基于區(qū)間數(shù)的高速磨床主軸系統(tǒng)的不確定性優(yōu)化研究＊

崔 中，文桂林，趙子衡，姜 潮

（湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082）

機(jī)械加工正在向著高精度、高效率的方向發(fā)展，高速磨削已成為現(xiàn)階段精加工的重要手段.在精密磨削中，主軸系統(tǒng)的振動對工件的表面質(zhì)量影響很大，而且對主軸軸承和砂輪的微刃都有損害.不平衡的砂輪在高速運(yùn)轉(zhuǎn)中會導(dǎo)致主軸系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動.因此減小主軸系統(tǒng)的振動和優(yōu)化主軸系統(tǒng)的性能成為國內(nèi)外提高磨削質(zhì)量的重要研究方向.在傳統(tǒng)工程優(yōu)化中，結(jié)構(gòu)參數(shù)和作用載荷都被視為確定參數(shù)，而對于高速磨床這種工程實際問題，其材料特性、幾何參數(shù)和作用載荷等并不是確定的，特別是實際工況下的載荷.為了得到有用且可靠的結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計，在結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化過程中考慮不確定性因素是很必要的.不確定性優(yōu)化是傳統(tǒng)優(yōu)化方法的延伸，使得優(yōu)化的結(jié)果更具有實際意義.

對于工程實際中的不確定性問題，近年來，大多采用概率方法處理不確定問題，把不確定變量作為隨機(jī)變量.然而由于概率方法對于實際工程問題有其本身的局限性，因為有時很難提供充分的概率分布信息來描述這些隨機(jī)變量，從而限制了基于概率的優(yōu)化方法在工程中的應(yīng)用[1－2].而基于區(qū)間方法的不確定性優(yōu)化把不確定參數(shù)看作區(qū)間數(shù)，只需要不確定參數(shù)的上下界信息即可，這些信息在工程實際中是比較容易獲得的，如此以來基于區(qū)間數(shù)不確定性優(yōu)化在工程應(yīng)用中的優(yōu)勢就顯而易見了[3].對于主軸系統(tǒng)的優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)是通過建立柔性體動力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值計算得到的，由于結(jié)構(gòu)較大，計算費(fèi)時，而且基于區(qū)間數(shù)的不確定優(yōu)化是一個嵌套優(yōu)化，如果調(diào)用動力學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化，就會造成優(yōu)化的效率非常低，所以本文引入近似模型方法來代替主軸系統(tǒng)的動力學(xué)模型進(jìn)行不確定優(yōu)化，從而很大程度上提高了求解和尋優(yōu)的效率.

1 基于區(qū)間數(shù)方法的不確定優(yōu)化理論

式中：f為包含設(shè)計變量和不確定參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)；gi為第i個不確定約束函數(shù)；m為不確定約束的個數(shù)；X為n維設(shè)計向量；Ω為n維設(shè)計空間；p為q維不確定向量，上標(biāo)L和R表示區(qū)間的下界和上界.

利用區(qū)間數(shù)理論中的區(qū)間數(shù)序關(guān)系對區(qū)間進(jìn)行比較，則式（1）的不確定優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為式（2）的多目標(biāo)優(yōu)化問題：

一般的不確定性優(yōu)化問題可以表述為式（1）：

式中：m（f（X，p））為目標(biāo)函數(shù)區(qū)間的中點；w（f（X，p））為目標(biāo)函數(shù)區(qū)間的半徑.fL（X）和fR（X）分別由式（3）表達(dá)式得出：

對于每個確定的X，f（X，p）的取值為一個由式（3）確定的區(qū)間，如此以來，式（2）所表述的不確定兩目標(biāo)優(yōu)化問題就可以轉(zhuǎn)化為一個確定的兩目標(biāo)優(yōu)化問題.

由于線性加權(quán)組合法相對簡單并廣泛地被應(yīng)用于工程問題中，所以本文采用線性加權(quán)組合法來處理兩目標(biāo)優(yōu)化問題，式（2）的兩目標(biāo)不確定優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為如式（4）的單目標(biāo)優(yōu)化問題：

式中：α為權(quán)重系數(shù)，其取值范圍為α∈[0，1]，α的選取依靠對實際問題充分的了解.β和γ為使m（f（X，p））＋β和w（f（X，p））＋γ非負(fù)的常數(shù).φ和ψ為標(biāo)準(zhǔn)化因子，其表達(dá)式如下：

采用罰函數(shù)方法來處理不確定優(yōu)化問題的約束條件，使其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)無約束優(yōu)化問題.式（4）可寫為：

式中：σ為懲罰因子，通常取一個較大的值，當(dāng)不滿足約束條件時將受到懲罰，使得搜索保持在可行域內(nèi).

2 高速磨床主軸系統(tǒng)柔性體模型

2.1 ADAMS柔性體理論

在多剛體動力學(xué)軟件ADAMS中建立柔性體模型，可以在考慮到物體的彈性的基礎(chǔ)上，對復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行有效的動力學(xué)仿真，提高了系統(tǒng)仿真的精度，同時可以顯示出物體在運(yùn)動受力時的彈性變形和應(yīng)力情況.

在ADAMS中是采用模態(tài)柔性體來表示物體彈性的，將彈性體離散為有限元模型，從而可以用有限的自由度來表示無限的自由度.基本方法是計算物體的模態(tài)，不同的模態(tài)是互相垂直的，從而構(gòu)成一個線性的模態(tài)空間，在模態(tài)空間中用模態(tài)特征向量的線性組合來表示物體有限元節(jié)點的彈性位移，通過計算每一時刻物體的彈性位移來描述其變形運(yùn)動.物體的變形可以在模態(tài)空間中通過模態(tài)的線性疊加關(guān)系得到，用如下表達(dá)式描述：

式中：d為各個節(jié)點的位移矢量；αi是模態(tài)參與因子；φ為物體的特征位移矢量.

本文采用的是利用ADAMS／FLEX模塊在模型中引用模態(tài)中性文件的方法建立柔性體系統(tǒng)模型，即通過有限元分析軟件對物體進(jìn)行模態(tài)計算，生成模態(tài)中性文件——MNF文件，導(dǎo)入ADAMS中建立柔性體.

2.2 主軸系統(tǒng)的柔性體建模

某型高速磨床的主軸系統(tǒng)包括：砂輪架箱體，主軸，主軸靜壓軸承，砂輪等.

采用通用有限元軟件MSC.Patran建立主軸和砂輪架箱體的有限元模型.主軸是一個多階梯帶有錐度的圓柱體，砂輪架的內(nèi)部結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，為了方便進(jìn)行有限元建模和計算，兩者的結(jié)構(gòu)必須經(jīng)過一定的簡化，簡化的原則為：不考慮各處的倒角，忽略空刀槽和儲油槽；忽略很小的臺階和螺紋孔.

主軸是主軸系統(tǒng)的重要零件，使用六面體單元對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，因為六面體單元形狀規(guī)則、單元質(zhì)量好，計算精度高.而砂輪架箱體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，四面體單元的適應(yīng)度較好，所以采用四面體單元對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分.其有限元模型如圖1和圖2所示.

圖1 主軸有限元模型Fig.1 Finite element model of spindle

圖2 砂輪架有限元模型Fig.2 Finite element model of grinding carriage

由于主軸和砂輪架箱體的有限元模型要導(dǎo)入ADAMS中進(jìn)行加載仿真，所以需要在其有限元模型中設(shè)置連接點.在主軸固定砂輪的軸端中心和前、后軸承中心以及安裝電機(jī)的軸段中心位置分別設(shè)置一個連接點，用于在導(dǎo)入ADAMS后與剛性體的連接、創(chuàng)建運(yùn)動副和成為載荷的受力點.同樣在砂輪架箱體有限元模型的兩個軸承座的中心處建立連接點.連接點采用Patran中的多點約束（multi－point constraint，MPC），具體如圖2所示.

主軸的材料為65Mn，彈性模量E＝0.21TPa，泊松比μ＝0.3，密度為ρ＝7.81×103kg／m3.砂輪架的材料為 HT200，E＝0.12TPa，μ＝0.25，ρ＝7.4×103kg／m3.

采用MSC.Nastran對主軸和砂輪架箱體的有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，并生成MNF文件.

2.3 ADAMS中主軸系統(tǒng)動力學(xué)建模

通過ADAMS／FLEX模塊將生成的主軸和砂輪架箱體的模態(tài)中性文件導(dǎo)入ADAMS中，進(jìn)行約束和加載.

由于在ADAMS中并不是所有的約束副和運(yùn)動副都可以直接加在柔性體上的，需要通過啞物體過渡，在主軸和砂輪架箱體上的連接點處建立啞物體.采用軸套約束來模擬主軸靜壓軸承對主軸的支撐和受力關(guān)系.在主軸末端的連接點上建立圓柱副并施加旋轉(zhuǎn)驅(qū)動，來模擬電機(jī).

在磨削加工中，磨削力有3個分量：Ft為切向磨削力，F(xiàn)n為法向磨削力，F(xiàn)s為縱向進(jìn)給方向的分力，如圖3所示.對于縱向進(jìn)給方向的力Fs來說，由于各個磨粒具有隨機(jī)分布的正負(fù)傾角，使其各分力互相抵消，從而相對于其他兩個磨削力很小，所以只考慮切向磨削力和法向磨削力[4].

圖3 外圓磨削過程中的磨削力Fig.3 Grinding force in the cylindrical grinding process

切向磨削力Ft和法向磨削力Fn可以用式（7）和式（8）來計算：

的生長基元為[MgO6]正八面體，其通過Mg-O鍵以共頂點的方式緊密相連，沿化學(xué)鍵作用力較強(qiáng)的[010]方向無限連接形成長鏈。采用線性擬合計算得lgtind與f(lgs)的關(guān)系為y=3.828 25-5.199 65x，決定系數(shù)R2=0.983 49，擬合結(jié)果與試驗結(jié)果良好吻合，重鎂水溶液濃度增大，誘導(dǎo)期時間縮短。

式中：k為與工件材料相關(guān)的系數(shù)；b為磨削寬度；λ為有效磨粒間隔；γ為圓錐半頂角；dw為工件直徑；ds為砂輪直徑；ω1為工件轉(zhuǎn)速；ω2為砂輪轉(zhuǎn)速；Δ為工件每轉(zhuǎn)磨削深度；ε為指數(shù)[5]，一般取0.2～0.5.在該磨床中dw＝100mm，ds＝500mm，ω1＝150 r／min，ω2＝360rad／s，Δ＝0.1mm，采用 CBN 砂輪，磨削寬度近似為砂輪的寬度，b＝25mm，ε＝0.5，γ＝60°，λ＝0.5mm.工件材料選用淬火45鋼，k＝165kg／mm.將這些參數(shù)代入式（7）和式（8）中得，F(xiàn)n＝910N，F(xiàn)t＝412N.

考慮到磨削的實際工況，將法向磨削力Fn視為周期載荷，加載在砂輪的質(zhì)心上，方向為Y軸的負(fù)方向.由于切向磨削力距離主軸250mm，因此在主軸上加一個扭矩T＝412×250＝103 000N·mm.

在ADAMS中用STEP函數(shù)來對力和力矩進(jìn)行加載，使其在1～1.2s之間平滑過渡，如圖4所示.

圖4 磨削力和力矩Fig.4 Grinding force and moment

對該模型進(jìn)行動力學(xué)仿真計算，主軸在運(yùn)動過程中應(yīng)力變化情況都可以在后處理動畫中看到，如圖5所示.從結(jié)果中可以看出，在運(yùn)動過程中，主軸在靠近電機(jī)連接處的應(yīng)力較大，最大應(yīng)力為10.4 MPa.由于將砂輪視為剛體，所以砂輪質(zhì)心的位移與邊緣接觸點的位移是一致的，從而砂輪質(zhì)心的位移情況可以在一定程度上表征磨削時主軸的受力振動對工件表面質(zhì)量的影響.觀察砂輪架質(zhì)心在X，Y和Z3個方向上的位移曲線，如圖6所示，可以看到在Y方向上（主軸的徑向）砂輪質(zhì)心在一開始運(yùn)轉(zhuǎn)時就有17μm的位移，之后在周期力的作用下又有最大幅值為3.3μm的跳動.本文以表征主軸系統(tǒng)剛度的砂輪質(zhì)心最大的跳動幅值為響應(yīng)，建立目標(biāo)函數(shù).

圖5 砂輪架主軸系統(tǒng)運(yùn)動過程應(yīng)力圖Fig.5 Grinding stress figure of spindle－carriage system

圖6 砂輪質(zhì)心在X，Y和Z3個方向的位移變化圖Fig.6 Displacement variation figure of grinding wheel’s barycenter

3 主軸系統(tǒng)近似模型的建立

由于對柔性體主軸系統(tǒng)模型進(jìn)行數(shù)值計算的時間較長，如此以來基于該模型進(jìn)行優(yōu)化計算，特別是進(jìn)行嵌套優(yōu)化計算，每次計算響應(yīng)值都要調(diào)用費(fèi)時的柔性體模型，使計算效率低下，從而阻礙了優(yōu)化算法在主軸系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用.近似模型方法是目前較為流行的解決大規(guī)模模型優(yōu)化問題的有效途徑，用其代替真實模型進(jìn)行優(yōu)化，可以很大程度地提高求解工程優(yōu)化問題的效率.

3.1 試驗設(shè)計

為了建立有效的近似模型，需要借助實驗設(shè)計方法，以獲取足夠的、合適的樣本點.采樣點的選擇不當(dāng)會導(dǎo)致近似模型的精度低、甚至錯誤，并且會提高構(gòu)建近似模型的成本.

本文采用優(yōu)化拉丁超立方試驗設(shè)計方法，該方法的采樣點在采樣空間中分布均勻，可以在相對較少的采樣個數(shù)的情況下，獲得充分的模型信息.該方法的基本思想是將每個設(shè)計參數(shù)的設(shè)計空間均勻地劃分為N×N的方陣，然后在其中隨機(jī)生成不同行不同列的N個采樣點.

由于基于區(qū)間的不確定性優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化設(shè)計變量和不確定參數(shù)的函數(shù)，所以在試驗設(shè)計中，采樣空間應(yīng)該為由設(shè)計空間和不確定參數(shù)空間組成的混合空間.

在高速磨削的實際工況中，磨削力不可能是一個確定量，它受到諸如磨削表面粗糙度、砂輪接觸面上動態(tài)磨刃數(shù)、砂輪耐用度、磨削比能等因素的直接影響.本文以軸承的徑向剛度k1和軸向剛度k2為設(shè)計變量，法向磨削力Fn和磨削力矩T為不確定參數(shù)，在其組成的采樣空間內(nèi)選取樣本點.

3.2 徑向基近似模型

近似模型的基本原理是，通過數(shù)理統(tǒng)計和試驗設(shè)計的方法，建立設(shè)計變量和響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，用以代替復(fù)雜的真實模型.本文選用徑向基函數(shù)近似模型，因其在考慮模型精度和魯棒性的同時，相比其他近似模型要可靠[6－7].

徑向基函數(shù)近似模型是以徑向函數(shù)為基函數(shù)，通過線性加權(quán)插值構(gòu)造出來的.徑向基函數(shù)是以待測點與樣本點之間的歐式距離為變量的函數(shù).本文選用Gaussian函數(shù)作為徑向基函數(shù)，其表達(dá)式如式（9）所示，則徑向基函數(shù)近似模型的解析表達(dá)式如式（10）所示.

式中：δi為權(quán)系數(shù)；Li為待測點到樣本點的歐氏距離，Li＝‖x－xi‖；α是給定的大于零的常數(shù)；n為樣本點個數(shù).當(dāng)已知樣本點 Xj（j＝1，...，n）和其響應(yīng)值yj后，利用插值條件p（Xj）＝y(tǒng)j，計算出徑向基函數(shù)近似模型的權(quán)系數(shù)δi，從而構(gòu)建出顯式表達(dá)的徑向基近似模型[8].

將試驗設(shè)計中得到的由徑向剛度k1、軸向剛度k2、法向磨削力Fn和磨削力矩T組成的樣本點，代入到柔性體主軸系統(tǒng)模型中進(jìn)行計算，得出其相應(yīng)的砂輪質(zhì)心最大跳動幅值，根據(jù)上述方法，建立以主軸徑向剛度k1、軸向剛度k2、法向磨削力Fn和磨削力矩T為自變量，砂輪質(zhì)心最大跳動幅值為目標(biāo)值的主軸系統(tǒng)近似模型F（k1，k2，F(xiàn)n，T）.

4 主軸系統(tǒng)的不確定性優(yōu)化研究

本文主軸系統(tǒng)不確定優(yōu)化研究的目的是使砂輪質(zhì)心在工作狀態(tài)下最大跳動值最小，從而一定程度上提高主軸的回轉(zhuǎn)精度和工件表面的磨削精度.以上述徑向基函數(shù)近似模型F（k1，k2，F(xiàn)n，T）為目標(biāo)函數(shù)，約束條件為軸承的徑向剛度和軸向剛度的取值范圍，k1∈ [8×104N／mm，1×106N／mm]，k2∈[1×104N／mm，2×105N／mm].

結(jié)合本問題實際情況，在上述區(qū)間不確定性優(yōu)化方法中，將區(qū)間中點和區(qū)間半徑視為同等重要，則式（6）中權(quán)重系數(shù)α＝0.5.常系數(shù)β＝γ＝10.主軸系統(tǒng)的不確定優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)可用表達(dá)式（11）描述：

其中：

采用隔代遺傳算法（intergeneration projection genetic algorithm，IPGA）對上述目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.隔代遺傳算法是在微型遺傳算法的基礎(chǔ)上加入隔代映射算子，隔代映射算子是用來沿著連續(xù)兩代中最好個體的方向上，尋找更好的個體，以代替當(dāng)前代中最差的個體[9].隔代遺傳算法不僅繼承了微型遺傳算法種群規(guī)模小、基因多樣性和全局優(yōu)化的特點，而且提高了收斂速率.

首先，外層遺傳算法在主軸徑向剛度k1和軸向剛度k2組成的設(shè)計空間內(nèi)尋優(yōu)，對于每個所取的設(shè)計向量進(jìn)入內(nèi)層遺傳算法，在不確定磨削力Fn和T組成的不確定參數(shù)空間內(nèi)搜索，通過計算徑向基近似模型F（k1，k2，F(xiàn)n，T）確定目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)的上下界，進(jìn)而得到目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)區(qū)間的中點和半徑.把內(nèi)層優(yōu)化結(jié)果反饋給外層優(yōu)化算法，以幫助外層算法繼續(xù)尋優(yōu)，直到滿足停止準(zhǔn)則輸出最后的設(shè)計變量作為優(yōu)化結(jié)果.優(yōu)化流程如圖7所示.

最后的優(yōu)化結(jié)果為，在不確定參數(shù)作用下，當(dāng)k1＝771 573.8N／mm，k2＝43 802.5N／mm 時，砂輪質(zhì)心最大跳動值區(qū)間為[1.61μm，2.49μm]，不確定區(qū)間中心為2.05μm，區(qū)間半徑為0.44μm.以區(qū)間中點來說，相比優(yōu)化前的砂輪質(zhì)心最大跳動值降低了37.9%，即使最壞情況為2.49μm也比優(yōu)化前降低了24.5%，結(jié)果令人滿意.

我們可以通過調(diào)整液體靜壓軸承一些參數(shù)，如供油壓力、軸承長度、軸承間隙等[10]，實現(xiàn)優(yōu)化出來的軸承剛度參數(shù).

圖7 主軸系統(tǒng)優(yōu)化流程圖Fig.7 Optimizaiton flowchart of spindle system

5 結(jié) 論

1）將基于區(qū)間數(shù)的不確定性優(yōu)化方法引入到高速磨床主軸系統(tǒng)的優(yōu)化中，在考慮實際工況中載荷不確定性的基礎(chǔ)上，對主軸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.優(yōu)化結(jié)果顯示，當(dāng)主軸系統(tǒng)剛度k1＝771 573.8 N／mm，k2＝43 802.5N／mm時，表征磨削質(zhì)量的砂輪質(zhì)心徑向最大跳動值區(qū)間為[1.61μm，2.49μm].主軸系統(tǒng)的振動性能有了較大的提高，而且使優(yōu)化結(jié)果更有實際意義.

2）建立高速磨床主軸系統(tǒng)的柔性體動力學(xué)模型，提高了磨削仿真的精度，可以更實際地反映出磨削時主軸系統(tǒng)的受力和振動情況.

3）根據(jù)高速磨床自身模型大、計算費(fèi)時等特點，建立結(jié)構(gòu)參數(shù)與目標(biāo)值之間的徑向基函數(shù)近似模型，用于代替動力學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化，從而大大提高了求解高速磨床這類復(fù)雜有限元模型優(yōu)化問題的效率.

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