MIMO-OFDM系統中基于變分貝葉斯EM算法的聯合符號檢測與信道估計

張曉瀛，魏急波，王德剛，熊春林

（國防科技大學 電子科學與工程學院，湖南 長沙 410073）

1 引言

多輸入多輸出正交頻分復用系統具有優良的傳輸特性，近來引起廣泛關注。一方面，正交頻分復用（OFDM）可以有效對抗無線信道的頻率選擇性衰落；另一方面，OFDM與多天線技術相結合，可利用發送和接收端的空間自由度獲取更大的信道容量和更高的頻譜利用率。

信道估計在 MIMO-OFDM 系統的相干接收中占有重要地位。對于時變多徑信道而言，基于導頻的信道估計需要占用大量系統開銷，而盲估計往往計算復雜，收斂緩慢，因此，聯合符號檢測和信道估計技術成為許多學者研究的熱點。文獻[1]聯合QRD-M檢測與面向判決Kalman信道估計算法設計了MIMO-OFDM系統的接收機；Lu等人設計了空時塊碼OFDM系統中基于EM算法的迭代接收機[2]。文獻[3]設計了基于RLS算法的EM迭代接收機。這些文獻設計的信道估計算法都利用了從信號檢測中獲得的硬判決符號，容易受到錯誤傳播的影響。文獻[4]雖然在信道估計中考慮了發送信號的一階和二階統計信息，但是在符號檢測中忽略了信道估計誤差的影響，在一定程度上也損失了性能。

最優的聯合符號檢測和信道估計應該通過最大化未知參數的聯合后驗概率密度函數來獲得，但在通常情況下，這種方法非常復雜，難以實現。變分貝葉斯期望最大化(VBEM, variational Bayes expectation maximization)算法基于變分推理，通過迭代尋找最小化 KL(Kullback-Leibler)距離的邊緣分布來近似聯合分布，同時利用mean field近似減小聯合估計的復雜度[5]。本文在編碼MIMO-OFDM系統中設計了基于VBEM算法的Turbo迭代接收機，突破了傳統EM算法只能獲得參數點估計的限制，以隨機參數的后驗概率分布為估計對象，在軟入軟出檢測器中考慮了信道估計誤差的影響，并由此推出了一種新的最大后驗概率列表球形譯碼器；基于空時檢測器獲得的符號軟信息，推出了VBEM框架下基于軟信息的Kalman前向后向濾波算法。最后通過仿真證實了設計算法較傳統算法的優越性。

本文采用的主要符號表示如下： IN表示N×N的單位矩陣；矩陣 X(n)的第 i行和第 j列表示為[X ( n)]i,j；矢量 x ( n, k)的第i個元素表示為[x ( n, k )]i；Tr{×}表示跡；diag(x) 表示以矢量x中的元素作為對角元素的對角矩陣；?表示Kronecker 積。

2 系統模型

考慮具有 Nt根發送天線， Nr根接收天線的MIMO-OFDM系統，子載波數目為K，每幀數據分組含 Ns個OFDM符號。信源比特c經信道編碼后進行比特交織，每 mc個交織后的編碼比特通過星座集合映射為一個星座符號。通過串并變換，第 q個符號塊{ xq( n, k), k =0,1,… ,K -1}通過OFDM調制器從第q根天線發送。發射端框圖如圖1所示。

假設不同收發天線對之間的單入單出信道獨立同分布，且在一個OFDM符號間隔內保持不變，第q根發送天線和第r根接收天線之間的離散信道沖激響應可以表示為

圖1 MIMO-OFDM系統的發射機框圖

其中，L表示信道時延擴展。假設信道在不同OFDM符號之間時變，則時變信道可視為廣義平穩窄帶復高斯—馬爾可夫過程。采用一階AR過程對時變信道建模，狀態空間方程可以寫為

其中，Yr(n) = [yr( n, 0),… , yr( n, K -1)]T為頻域接收信號；為發送信號，Xq(n)=diag([xq( n, 0),… ,xq( n, K -1)])表示第q根發送天線上的發送信號；W = INt?F，F表示K×K的DFT矩陣的前L列；ωr( n)表示第r根接收天線上的零均值復高斯噪聲，噪聲方差為σ2。將所有接收天線上的接收信號寫入 K ×Nr的矩陣則有

其中，H( n, k )=(INt?Fk) h(n),Fk表示F矩陣的第k行。x(n, k)=[ x1( n, k ) ,…,xNt(n, k )]T為發送信號矢量，v′(n, k)為相應的噪聲矢量。

3 聯合符號檢測和信道估計

本節首先簡要介紹變分貝葉斯EM算法。假設觀測數據為θ，α1為感興趣的未知參數，α2為未知隱數據。為了求解α1和α2的聯合估計，需要最大化聯合后驗分布這種最大化計算往往非常復雜。為了簡化計算，VBEM算法定義未知參量的輔助分布 PA( α2, α1)，通過最小化KL(Kullback-Leibler)距離獲得近似最優的輔助分布[5]：

借助 mean-field近似：PA(α2,α1)=Pα2(α2) Pα1(α1)，VBEM算法通過循環執行VBE步驟和VBM步驟獲得參數分布估計，用迭代方式最小化KL距離。在第i次VBEM迭代中，參數分布的更新過程[5]如式(8)和式(9)所示：

VBE 步驟：

VBM 步驟：

3.1 空時檢測

假設α1對應待求的信道參數,α2為發送信號，接收信號為觀測數據。VBE 步驟基于從第(i－1)次迭代獲得的信道參數分布對的分布進行更新：

假設編碼比特進行理想交織，則可以近似認為不同 OFDM 符號、不同子載波上發送數據之間的相關性可以忽略。此時，的更新可以解耦為不同OFDM符號n、不同子載波k上發送數據 x ( n, k)的分布(x ( n, k ))的更新。假設在第(i－1)次VBEM迭代中已經獲得 h( n)的均值以及 hq,r(n)對應的估計誤差協方差矩陣則式(10)可以由式(12)計算：

新推出的類MMSE搜索中心轉移最大后驗概率列表球形譯碼（MLCS-MLSD, MMSE-likecenter-shifting MAP-LSD）算法具有如下優勢：1) 使用類 MMSE搜索中心可對搜索空間進行限制，從而降低搜索復雜度[7]；2) MLCS-MLSD算法可以用于發送天線數大于接收天線數（Nt＞Nr）的一般情況；3) 由式(14)可知，在x ( n, k )可能取值的代價度量計算中包含了信道估計誤差協方差矩陣的影響；4）基于式(15)，MLCS-MLSD算法可以利用文獻[8]中設計的最小均方誤差排序 QR分解方法對搜索層進行排序，將具有較高信噪比的層移至接近根的位置優先檢測，在搜索排序中考慮了信道估計誤差協方差矩陣的影響。

通過搜索獲得列表 L ist(x( n, k))后,x (n, k)的概率分布可以近似寫成

x( n, k)的均值和方差可以視為檢測器置信度的一種度量，分別按照式(18)和式(19)計算：

按照Turbo迭代原理，編碼比特外信息解交織以后送入軟入軟出譯碼器，譯碼器計算比特的后驗信息和外信息，并將外信息重新交織后返回列表球形譯碼作為下次迭代的先驗信息。

3.2 信道估計

假設初始時刻的 (0)h 服從高斯分布：

式(25)～式(31)給出了基于軟信息的前向后向Kalman濾波算法，該算法與傳統的前向后向Kalman濾波的不同之處在于：傳統前向后向Kalman濾波基于已知的導頻符號[10]；而本文中推出的算法中采用均值()n和二階矩代替導頻信息 X ( n)和 X ( n)HX ( n)。從式(30)和式(31)獲得(n-1)及估計誤差協方差(n-1)后, 即可相應獲得式(13)計算所需的用于下一次VBE步驟的計算。

3.3 初始化和接收機結構

VBEM算法的性能受到初始估計的影響，為了獲得較為準確的初始估計，將數據幀的第一個OFDM符號用于發送相互正交的導頻，基于最小二乘算法獲得初始的信道估計[11]，對 VBEM 迭代進行初始化。

本文設計的接收機中存在 2種類型的迭代處理。一方面，軟入軟出檢測和軟入軟出譯碼通過交換外信息完成 Turbo迭代；另一方面，VBEM 迭代處理通過交換發送符號和信道的后驗信息完成聯合符號檢測和信道估計，VBEM迭代嵌入在 Turbo循環中，迭代接收機框圖如圖2所示。

圖2 Turbo接收機框圖

4 仿真分析

仿真試驗構造的2根發送天線2根接收天線的MIMO-OFDM 系統具有 64個子載波，系統帶寬為800kHz。信息比特通過生成多項式為[111,101]8的1/2卷積碼編碼，交織以后進行QPSK星座映射。每個數據幀包含一個導頻符號和10個OFDM數據符號。其中第一個導頻符號用于初始信道估計[11]。收發天線對之間的信道模型服從三徑的指數延時功率譜。假設Ts表示一個OFDM符號的時間間隔，fd表示多普勒頻率，考慮 fdTs= 0 .02和 fdTs= 0 .03這2種歸一化的多普勒頻率。在以下的仿真結果圖中，“導頻方法”表示僅依靠導頻進行信道估計的 Turbo迭代接收機；“本文方法”表示新設計的基于 VBEM 算法的Turbo接收機；“面向判決”表示采用傳統列表球形譯碼[9]和面向硬判決Kalman信道估計的Turbo接收機；“文獻[2]方法”表示文獻[2]中設計的接收機。接收機名稱中的“迭代”表示Turbo迭代次數。

在“面向判決”Turbo接收機和本文設計的接收機中，列表球形譯碼器搜索相同數量的列表符號，而在文獻[2]中，檢測算法進行窮盡搜索。為公平起見，以下的復雜度對比沒有考慮文獻[2]中的窮盡搜索檢測。表1給出了在相同信噪比和搜索列表點數的條件下，傳統LSD算法和本文設計的MLCS-MLSD算法完成每次搜索所消耗的平均浮點運算次數。

表1 檢測算法復雜度比較

從表1可以看出，采用MLCS-MLSD算法可以有效減小檢測算法的搜索復雜度，同時計算出考慮信道估計誤差影響的符號度量。

圖 3給出了歸一化多普勒頻率 fdTs= 0 .02時本文算法在不同Turbo迭代次數下的誤碼率性能，在每次Turbo迭代中嵌入了3次VBEM迭代。從圖中可以看出：本文設計接收機的誤碼率隨著迭代次數的增加而逐漸下降，在第1～第3次迭代時隨著迭代次數的增加誤碼率性能有較為明顯的改善，但在第3次迭代以后這種性能提升不再明顯，仿真結果說明本文設計的接收機大約能在4次迭代內收斂。

圖3 fdTs= 0 .02時接收機的誤碼率性能

圖4比較了相同仿真條件下本文算法和其他幾種經典迭代接收算法的誤碼率性能。從圖中可以看出：在信道快速時變的條件下，僅依靠導頻進行信道估計的“導頻方法”Turbo接收機誤碼率很高，這種僅依靠初始導頻和信道統計特性進行信道估計的方法缺乏時變跟蹤能力，即使增加迭代次數和信噪比也不能使接收機的誤碼率性能得到提高。“本文方法”接收機的誤碼率在前3次迭代中能隨著迭代次數的增加而顯著下降，第3次迭代后算法趨于收斂，類似的特性也表現在“文獻[2]方法”和“面向判決”Turbo接收機中。對比幾種算法的誤碼率性能可以看出：新設計的“本文方法”性能優于“導頻方法”、“文獻[2]方法”和“面向判決”接收機的性能；當信噪比大于 15dB時，本文接收機通過3次迭代誤碼率可以達到10-3以下，有效降低了“文獻[2]方法”和“面向判決”接收機的誤碼平底，這說明在時變較為劇烈的條件下，文中設計的接收機具有更好的頑健性。

圖4 fdTs= 0 .03時不同接收機的誤碼率性能比較

圖5 本文設計接收機中信道估計的歸一化均方誤差性能

圖5給出了2種歸一化多普勒頻率條件下本文接收機中信道估計器獲得的歸一化均方誤差（NMSE，normalized mean-square error）[11]。從圖中可以看出，信道估計的性能隨著 Turbo迭代的進行而逐步得到精化，在VBM步驟中估計的信道信息一方面通過嵌入Turbo迭代而獲得迭代增益另一方面通過與VBE步驟交互信息來提升整個接收機信號檢測的性能。

5 結束語

本文設計了 MIMO-OFDM 系統中一種新的聯合符號檢測與信道估計接收機。該接收機基于VBEM 算法更新未知發送符號和信道系數的概率分布，在 VBE 步驟中基于前一次迭代獲得的信道參數估計更新符號的后驗均值和方差，考慮了信道估計誤差對發送符號后驗分布和比特外信息計算的影響；在VBM 步驟中基于發送數據的后驗分布，推出了基于軟信息的前向后向Kalman濾波算法。仿真結果證實了設計算法在時變多徑信道條件下的優越性能。

附錄A 式(12)和式(13)的推導

基于式(11)計算式(10)中的對數似然比均值：

假設編碼比特之間的相關性因為理想交織而可以忽略，則有

將式(33)和式(34)代入式(10)獲得式(12)和式(13)。

附錄B 式(14)的推導

基于式(13)，具有較大后驗概率的 x ( n, k)的度量J′(x(n, k))應滿足下列不等式：

定義度量 J ( x ( n, k))為

注意到 J ( x ( n, k))等式右邊的后兩項和 x ( n, k)無關，因此等效不等式條件為 J ( x ( n, k ) )≤ R2，整理可得

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