含能流的三比特伊辛自旋鏈中的基態糾纏

劉 丹

(大連民族學院理學院,遼寧大連 116605)

含能流的三比特伊辛自旋鏈中的基態糾纏

劉 丹

(大連民族學院理學院,遼寧大連 116605)

研究了含能流的三比特伊辛自旋鏈中的基態糾纏。在體系中引入能流后,磁場的變化將會導致系統進入能流相。基態糾纏在相變臨界點處發生突變,兩粒子之間的糾纏由于能量的流動而得到增強。關鍵詞:糾纏;能流;量子相變

量子糾纏在量子信息和量子計算領域有著非同一般的地位和作用。在最近的研究中,人們認識到對于許多量子多體系統的描述和理解,量子糾纏起到十分重要的作用,如超導[1]和量子相變[2]。在這些系統中,低維量子自旋系統,尤其是確切可解的一維量子自旋系統(自旋鏈)的研究已經引起了研究者的廣泛關注。自旋鏈是固態系統中的一種天然實現糾纏的方法,它不僅在量子傳輸中有很大的作用,而且表現出了非常豐富的糾纏特性。1983年,Haldane等人針對整數自旋的一維 Heisenberg鏈進行了研究[3-4],隨后越來越多的研究者投入到自旋鏈的理論和實驗探索中。在量子信息科學范疇內,人們研究了大量具有各種相互作用、自旋表示、各向異性的自旋鏈模型[5-7]。

由于一維量子自旋系統展示出許多反應量子本質的有趣現象,自旋鏈已經成為理論和實驗研究的熱點。許多與守恒定律相關的一維可積量子多體系統呈現出反常的無耗散輸運行為[8],已經證明在這些系統中能量的輸運(能流)與第一守恒定律緊密相關[9]。Antal和 Rácz等人提出了一種研究非平衡穩態 (系統的基態)的方法[10-11],通過在橫磁場伊辛自旋鏈系統中分別引入能流來研究非平衡穩態的量子性質,并考察能流對系統量子性質的影響,如長程關聯、相圖等。已有結果表明,在 XY自旋鏈中引入能流會對基態糾纏性質產生影響[12]。本文主要探討橫磁場伊辛自旋鏈系統的糾纏性質,通過引入能流,考察體系非平衡穩態的能譜和糾纏性質,同時考察能流所引起的量子糾纏和量子相變的變化。

1 含能流的伊辛模型

沿 Z方向橫磁場中伊辛自旋鏈的哈密頓量具有如下形式[10]:

此時,容易發現宏觀能流和系統哈密頓量是對易的,即 [JM,Hx,y]=0。目的是研究當自旋鏈含能流時的基態糾纏情況,因此需要構建一個等效哈密頓量,使該等效哈密頓量的本征態可能攜帶能流。而由宏觀能流算符與伊辛自旋鏈哈密頓量的對易性,能夠知道系統哈密頓量與能流算符具有一系列的共同本征態。因此,利用 Lagrange乘子法,通過將能流算符加到系統哈密頓量 H上的方法在系統中引入能流。而此時的等效哈密頓量的具體表達式為

式中,λ是拉氏乘子,它用來表示所引入的能流的強度。為了不失一般性,可以假設 h≥0和λ≥0。此時等效哈密頓量 H的任一本征態必定仍為哈密頓量 HI的定態,該本征態將可能攜帶由 JE給出的能流。這里主要研究 HI的攜帶能流的最低能級態。則哈密頓量 H的基態也就是 HI在零溫度時攜帶能流的非平衡穩態,最低能級為磁場 h和能流 J〈JE/N〉的函數。值得注意的是,H只是數學上構建的用來找到 HI非平衡態的另一平衡哈密頓量,系統仍在 HI控制下演化。

2 哈密頓量的能譜

為了簡化討論,這里只討論簡單的由三個比特構成的鏈狀系統。由于 JE和 HI對易,可以利用對角化 HI的方法對角化 H,得到的能流態為 HI的定態。

將等效哈密頓量對角化,即可得到其能譜為

從三比特伊辛自旋鏈的等效哈密頓量的能譜能夠看出,本征值 E1,E2,E3和 E4與λ無關,而能級 E5—E8都為λ的函數。這就是說,當自旋鏈處于 E5,E6,E7和 E8之中的任一能級時,能量會流動。另外,當λ=0時,能級 E5,E7及 E6,E8是簡并的,即 E5=E7,E6=E8。當λ≠0時,即在自旋鏈中引入能流后,這種能級簡并現象將消除。對比所有能級,很容易發現對于不同 h和λ,E1或者E5可能為最小值,即最低能級。

E1隨 h的變化曲線和不同λ時 E5的變化如圖1。可以發現,對于某些 h和λ,E1和 E5存在能級交錯,這時系統發生量子相變,由無能流相進入能流相。能級交錯點可表示為當λ減小時,對應于能級交錯的 h會增大。利用

圖 1 隨磁場 h變化,能級 E1(實線)和 E5在λ(虛線)取不同值時的變化

3 基態糾纏

在研究基態糾纏時,我們采用多重熵積度量方案[13](multiple entropy measures,MEMS)來度量糾纏。對于三比特體系,單比特的約化密度矩陣的 von Neumann熵積即相當于考慮了單個比特與另外兩個比特之間的糾纏關系,因此只需計算單比特熵積即可。已經證明[13],MEMS定義下的GHZ(Greenberger-Horne-Zeilinger)類糾纏態的單粒子熵積為1,W(Werner)類糾纏態的單粒子熵積為 0.774。

對于不同 h和λ,可得出系統的可能基態。對于 E1,H的本征態為而對于 E5,基態波函數為

利用MEMS度量方案,可求出 φ1,φ5的糾纏度。波函數 φ1的糾纏度為

對于本征態 φ5,很容易看出這是一個W態,因此它的糾纏度值為 0.774。

如上所述,當λ》1/3時,系統基態能級可能會出現能級交錯,如果λ≤1/3時,則不會出現能級交錯。因此,本文主要討論前一種情況。當λ≤1/3時,E1是基態能級,因此 φ1為基態。當λ》1/3時,基態存在兩個不同的量子相,即無能流相 (h《hc)和能流相 (h》hc)。量子相變臨界點的磁場為 hc=2(2 3λ-1)/(3λ2-1)。在無能流相,本征態 φ1為基態,能流 J=〈JE/N〉=0。當磁場 h超過它的臨界值 hc時,基態從 φ1跳躍到 φ5而進入能流相,〈JE/N〉=3h/3。這里以λ為例進行討論,此時相變臨界點的磁場為 h

c=2。基態的糾纏變化如圖2,在能流相,糾纏度恒為 0.774。也就是說,在臨界點 hc=2,基態的糾纏會隨磁場 h的變化而出現突變,這意味著能流的引入增大了兩比特的糾纏程度。

圖2 λ=時自旋鏈基態糾纏隨磁場 h的變化曲線

4 結 論

本文在橫磁場三比特伊辛自旋鏈中引入能流,然后詳細研究這個模型的基態糾纏。證明了能流的引入導致了在λ》1/3情況下出現量子相變。當磁場超過它的臨界點時,系統基態進入能流相,能量開始流動,從無能流相進入能流相,糾纏基態躍變為W態。

[1]T INKHAM M. Introduction to superconducitivity[M]. New York:McGraw-Hill,1996.

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[12]L IU Dan,ZHANG Yong,L IU Yang,et al.Entanglement of the ground state in an isotropic three-qubit transverse XY chain with energy current[J].Chinese PhysicsLetters,2007,24:8-10.

[13]L IU Dan,ZHAO Xin,LONG Guilu.Extremal entangled four-qubit pure states with respect to multiple entropymeasures[J].Communications in Theoretical Physics,2008,49(2):329-332.

(責任編輯 鄒永紅)

Ground-state Entanglement in a Three-qubit Ising Cha in with an Energy Current

L iu Dan
(College of Science,Dalian NationalitiesUniversity,Dalian Liaoning 116605,China)

The ground-state entanglement in a three-qubit Ising chain with an energy current is studied.The system will enter the energy current phase due to changes in the magnetic field, after an energy current is introduced into the system.And the ground-state entanglement varies suddenly at the critical point of phase transition.The entanglement between two particles is enhanced due to the energy current.

entanglement;energy current;quantum phase transition

book=9,ebook=230

O413.1

A

1009-315X(2010)05-0446-03

2010-06-13

遼寧省教育廳高等學校科研項目計劃資助項目 (2008130);中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(DC10040119)。

劉丹 (1979-),女,湖南益陽人,講師,博士,主要從事量子光學與計算研究。