基于曲線擬合的泰勒級數電網故障后電壓快速準確計算＊

鐘 浩，吳政球，劉 青，李廣超

（1.湖南大學 電氣與信息工程學院，湖南 長沙 410082；2.西安科技大學 電控學院，陜西 西安 710054；3.河南省新鄉市電力局，河南 新鄉 453002）

隨著電網規模的不斷擴大，以及電力市場改革的不斷深入，電力系統的安全穩定顯得尤為重要[1].研究快速有效的故障后電網運行狀態評估方法對電網的安全穩定運行非常必要.

支路故障[2]可能導致線路過負荷和／或系統電壓遠離安全區域[3].為了使故障后電網運行在容許的范圍之內，這就要求電力系統運行人員能夠快速準確估計支路故障后的系統狀態并及時采取相應措施.然而故障后電網運行狀態估計方法的精度和速度往往是相互沖突的.

直流潮流法[4－5]因其對故障后有功計算簡單、精度較高而被廣泛應用于工程實踐.但是這種方法不能對電壓安全性進行分析.文獻[6－8]采用了基于補償方法快速解耦一次迭代方法，但要修正故障后的雅可比矩陣重新形成因子表，計算時間較長.文獻[9－10]采用分布因子法來進行電網安全分析，有功分布因子由于計算簡單、精度較高而被廣泛地用于工程實踐，但無功分布因子的精度一直是一個問題.文獻[11]考慮了有功與無功的耦合關系，但對線路故障而言，其電壓誤差仍然達到1.8%，無功潮流誤差很大，不能滿足工程計算的要求.利用優化方法，文獻[12－13]將電壓無功安全分析問題轉化為一個考慮故障線路附近網絡無功約束的優化問題，受優化方法的收斂性能影響，求解速度不是很快.

本文提出一種兼顧速度與精度的計算預想故障后電壓的方法.此方法將開斷參數（即支路導納系數[14]）看成連續變化的參數，只需要在基態網絡分解的基礎上進行前代與回代即可求得節點電壓對開斷參數各階導數，利用各階導數對節點電壓泰勒展開，可計算得到電壓函數關系曲線上線路開斷參數在很小變化范圍內的幾個點，如圖1所示（如1，2，3，4點），然后通過理論分析，提出節點電壓與線路開斷參數的近似函數關系，最后用上述所求的點對電壓函數進行擬合，最終得出節點的開斷電壓.

1 N－1網絡下節點電壓快速計算模型及其算法的實現

用擬合技術快速準確求解支路故障后的電壓包括兩階段，電壓對支路開斷參數的各階導數求解和基于泰勒級數的曲線擬合.

1.1 電壓對支路開斷參數的各階導數

在沒有線路開斷的基態網絡潮流計算收斂時，牛頓法潮流修正方程為：

圖1 節點電壓與支路導納系數的關系Fig.1 The relationship between the voltage and admittance

假設i節點到j節點間線路退出運行，令i節點到j節點間線路開斷狀態用線路開斷參數αij表示.αij＝1，表示ij－ 線路正常運行；αij＝0，ij－ 停運.將收斂后（1）式兩邊對線路開斷參數求導得（2）式：

式（3）即是電壓對開斷參數的多階導數求解通式.在第k階導數求解式中，等式左邊k＝1，2，3…，為待求的電壓對開斷參數第k階導數，式右邊為已求得的電壓對開斷參數的導數，n＝1，2，3…k－1，為雅可比矩陣[J]對αij的各階導數k＝1，2，3…，即是對αij的各階導數[15]，Chn是二項式系數.求解式為：

JαijVn－1是[J]先對αij偏導得JαijV0，再將JαijV0經電壓對αij求n－1階導，[JVn]是[J]直接經電壓對開斷參數求導[15].

由上所述即可求得電壓對線路開斷參數的各階導數，從而可得到節點電壓的泰勒展開式為：

其中α0為泰勒展開原點，一般情況下節點電壓在線路處于聯通狀態即α0＝1處展開.

1.2 基于泰勒法的擬合法

系統故障前，線路處于聯通狀態，其線路開斷參數α0＝1，對應節點電壓e（1）和f（1）.當故障線路三相斷路時，其線路開斷參數α0＝0，對應節點電壓為e（0）和f（0）.當線路開斷參數連續變化時，節點電壓的實部與虛部皆可看做線路開斷參數的函數，分別為e（α）和f（α），可由下式表示：

其中A0，A1，A2，A3為常系數；α為線路開斷參數.

應該指出的是：采用式（5）亦可計算線路斷開時的各節點電壓.但從圖1可看出，由于α－V曲線的非線性，且開斷參數α變化較大（由1變到0），使得節點電壓變化較大.實際計算也表明直接用式（5）精確計算線路斷開后各節點電壓時，泰勒展開的階數較高，需6～7階[15]，計算時間較長.

從上面的分析，我們可以想到使α在式（5）的展開原點α0＝1附近變動，是否只需很少的幾階泰勒展開就可以得到幾個點的精確e（α）和f（α）值，然后對式（6）進行擬合.從圖1也可以看出，當線路開斷參數α在很小的變化范圍內（α＝1附近）變動時，節點電壓變化較小，節點電壓與線路開斷參數關系曲線較平緩.實際計算也表明：在該范圍內用式（5）直接計算e（α）和f（α）值只需三階泰勒展開即可得到很精確的解.所以為使精確度高且計算時間少，本文用很小變化范圍內（α＝1附近）的幾個點來擬合節點電壓函數，從而得到斷線后的節點電壓.由式（6）知，電壓函數有四個未知數，所以本文采用在支路開斷參數變化很小區域內選擇四個點得到四個線性方程，從而可確定四參數A0，A1，A2，A3的值，得到節點電壓與線路開斷參數的函數關系.

當α＝1.0時此時：

另外三個線性方程為：

式（7）中的e（1.0）即為基態情況下節點電壓實部，其值可由基態潮流計算得出.而對于式（8），（9）和（10）中的e（0.95），e（0.90），e（0.85）可按式（5）將其在α0＝1處展開，并精確到3階.

聯立（7），（8），（9），（10）可解得參數A0，A1，A2，A3，又由α＝0時可求得支路故障后電壓.

同理節點電壓虛部亦可作如上推導.只需在上述公式中將e（α）換成f（α）即可.在求得e（α）和f（α）后，即可得到節點電壓的幅值與相角.

2 算例

以IEEE30和IEEE118節點系統為算例進行分析.用牛頓法和本文所提方法分別計算測試系統故障后的電壓幅值和無功功率，并將其結果進行比較.

節點的電壓幅值誤差定義為：

VPF為采用牛頓潮流法計算出來的故障后節點電壓幅值，VDF為采用本文所提方法計算出來的故障后節點電壓幅值.支路無功功率誤差定義為：

QPF為采用牛頓潮流法計算出來的故障后支路無功功率，QDF為采用本文所提方法計算出來的故障后支路無功功率.

在所有的仿真之中，兩個比較有代表性的故障如表1所示.第一個故障是斷開節點4和節點6之間的支路.第二個故障是斷開節點4和節點12之間的變壓器支路.故障后所有節點的電壓幅值和所有支路的無功功率如表1和表2所示.

從表1可以看出電壓幅值誤差相當小，當支路4－6斷開時系統電壓幅值最大誤差為0.003，平均誤差為0.001 2，小于文[10]所計算的電壓幅值最大誤差0.005 5和平均誤差0.002 6.當支路4－12斷開時系統電壓幅值最大誤差為0.006，平均誤差為0.001 8，小于或等于文[10]所計算的電壓幅值最大誤差0.006和平均誤差0.0029.

表1 IEEE30支路4－6和4－12故障后電壓值Tab.1 Post－outage voltage for branch of 4－6outage in IEEE 30－bus test system P.U.

從表2可以看出，當支路4－6斷開時，曲線擬合法所得各支路無功功率最大誤差為2.882，平均誤差為0.634 162.當支路4－12斷開時，最大誤差為2.489，平均誤差為0.314 953.

表2 IEEE30支路4－6和4－12故障后支路無功潮流Tab.2 Post－outage varflows for baranch 4－6outage in IEEE 30－bus test system MVAR

表3描述了以基態負荷為準的不同負荷水平情況下，本文所提方法計算精度的變化情況.負荷有功、無功以及PV節點的有功都按相同比例增長.從表3可以看出，在不同負荷水平下，本文所提方法的計算誤差沒有太大變化，所以利用該方法所編程序計算性能相當穩定.

表3 IEEE30節點不同負荷等級情況下電壓誤差統計Tab.3 Error statistics for different loadings in 30－bus test system

表4給出了所提方法的CPU時間.采用的計算機具有512M內存、CPU速度為2.20GHz.從表4可以看出計算時間是本文方法的優勢之一.而且，系統規模越大，本文方法的效率越高.

表4 牛頓法與曲線擬合法計算時間比較Tab.4 CPU time comparison between Newton and proposed method

3 結 論

本文提出將節點電壓看成線路開斷參數的函數，然后根據泰勒級數在函數關系曲線上確定幾個點，基于擬合技術得到用線路參數表示的節點電壓函數.特點是在計算不同故障線路、各階導數時共用潮流計算收斂時的雅克比矩陣，不用重新對雅可比矩陣進行因子表分解，只需低階泰勒展開就可得到精確的節點電壓值，其計算速度比故障后重新進行牛頓潮流程序計算速度要快很多.將此方法在多個IEEE標準網絡算例中進行了數值實驗和時間比較，結果表明擬合方法可達到很高的精度要求.因此，對于大型電網的N－1電壓估計在線監視和分析有重大的意義.

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