新的非相干UWB 系統(tǒng)平均性能的理論計算方法

楊志華，王野，張欽宇，王宇峰，劉寧寧，張乃通

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院 通信工程研究中心，廣東 深圳 510085；2.總參通信部駐深圳地區(qū) 軍事代表室，廣東 深圳 518001；3.中國電子系統(tǒng)設(shè)備工程公司研究所 通信一室，北京 100039)

1 引言

UWB(ultra wideband)技術(shù)以其小尺寸、低功率、低成本等優(yōu)點在中低速通信，如傳感器網(wǎng)絡(luò)、目標(biāo)定位、辨識系統(tǒng)等領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注[1]。而低復(fù)雜度的接收機設(shè)計是超寬帶技術(shù)得以廣泛應(yīng)用和發(fā)展的關(guān)鍵問題。目前，針對超寬帶接收機的研究主要集中于基于相干方式的Rake[2]接收機、基于非相干方式的 TR(transmitted reference)[3]接收機和ED(energy detection)[4～6]接收機 3 種方案。Rake 接收機通過對超寬帶信號多徑能量的相干分集接收，性能要優(yōu)于其他2種，但是對于系統(tǒng)實現(xiàn)，大量的支路花費、復(fù)雜的信道估計技術(shù)以及對同步性能的高敏感性等問題導(dǎo)致接收機的復(fù)雜度難以承受；TR方式的接收機采用發(fā)送參考信號的方式，有效地避免了信道估計帶來的系統(tǒng)復(fù)雜度，但是由于采用相關(guān)積分，對接收機的同步性能仍然比較敏感，接收機需要具有精確的延時單元，導(dǎo)致成本上升，同時，由于需要參考信號作為模板，浪費了發(fā)射信號的能量。ED方式的接收機，不需要模板和信道估計而直接提取接收信號能量，大大減少了接收機復(fù)雜度，同時對同步誤差的精度要求比較低[7]，所以這種方式實現(xiàn)最簡單、成本較低，對于某些應(yīng)用具有較高參考價值，為脈沖超寬帶技術(shù)的推廣帶來了方便。

平均誤碼率是評價超寬帶接收機在無線衰落信道下的常用性能指標(biāo)，如文獻[8]對Rake接收機的性能進行的分析，但數(shù)學(xué)計算復(fù)雜，其中對Rake接收機合并的多徑數(shù)量假定為確定量，這在隨機信道中是不準(zhǔn)確的。目前針對超寬帶能量檢測接收機的此項性能指標(biāo)少有深入研究，主要是由于超寬帶密集多徑信道復(fù)雜的特性，大量多徑以簇的形式在接收端隨機到達，接收機需要在一定時間窗口內(nèi)收集多徑能量實現(xiàn)解調(diào)，導(dǎo)致在平均誤碼率計算時處理的隨機變量較多且關(guān)系復(fù)雜，大多數(shù)研究均采用Monte Carlo仿真分析[9～12]，理論計算方面研究較少。本文針對此問題，基于隨機點過程模型對超寬帶IEEE 802.15.3a信道模型[13]（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn)信道模型）進行了完整的分析，給出了超寬帶能量接收機窗口內(nèi)信噪比（或者信道能量增益）的概率密度的有效逼近模型，從而能夠推導(dǎo)出超寬帶接收機在密集多徑衰落信道下的平均誤碼率。

首先，第2節(jié)推導(dǎo)了超寬帶非相干接收機平均誤碼率的數(shù)學(xué)表達式，并分析其存在的問題；第 3節(jié)針對上述問題，擬合出信道能量增益概率密度以及高階統(tǒng)計量；第4節(jié)結(jié)合理論分析對仿真結(jié)果進行了討論；第5節(jié)是結(jié)束語。

2 衰落信道下超寬帶非相干系統(tǒng)的平均誤碼率

衡量衰落信道下接收機性能的重要評價標(biāo)準(zhǔn)為平均誤碼率，其定義為[14]其中，η為接收機判決門限，?S為接收窗口的瞬時信噪比。通過式(1)可知，平均誤碼率可以認為對接收機的條件誤碼率 Pe(η |?S)進行接收窗口內(nèi)信噪比的統(tǒng)計平均，即信道能量增益的統(tǒng)計平均（噪聲為確定的條件下）。實現(xiàn)此平均的方法有 2種，一是產(chǎn)生大量信道樣本進行Monte Carlo仿真來實現(xiàn)。即對每個樣本下的條件誤碼率進行計算，然后做算術(shù)平均。這種方法具有較高的復(fù)雜度，且誤差難于控制；二是推導(dǎo)出能量增益的概率密度pγs(?S)，然后計算式(1)從而得到平均誤碼率的閉合表達式。本文則圍繞第二種方法，首先來研究條件誤碼率的推導(dǎo)。

超寬帶非相干接收機前端一個比特信號模型可以表示為

其中，L表示到達接收機前端的多徑分量數(shù)目，ωl(t)表示第l條路徑的接收波形，γl和τl分別表示第l條多徑分量的幅度衰落和信道延遲參數(shù)，Eb為每比特能量，Ts表示信號的符號周期。n(t)表示加性高斯白噪聲(AWGN)，其雙邊功率譜密度為 N0/2。當(dāng)接收信號為OOK調(diào)制時，ai表示第i個傳輸比特，等概率取值為{0,1}，此時bi為0；當(dāng)接收信號為PPM調(diào)制時，bi表示第 i個傳輸比特，等概率取值為{0,1}，Tδ表示PPM信號在時間軸上的調(diào)制位移，在 PPM 系統(tǒng)里，通常令Tδ=Ts/2，此時ai為 0。接收信號經(jīng)過帶寬為B的帶通濾波器，以濾除帶外噪聲。不失一般性，假定每個調(diào)制符號中只包含一個脈沖，這很容易推廣到多個脈沖的情況。并且假定信號的脈沖重復(fù)周期遠大于信道的時延拓展，無須考慮符號間干擾(ISI)的影響。

接收機的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 非相干接收機結(jié)構(gòu)框圖

首先，信號經(jīng)過帶通濾波器、平方律檢波器，然后進入?yún)^(qū)間積分器，聯(lián)合形成對比特周期內(nèi)接收信號的采樣。調(diào)制方式的選擇可以通過對積分后的信號處理獲得。當(dāng)采用OOK調(diào)制方式時，調(diào)制方式選擇模塊為加法器，當(dāng)采用 PPM 調(diào)制方式時，調(diào)制方式選擇模塊為減法器。最后信號通過與判決門限η的比較得到比特流的輸出。

由文獻[15]，利用高斯分布近似χ2分布，得到OOK調(diào)制方式下的條件誤碼率為

當(dāng)接收信號為 PPM 調(diào)制時，同樣利用高斯分布近似的方法可得接收機的最佳門限為 0，相應(yīng)的條件誤碼率為

對比OOK調(diào)制和PPM調(diào)制方式的條件誤碼率可知，二者之間盡管有所區(qū)別，但是比值是一個由比特采樣點數(shù) 2M 以及輸出信噪比 Eeff/N0共同決定的變量。為了比較二者的性能，定義條件誤碼率比例因子

其中，qook和qppm分別為OOK調(diào)制方式下和PPM調(diào)制方式條件誤碼率函數(shù)Q函數(shù)的自變量。給出了該比例因子隨信噪比和M變化的曲線，如圖2所示。在相同的M條件下，當(dāng)信噪比增大時，比例因子絕對值逐漸減小，PPM調(diào)制方式的優(yōu)勢隨信噪比的增加而減少。且當(dāng)M大于100時，PPM和OOK調(diào)制方式的條件誤碼率性能差異趨于常數(shù)（比例因子約為-3.5）。

圖2 PPM調(diào)制與OOK調(diào)制誤碼率性能比例因子

上述結(jié)果表明，PPM調(diào)制相對于OOK調(diào)制的條件誤碼率增益具有一定的適用范圍(見后文分析)，對于系統(tǒng)設(shè)計要慎重選擇。

3 信道能量增益概率密度的近似求解

在獲得了OOK和PPM調(diào)制方式下條件誤碼率式（3）和式（4）的基礎(chǔ)上，只要求出信道能量增益的概率密度就可通過式（1）獲得多徑衰落信道下系統(tǒng)的平均誤碼率的表達式。在IEEE 802.15.3a多徑衰落信道下，密集多徑分量出現(xiàn)在接收機處理窗口內(nèi)，造成窗口內(nèi)隨機變量較多且關(guān)系復(fù)雜，以致信道能量增益的概率密度求解困難。本文則以隨機點過程模型描述標(biāo)準(zhǔn)信道模型，建立起接收窗口內(nèi)各個隨機變量間的聯(lián)系，解決信道能量增益概率密度求解中的難題。由于標(biāo)準(zhǔn)信道模型中簇到達和簇內(nèi)多徑均呈隨機到達的特點，完全符合隨機點過程中的簇生點過程模型，因此利用點過程的性質(zhì)可以得到信道能量增益的均值和方差表達式[16]。

均值[16]：

方差：

其中，Φ為接收機窗口內(nèi)的能量增益，K=exp{(σl n10/10)2}，σ及其他參數(shù)定義參考文獻[13]，Ts為比特持續(xù)時間（為了收集所有多徑能量對比特持續(xù)時間 Ts取極限）。具體推導(dǎo)過程見附錄A。

基于所得能量增益的均值和方差，研究其概率分布。由信道模型的數(shù)學(xué)描述可知，信道能量實際上是大量對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量之和。數(shù)學(xué)上分析大量對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量記錄之和存在很大困難[17]，隨著分布參數(shù)的變化，該分布并不一定收斂于某一確定分布。目前有研究[18]將信道能量的統(tǒng)計分布近似成對數(shù)正態(tài)分布，也有研究[19]基于中心極限定理將其近似為高斯分布。本文分別采用二者來擬合信道能量的概率分布，通過若干數(shù)字特征對比擬合的效果，分析合理性，以及后續(xù)內(nèi)容中利用接收機系統(tǒng)性能評估來驗證其有效性。

首先，以隨機變量的數(shù)字特征作為依據(jù)來衡量2種近似分布的合理性。

通常來講，衡量2個概率密度之間差別的統(tǒng)計量，除均值和方差外，還有如下2種。

定義 1 三階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差的立方之比稱為隨機變量概率密度的偏度系數(shù)。記作：

該系數(shù)反應(yīng)了概率密度的對稱情況。

定義2 四階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差的4次方之比稱為隨機變量概率密度的峰度系數(shù)。記作：

該系數(shù)反應(yīng)了概率密度在均值附近的集中情況。

可以證明，對數(shù)正態(tài)分布和高斯分布的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)分別可表示為

對數(shù)正態(tài)分布：

高斯分布：

式（10）～式（13）具體推導(dǎo)過程見附錄B和附錄C。

表1給出了信道能量的概率密度擬合為對數(shù)正態(tài)分布條件下以及擬合為高斯分布條件下求得的數(shù)字特征，及基于IEEE 802.15.3a給出的修正S-V模型產(chǎn)生的信道沖激響應(yīng)樣本通過Monte Carlo仿真而求得的數(shù)字特征（表1中標(biāo)明“仿真”字樣），三者之間的對比結(jié)果。

表1 信道能量的概率密度數(shù)字特征在不同條件下對比

從表1中可以看出：

① 理論推導(dǎo)出的均值和方差在 4種信道條件下都與實驗結(jié)果符合的比較一致，驗證了理論推導(dǎo)的正確性；

② 對于概率密度的偏度來說，4種信道條件下仿真實驗的結(jié)果都具有較大的非對稱性，而高斯分布與對數(shù)正態(tài)分布的偏度都與實驗結(jié)果有較大的偏差，實驗結(jié)果對稱性較差；

③ 對于概率密度的峰度來說，4種信道條件下，實驗結(jié)果與高斯分布差距較大，更接近于對數(shù)正態(tài)分布。

所以從上述數(shù)字特征來看，將多徑能量的概率密度擬合為對數(shù)正態(tài)分布更具有合理性。

4 仿真實驗和結(jié)果分析

為了驗證本文對接收機平均誤碼率指標(biāo)的推導(dǎo)，首先采用Monte-Carlo方法對信道能量的統(tǒng)計特性進行了計算機仿真，然后，分析采用參數(shù)法估計信道能量增益概率密度的合理性以及各種參數(shù)對概率密度的影響；驗證擬合后的信道能量增益概率密度對于評價接收機在衰落信道下平均誤碼率的有效性；比較超寬帶非相干接收機OOK調(diào)制方式與PPM調(diào)制方式平均誤碼率的性能。

仿真過程中，UWB信號采用寬度為1ns的高斯二階導(dǎo)數(shù)脈沖，調(diào)制方式分別為OOK和PPM 2種；信道的觀察時間取 400ns，大于最大多徑時延拓展以避免碼間干擾。每比特信號內(nèi)的采樣點數(shù)為2M=200。

1) 概率密度擬合分析。

結(jié)合前面對于信道能量增益的均值和方差的理論分析，利用Monte-Carlo方法分別對CM1～CM4這4組信道進行了仿真，結(jié)果如圖3～圖6所示。仿真中每組信道條件下取1 000組實現(xiàn)，并令首徑的均值Ω0=1。

圖3為CM1的情況，仿真結(jié)果與對數(shù)正態(tài)分布的結(jié)果吻合較好，與高斯分布的結(jié)果吻合較差。擬合誤差主要出現(xiàn)在概率密度峰值附近。仿真曲線的峰度大于對數(shù)正態(tài)分布和高斯分布。故實際信道能量分布特性相對于均值的集中程度要高于對數(shù)正態(tài)分布和高斯分布。

圖4為CM2的情況，仿真結(jié)果與對數(shù)正態(tài)分布以及高斯分布的結(jié)果吻合較差，但是相對于CM1而言，仿真結(jié)果有趨近于高斯分布的趨勢，擬合誤差同 CM1的情況相同，仍然出現(xiàn)在峰值附近。結(jié)合表1的結(jié)果，在四組概率密度中，CM2唯一出現(xiàn)對數(shù)正態(tài)分布峰度大于仿真結(jié)果的情況，其主要原因是CM2信道為非視距情況，簇到達率為4組信道情況中最大者，在400ns的觀察時間內(nèi)，平均簇到達數(shù)目大于 100，信道能量以簇為單位，分布比較均勻，更符合中心極限定理的條件，概率密度模型較CM1更趨近于高斯分布。

圖3 CM1環(huán)境下信道能量增益的概率密度逼近

圖4 CM2環(huán)境下信道能量增益的概率密度逼近

圖5和圖6分別是CM3和CM4的情況，2種情況均為NLOS情況，信道參數(shù)也比較接近。仿真結(jié)果介于對數(shù)正態(tài)分布和高斯分布二者之間。擬合的誤差仍然出現(xiàn)在概率密度峰值附近，表1的實驗數(shù)據(jù)表明仿真概率密度的峰度與對數(shù)正態(tài)分布的差值相對于高斯分布的差值要小一些。盡管 CM3和 CM4情況下多徑到達率較大，觀察時間內(nèi)的多徑數(shù)目遠大于前面2種情況，但是，信道的概率密度并沒有隨著多徑數(shù)目的增多而更符合中心極限定理，趨近于高斯分布，原因可以解釋為盡管多徑數(shù)量很多，但是對整個信道能量分布影響較大的是簇能量的到達，所以此時信道能量的分布并不趨向于高斯分布。這也證明了文獻[17]的結(jié)論，信道能量增益的概率密度在一定條件下趨近于高斯分布，但并不收斂于高斯分布。

圖5 CM3環(huán)境下信道能量增益的概率密度逼近

圖6 CM4環(huán)境下信道能量增益的概率密度逼近

從仿真結(jié)果以及以上的分析可以得出結(jié)論，利用對數(shù)正態(tài)分布近似超寬帶衰落信道能量概率密度要比高斯分布更具有一定的合理性，而近似帶來的誤差主要出現(xiàn)在概率密度峰值附近。

2) 超寬帶接收機性能仿真驗證。

仿真分別對每種信道情況取1 000組信道實現(xiàn)，進行誤碼率仿真。調(diào)制方式分別采用OOK和PPM 2種。噪聲條件為加性高斯白噪聲，功率譜密度N0/2，信噪比定義為SNR=Eeff/N0，其中，Eeff表示1 000組信道實現(xiàn)下信道能量的均值.

圖7～圖10分別為CM1～CM4這4組信道情況下接收機的平均誤碼率曲線。可以看出，CM1、CM3、CM4情況下，基于對數(shù)正態(tài)分布近似的理論誤碼率性能與Monte-Carlo仿真結(jié)果在OOK調(diào)制方式與PPM調(diào)制方式下吻合效果較好，在CM2的情況下，2種調(diào)制方式下出現(xiàn)一定的偏差，理論性能的曲線要低于仿真曲線。高斯分布的擬合效果較差，在15dB之后，誤碼率曲線出現(xiàn)平底現(xiàn)象。隨著信噪比的增加，逐漸偏離仿真結(jié)果。

圖7 CM1環(huán)境接收機誤碼率曲線

圖8 CM2環(huán)境接收機誤碼率曲線

圖9 CM3環(huán)境接收機誤碼率曲線

圖10 CM4環(huán)境接收機誤碼率曲線

仿真結(jié)果表明以下2點。

1) 從評價超寬帶接收機的系統(tǒng)性能方面考慮，將信道的能量增益概率密度近似為對數(shù)正態(tài)分布更有效一些。對于 CM2信道情況，接收機理論性能優(yōu)于仿真性能，對數(shù)正態(tài)分布的理論估計可能導(dǎo)致對系統(tǒng)性能的評價偏高。而將信道的能量增益概率密度做高斯分布近似在普遍的信道條件下對系統(tǒng)性能的評估會帶來較大的誤差。

2) 在不考慮碼間干擾以及能量泄露等條件下，采用非相干ED方式接收機時，對比PPM調(diào)制方式與OOK調(diào)制方式的系統(tǒng)性能。可以看出，接收機平均誤碼率性能與條件誤碼率性能曲線得到結(jié)果相吻合，當(dāng)M=100時，PPM相對于OOK方式的誤碼率性能，從有效信噪比的角度評價，基本趨于常數(shù)，與前文定義的2種調(diào)制方式的比例因子的結(jié)論(當(dāng)M＞100后，2種調(diào)制方式的比例因子趨于常數(shù))相吻合。如圖7～圖10所示，在M=100條件下PPM調(diào)制方式均優(yōu)于OOK調(diào)制方式2dB，且誤碼率曲線趨于平行。所以選擇系統(tǒng)調(diào)制制度時需要考慮信噪比情況和接收機窗口長度，另外需要考慮PPM調(diào)制占用調(diào)制時隙帶來的對碼速率帶來的影響，從而折中設(shè)計系統(tǒng)。

5 結(jié)束語

為了解決目前非相干超寬帶系統(tǒng)在密集多徑信道下的平均誤碼率性能的理論推導(dǎo)問題，本文利用隨機點過程理論，對IEEE 802.15.3a的標(biāo)準(zhǔn)信道進行建模，從而避免了工作組給出的信道模型易于仿真而難于理論分析的問題，給出基于OOK和PPM調(diào)制方式下的超寬帶非相干接收機平均誤碼率的數(shù)學(xué)表達式。圍繞著該性能指標(biāo)的數(shù)學(xué)表達式中多徑能量增益的概率密度，推導(dǎo)出能量增益的統(tǒng)計均值和方差的精確解，并通過若干數(shù)字特征深入分析了其統(tǒng)計特性，經(jīng)過與高斯分布和對數(shù)正態(tài)分布之間的對比分析，確定采用對數(shù)正態(tài)分布來擬合能量增益的概率密度，并通過Monte-Carlo仿真驗證了概率密度擬合的合理性。在此基礎(chǔ)上，對推導(dǎo)出的平均誤碼率指標(biāo)進行數(shù)值和仿真分析，結(jié)果在4種信道條件下具有較高的一致性，表明本文利用對數(shù)正態(tài)分布近似為能量增益的概率密度相比于高斯分布更具有有效性。同時，對PPM和OOK 2種調(diào)制制度的性能進行了比較，結(jié)果表明當(dāng)信噪比較低，M=100時，2種調(diào)制方式的誤碼率性能比較接近；隨著信噪比的增加，PPM 調(diào)制方式下的系統(tǒng)性能優(yōu)于 OOK調(diào)制方式，這種性能的差別隨著M的增加而逐漸趨近于常數(shù)2dB。但是，由于PPM調(diào)制方式需要在時域預(yù)留出用于調(diào)制的時隙，故相對于OOK調(diào)制降低了系統(tǒng)的傳輸速率，增加了能量開銷。

附錄A 信道能量增益的方差

首先，將信道能量增益Φ定義為散彈噪聲隨機變量：

其中，φ(·)表示濾波函數(shù)，該函數(shù)對二維空間隨機點的發(fā)生時間t和標(biāo)值為s進行作用，這里t表示多徑到達時間，s表示該徑的幅度增益，N為點過程的計數(shù)過程。將Φ寫成計數(shù)積分形式：

其中，N(B)為可測集 B上的計數(shù)過程，(ds×du)為 N的可測空間。為求Φ的分布，令 φ(s,t)=s2。

由文獻[16]中可得，整個多徑信道可劃分為4個點過程：N=N00+Nr0+Nc+ N*。故

各個參數(shù)含義參考文獻[16]。因為推導(dǎo)Φ的方差時需要用到其均值，所以對式(16)取期望得

I[0,Ts]為示性函數(shù)，Ω0參數(shù)定義見文獻[13]。根據(jù)Campbell定理[20]可得

通過對條件期望求均值可得

故可得

其中，

對Ts取極限得

接下來開始推導(dǎo)方差，對式(16)取方差得

為方便計算，定義常數(shù)K

根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布性質(zhì)可得

故

根據(jù)Campbell定理

由于隨機變量的方差等于條件方差的期望與條件期望的方差之和[20]，故

其中，可以求得條件方差為

故條件方差的期望為

同理，條件期望的方差為

故由式(35)、式(36)相加即可得信號能量的方差，當(dāng)Ts趨于無窮時，表達式可簡化為

附錄B 高斯分布的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)

設(shè)隨機變量X～N(μ,σ2)，X的矩母函數(shù)可以表示為

則X的任意階原點矩

故信號的偏度可以表示為

峰度可以表示為

附錄C 對數(shù)正態(tài)分布的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)

設(shè)隨機變量Y～LN(μ,σ2)，則X的任意階原點矩

故信號的偏度可以表示為故信號的峰度可以表示為

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