中矩形公式的注記

周旭，丁麗兵，庹云義，王成偉

（北京服裝學院 a. 材料科學與工程學院；b.基礎教學部，北京100029)

中矩形公式的注記

周旭a，丁麗兵a，庹云義a，王成偉b

（北京服裝學院 a. 材料科學與工程學院；b.基礎教學部，北京100029)

中矩形公式具有一次代數精度，其代數精度低。為了解決這個弊端，對推廣的中矩形公式中間點的漸近性質進行論證，并由此得到校正的中矩形公式，它具有三次代數精度。通過實例進行數值驗證，結果表明，校正的中矩形公式計算精度大為提高。

中矩形公式；中間點；漸近性質；代數精度

0引 言

積分中值定理在高等數學中具有重要的理論意義，對積分中值定理中間點的漸近性質的研究也已經取得了一些成果[1-5]，但對數值分析中的數值求積公式中間點的漸近性質尚未展開研究。本文對數值求積推廣的中矩形公式中間點的漸近性質進行全面論證，并給出了令人滿意的結果。由此得出的中矩形公式具有三次代數精度。通過實例進行數值驗證，結果表明，校正的中矩形公式計算精度大大提高。

1定理及證明

為了定理及證明的需要，先給出兩個引理：

引理1[6]（中矩形公式）設函數f(t)在閉區間[a,x]內連續，在開區間(a,x)內二階可導，則有：

引理2[7]（推廣的中矩形公式）設函數f(t),g(t)在閉區間[a,x]內連續，在開區間(a,x)內二階可導，并且在開區間(a,x)內，則有：

定理設函數f(t),g(t)滿足條件：

（1）在[a,x]上連續；

證明構造輔助函數

在[a,x]上對f(t)及g(t)應用引理1和引理2，得：

此外，將（3）式兩端直接取極限，并反復應用洛比達法則，得：

在上述定理中，令n=1,可得到如下推論：

推論1 設函數f(t),g(t)滿足條件：

（1）在[a,x]上連續；

推論2 設函數f(x)在閉區間[a,a+h]上可導，則數值求值公式為：

校正后的中矩形公式具有三次代數精度。而中矩形公式只有一次代數精度。在（1）式中，令，可得到對應于（1）式的校正的中矩形公式(11)。校正的中矩形公式(11)比中矩形公式的代數精度提高了二次。

2應用舉例

將[例1]分別運用矩形公式、梯矩形公式、辛浦生矩形公式及校正的中矩形公式計算，計算結果見表1。

[例2]積分

將[例2]分別運用矩形公式、梯矩形公式、辛浦生矩形公式及校正的中矩形公式計算，計算結果見表2。

由表1、表2可知，校正的中矩形公式與中矩形公式相比較，計算精度大大提高；校正的中矩形公式與辛浦生矩形公式相比較，計算精度相當。

表1求積公式在[例1]中的計算結果及絕對誤差

表2求積公式在[例2]中的計算結果及絕對誤差

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[2]王成偉.一類積分中值定理及中間點的漸進性質[J].北京服裝學院學報，2002，22(2):68-71.

[3]鄭權.積分第一中值定理中的ξ在數值積分上的應用[J].工科數學，2002，18(5):111-116.

[4]吳至友，夏雪.積分第二中值定理“中間點”的漸近性[J].數學的實踐與認識，2004，34(3):170-176.

[5]王成偉.積分型柯西中值定理中間點的漸進性質[J].北京服裝學院學報，2005，25(3):42-44.

[6]陳明逵，凌永祥.計算方法教程[M].西安:西安交通大學出版社，1992:128-129.

[7]SU, H M,HUANG,Y D.A Remark on Mid-rectangle Formula and Trapezoid Formula[J].College Mathematics，2005，21(6):49-52.

[責任編輯：王瑋明]

A Remark on Mid-rectangle Formula

ZHOU Xua, DING Libinga, TUO Yunyia, WANG Chengweib
(a. School of Materials Science and Engineering; b. Department of Fundamental Courses, Beijing Institute of Fashion Technology, Beijing, 100029, China)

With algebraic accuracy of one degree, the mid-rectangle formula has low algebraic accuracy. For improvement, the paper first studies the asymptotic behavior of the generalized mid-rectangle formula, and then obtains the corrected formula with algebraic accuracy of three degrees. After the numerical experiments, it shows that the new formula has greatly improved in its accuracy.

Mid-rectangle formula; Mediant; Asymptotic behavior; Algebraic accuracy

book=1,ebook=15

O 172.2

A

1671-4326(2010)01-0047-04

2009-09-21

北京市教育委員會科技發展計劃面上項目（KM201010012010）；北京服裝學院大學生訓練計劃項目（110901000801）

周 旭（1989—），男，江蘇揚州人，北京服裝學院材料科學與工程學院本科生；

丁麗兵（1988—），女，河北邢臺人，北京服裝學院材料科學與工程學院本科生；

庹云義（1986—），男，重慶彭水苗族土家族人，北京服裝學院材料科學與工程學院本科生；

王成偉（1962—），男，山東煙臺人，北京服裝學院基礎教學部副教授，碩士.