三種估計疲勞極限方法的比較

朱學超，李泉珍

（貴州大學土木建筑工程學院，貴州 貴陽 550003）

疲勞極限是表征材料與結構疲勞性能的重要參量之一，其試驗與測定方法一直受到國內外的關注。當研究其概率值時，試驗方法主要有大子樣升降法和小子樣升降法。大子樣升降法測定結果精度較高，但花費試樣較多，一般大于30個，這一試驗方法已寫入了英、日、法等國的試驗標準。小子樣升降法測定結果精確度稍差，但花費試樣較少，約 13個～20個，在我國得到了廣泛應用。

疲勞極限的早期理解是，材料不發(fā)生疲勞損傷（無限疲勞壽命）的臨界疲勞強度；后來被理解為一定疲勞壽命（如 107循環(huán)數）下的中值疲勞強度估計值。因材料的疲勞極限隨加載方式和應力比的不同而異，通常以對稱循環(huán)（即應力比R=－1）下的疲勞極限作為材料的基本疲勞極限。［1］擴展到概率領域，則應理解為一定疲勞壽命下疲勞強度的概率（包含存活概率和置信度兩方面含義）估計值。本文闡述了3種估計計算方法，并進行了比較。

1 加權平均法

為了區(qū)別對待不同精度條件下的測量結果，在計算平均值時需要采用加權平均。所謂權，就是權衡輕重的意思，某個測量值越可信賴，則在數據分析中應該使它占有越大的比重，即需要賦予它越大的權。測量值的可信賴程度與測量值的誤差密切相關，誤差越小，可信賴程度就越高，權也就越大；反之亦然。在加權平均時，習慣上將權值取得與測量結果的方差成反比。采用加權平均法對其小子樣升降法的疲勞試驗結果進行處理時，其缺點是加權平均值只可以作為可靠度為50%的疲勞極限。

2 正態(tài)分布（或對數正態(tài)分布）估計疲勞極限應力值［2］

在疲勞分析中，需要利用由各種試驗獲得的疲勞性能數據。由于疲勞試驗數據常常有很大的分散性，因此，只有用統(tǒng)計分析的方法處理這些數據才能夠對材料或構件的疲勞性能有比較清楚的了解。

正態(tài)分布也稱高斯（Gaussian）分布。對數疲勞壽命 lgN常常是服從正態(tài)分布的。令X＝lgN，即可利用正態(tài)分布理論進行對數疲勞壽命X的統(tǒng)計分析。

2.1 正態(tài)分布的密度函數和分布函數

若隨機變量X服從正態(tài)分布，則密度函數（或稱頻率函數）為：

式中，μ為母體均值；σ為母體標準差，是非負的。正態(tài)概率密度函數曲線是關于x＝μ對稱的，兩端伸向無窮。f（x）在x＝μ處取最大值，且可見，σ越小，在x＝μ附近取值的可能越大；密度函數曲線越“瘦”，隨機變量X的分散性越小，故標準差σ反映了X的分散性。

一般來說，無論分布形式如何，概率密度函數均具有以下性質：

（1）f（x）≥0。f（x）表示隨機變量X取值為x的頻繁程度，故對于所有的可能取值，f（x）顯然是非負的。

正態(tài)概率分布函數為：

分布函數F（x）給出了隨機變量X取值小于等于x的概率。顯然可見，隨機變量X取值大于x的概率則為1－F（x）。

2.2 給定疲勞壽命下的破壞概率估計和置信水平

在對數疲勞壽命服從正態(tài)分布的假設下。首先，應確定分布參數，即均值μ和標準差σ。μ、σ是母體分布參數，其真值常常是得不到的。一般只能由取自該母體的若干試件組成的“子樣”（或稱樣本）試驗數據來估計。

子樣均值 為：

式中，xi為第i個觀測數據，對于疲勞分析，則是第i個試件的對數壽命，即xi＝lg Ni；n為子樣中xi的個數，稱為樣本大小（或樣本容量）。

子樣方差S2為：方差S2的平方根s，即子樣標準差，是偏差的度量，反映了分散性的大小。注意到（4）式，所有n個偏差的總和為零，故只有（n－1）個偏差是獨立的。

子樣大小n越大，子樣均值x和標準差s就越接近于母體均值μ和標準差σ。因此，假定對數疲勞壽命X＝lgN是服從正態(tài)分布的，則只要由一組子樣觀測數據計算出子樣均值和標準差s，并將它們分別作為母體均值μ和標準差σ的估計量，即可得到具有某給定破壞（或存活）概率下的壽命或某給定壽命所對應的破壞（或存活）概率。

事實上，這樣估計的對數壽命Np＝＋up·s（其中 up為與破壞概率p對應的標準正態(tài)偏量，其存活率即可靠度R＝1－p），可能比母體對數壽命的真值μ＋up·σ小，也可能比母體真值大。因此，需要引入置信度γ這一概念。如果由＋up·s估計的破壞概率為p的對數壽命小于真值的概率為γ，則稱γ為這一估計的置信度。置信度γ通常取為90 %或95 %。將破壞概率為p，置信度為γ的對數壽命寫為：

式中，k稱為單側容限系數。

由此，可以求出一定可靠度R和置信度γ下的疲勞極限。

3 三參數威布爾分布理論［2、3］

在疲勞強度的可靠性設計中，最適合表達疲勞強度分布的函數，除了正態(tài)分布函數外，還有目前發(fā)展起來的威布爾分布概率密度函數。威布爾分布概率密度函數的優(yōu)點，在于存在最小壽命，即100 %可靠度的壽命，這是符合疲勞破壞實際情況的。

3.1 威布爾分布的密度函數和分布函數

威布爾分布的密度函數為：

式中，N0、Na和b為描述威布爾分布的3個參數。N0是下限，也稱為最小壽命參數；Na控制著橫坐標的尺度大小，反映了數據N的分散性，稱為尺度參數；b描述分布密度函數曲線的形狀，稱為形狀參數。

如同前面討論正態(tài)分布一樣，我們關心的是在疲勞壽命 N之前破壞的概率，或壽命小于等于N的概率F（N）。由此有威布爾分布的分布函數為：

令 x＝（N－N0）/（Na－N0），則有 dN＝（Na－N0）dx，并注意到F（N）＝F（x），即得三參數威布爾分布函數F（N）為：

由上式顯然可知，當N＝N0時，F(xiàn)（N0）＝0，即疲勞壽命小于N0的破壞概率為零，故N0是最小壽命參數；當N＝Na時，F(xiàn)（Na）＝1－1/e＝0.632，即疲勞壽命小于 Na的破壞概率恒為63.2 %而與其它參數無關，所以Na也稱為特征壽命參數。

3.2 威布爾分布參數的估計

正態(tài)分布母體的均值μ和方差σ2都能直接反映在正態(tài)分布概率密度函數中。但在威布爾分布概率密度函數中并不包含 μ和σ2。因此，只能通過威布爾的三個參數N0、Na和b來表達μ和 σ2值。

引入伽馬函數，設z＞0，定義伽馬函數［4］（Γ－函數）為：

且有如下性質：①Γ（z＋1）＝zΓ（z）；

根據求數學期望的定義，通過積分計算可得威布爾變量的數學期望，即母體均值μ為：

威布爾變量的方差σ2為：

其置信度γ＝1－α（α是顯著度）。

由此，便可求出一定可靠度和置信度下的疲勞極限。

4 結論

本文闡述了3種估計疲勞極限的方法。加權平均法簡單易行，但缺點是加權平均值只可以作為可靠度為 50 %的疲勞極限。按正態(tài)分布（或對數正態(tài)分布）可以求出一定可靠度R和置信度γ疲勞極限，但它存在一個缺點，即當失效概率很小時，疲勞壽命或疲勞極限趨于零，這與很多試驗結果和實際不符。而三參數威布爾分布中的參數 N0在疲勞試驗中表示最小壽命或最低疲勞極限，與實際疲勞特性相符。

三參數威布爾分布理論與加權平均法相比，不僅考慮置信度，還可以求出任意可靠度下的疲勞極限。與按正態(tài)分布（或對數正態(tài)分布）相比，能更準確地估計疲勞極限，應用更廣泛。

1 周傳月、鄭紅霞、羅慧強.MSC.Fatigue疲勞分析應用與實例.北京：科學出版社，2005.3

2 陳傳堯.疲勞與斷裂.武漢：華中科技大學出版社，2002.1

3 李舜酩.機械疲勞與可靠度設計.北京：科學出版社，2006.9

4 吳 翊、李永樂、胡慶軍.應用數理統(tǒng)計. 北京：國防科技大學出版社，2005.8