峰頻，SA（f）為波包譜密度，m0A為波包譜的零階矩。這樣得到的“無因次”波包譜的峰頻為1，峰值基本上趨于一致（約等于20），從而對無因次化后的譜可以頻率f=fPA為界限分2段給出擬合公式

假定波浪為平穩，窄譜隨機過程，波高符合瑞利分布，則有

式中：m0為波譜的零階矩，又據式（4）群高參數GFH的定義，可推得

將式（8）代入式（6），從而給出了一個初步的波包譜經驗公式

式（9）中fPA按下式確定

然而，此波包譜經驗公式是僅依據渤海實測波浪資料得到的，雖適用于渤海資料情況，但存在下列3個主要問題。

（1）按上述無因次化方法，對珠江口實測波浪資料計算得到的各“無因次”波包譜的峰值相對較離散（圖3）。說明對于更多更廣的實測波浪資料，此經驗公式的適用性值得商榷。

（2）依據圖1-b給出的實測波浪資料的群性參數GFH和GLF的分布可知，公式中給出的群高參數GFH與fPA的取值不盡合理。

（3）給定相同的m0和參數GFH時，不考慮式（10）的限制，按式（9）計算得到的波包譜隨參數GLF變化情況見圖4。從圖4可以看出，隨GLF參數值的減小，波包譜峰頻增大，其面積也增大，這與推導過程中用到的式（8）矛盾，其原因是對波包譜無因次化時，縱坐標取的是y=SA（f）/m0A，并沒有實現完全的無因次化。

根據上千組珠江口和渤海兩地的原始波浪觀測資料，對上述波包譜經驗公式進行改進。考慮到波包譜與波浪群性特征的密切關系，以及波群的高度特征和長度特征在一定范圍內相對獨立的特點，希望得到的波包譜經驗公式同時包含群高參數和群長參數。首先對原始資料進行濾波處理（主要去除波浪過程中的高頻干擾），然后應用Hilbert變換方法，由處理后的波面記錄計算波包線，對于窄譜海浪，波面η（t）的Hilbert變換定義為

式中：P為當t=τ時積分取Cauchy主值。波包可由下式計算

再對波包線進行傳統的傅立葉變換，從而得到波包譜。注意到波包譜的峰頻很小，計算時頻率劃分間隔必須足夠小，以保證計算譜及參數GLF的準確性。最后，按照波浪有效波高值大于0.5 m，且計算頻譜是單峰的原則，共篩選出97組波浪的波包譜來分析。對所選的97個波包譜進行無因次化，具體無因次化的方法是

無因次化后的結果以黑點繪于圖5中。由圖5可以看出，盡管由于波浪資料的統計可變性，峰值及峰值兩側的曲線分布較離散，各無因次波包譜有近似的趨勢。為尋求總體上的規律，先對這97個波包譜求一個平均譜，再無因次化，將其結果也繪于圖5中（見圖5中白色曲線）。以譜峰為分界點對這條曲線的兩邊分別擬合，因譜峰的左側頻帶窄，曲線很陡，故直接取直線y=a+bx來近似，而右側可以用曲線y=Aexp（-Bx）擬合，依此得到擬合公式為

圖6中虛線是按式（14）繪出的經驗無因次波包譜，實線是實測資料的平均無因次波包譜，從圖6上看，二者基本一致。由此可見，對圖5中白色曲線采用式（14）擬合是可行的。將式（8）代入式（14），可得到用f表示的有因次波包譜經驗公式

從式（15）可以看出，若已知波譜，通過給定fPA和波群參數GFH就可以計算得到波包譜SA（f）。式中的fPA可由給定的群長參數GLF確定，根據前述波群特征參數的分析，實際海浪的群長參數GLF大多分布在5～28，群高參數GFH多集中于0.5～1變化。盡管二者的相關性較差，但如同波高與周期的聯合分布一樣，群高與群長具有一定的相關性，建議fPA按下式確定

圖7和圖8給出波譜一定時，改變群高參數GFH或群長參數GLF對此經驗波包譜的影響。從圖7可知，GLF不變時，隨著給定群高參數GFH增大，波包譜峰值增大，相應地波包譜零階矩增大；從圖8可以看出，GFH不變時，隨著給定群長參數GLF的增大，波包譜峰頻減小，峰值增大，而波包譜零階矩基本不變。這正如所預期的，GFH表征波群的高度，其變化會改變波包絡的平均能量，即波包譜的零階矩，同時，GLF表征波群的長度，其變化會改變波包譜峰頻，而不影響其零階矩大小。

此外計算了美國西海岸4組實測波浪資料的波包譜，其無因次波包譜也分布在圖5所示的范圍內，且譜形與之相近，因其波浪性質是以涌浪為主的混合浪，因此推測式（15）和式（16）還可適用于涌浪為主的混合浪，有待于更多的實測資料來檢驗。

至此，式（15）和式（16）可建議作為一個適于風浪的波包譜經驗公式。該公式的特點是只包含波要素和波群參數作為參量，便于工程應用，且同時考慮了群高與群長兩方面的因素。與俞聿修等［3］所給定的經驗公式（9）和式（10）相比，本文建立的波包譜經驗公式推導過程中采用了更合理的無因次方法，依據3處海區的波浪觀測資料，其結果具有普遍性，據實測波浪資料群性特征參數的分析結果，公式中參數的取值原則也較為合理。

3 結語

本文對大量實測波浪資料進行了波浪群性特征參數分析，結果表明，群高與群長相關性很小，在此基礎上對俞聿修所建議的波包譜公式加以改進，給出了一個適于風浪的波包譜經驗公式。該公式同時考慮了群高與群長兩方面的因素，只要給出波要素和波群的特征參數GFH和GLF，便可確定波包譜形，依據對實測資料波群參數的分析結果，給出了較合理的參數取值原則，便于應用，為波群的模擬提供了較好的基礎。

［1］Tayfun M A，Lo J M.Wave envelope and related spectra［J］.Journal of Waterways Port Coastal and Ocean Eng.，ASCE，1989，115：515-533.

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