《新課標(biāo)》中的直線斜率

李云龍

（湖南省永州市第二中學(xué)，湖南 永州 425000）

《新課標(biāo)》中的直線斜率

李云龍

（湖南省永州市第二中學(xué)，湖南 永州 425000）

直線的傾斜角和直線的斜率一樣，都是刻畫直線的傾斜程度的量，直線的傾斜角側(cè)重于直觀形象，直線的斜率則側(cè)重于數(shù)量關(guān)系。直線的斜率為進(jìn)一步研究直線奠定了基礎(chǔ)，是《新課標(biāo)》后繼內(nèi)容（直線的位置關(guān)系、直線方程）展開的主線。特別是過兩點(diǎn)的斜率公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，因此必須熟練掌握求直線的斜率的各種方法與技巧。運(yùn)用新數(shù)學(xué)形式的豐富內(nèi)涵解決問題，很多問題在結(jié)構(gòu)上與斜率公式相似，可以用斜率解題。

新課標(biāo); 斜率; 角系數(shù); 坡度; 數(shù)形結(jié)合

1 斜率－名稱定義

斜率，亦稱“角系數(shù)”，表示一條直線相對(duì)于橫坐標(biāo)軸的傾斜程度。一條直線與某平面直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)軸正半軸方向的夾角的正切值即該直線相對(duì)于該坐標(biāo)系的斜率。

圖1 斜率

如果直線與x軸互相垂直，直角的正切值無窮大，故此直線不存在斜率。

對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b，k即該函數(shù)圖像的斜率。

對(duì)于任意函數(shù)上任意一點(diǎn)，其斜率等于其切線與x軸正方向的夾角，即tanα。

2 斜率－重要性

我們可以看到斜率，它是中學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)非常重要的概念。為什么說它重要，下面我們可以從以下幾個(gè)方面來看：

第一個(gè)方面，從課標(biāo)的這個(gè)角度，我們可以知道在義務(wù)教育階段，我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，它的幾何意義表示為一條直線，一次項(xiàng)的系數(shù)就是直線的斜率，只不過當(dāng)直線與X軸垂直的時(shí)候無法表示。雖然沒有明確給出斜率這個(gè)名詞，但實(shí)際上思想已經(jīng)滲透到其中。在高中階段對(duì)必修一以及還有必修二當(dāng)中都討論了有關(guān)直線問題，選修一還有選修二也都提到了與直線相關(guān)的一些問題。上述列舉的內(nèi)容，實(shí)際上都涉及到了斜率的概念，因此可以說斜率這個(gè)概念是學(xué)生逐漸積淀下來的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念之一。

第二個(gè)方面，從數(shù)學(xué)的視角，我們可以從以下四個(gè)角度來理解如何刻畫一條直線相對(duì)于直角坐標(biāo)系中X軸的傾斜程度。

圖2 直線的傾斜程度

首先就是從實(shí)際意義看，斜率就是我們所說的坡度，是高度的平均變化率，用坡度來刻劃道路的傾斜程度，也就是用坡面的切直高度和水平長度的比，相當(dāng)于在水平方向移動(dòng)一千米，在切直方向上升或下降的數(shù)值，這個(gè)比值實(shí)際上就表示了坡度的大小。這樣的例子實(shí)際上很多，比如樓梯及屋頂?shù)钠露鹊鹊取Ｆ浯危瑥膬A斜角的正切值來看；還有就是從向量看，是直線向上方向的向量與X軸方向上的單位向量的夾角；最后是從導(dǎo)數(shù)這個(gè)視角來再次認(rèn)識(shí)斜率的概念，這里實(shí)際上就是直線的瞬時(shí)變化率。認(rèn)識(shí)斜率概念不僅僅是對(duì)今后的學(xué)習(xí)起著很重要的作用，而且對(duì)今后學(xué)習(xí)的一些數(shù)學(xué)的重要的解題的方法，也是非常有幫助的。

第三個(gè)方面，從教材這個(gè)視角看。（1）從大綱來看，教材在處理直線的斜率這一部分知識(shí)的時(shí)候，首先講直線的傾斜角，然后再講直線的斜率，之后再來引入經(jīng)過直線上的兩點(diǎn)的斜率公式的推導(dǎo)；從新課程標(biāo)準(zhǔn)來看，可以看到人教版A版的教材是先講直線的傾斜角，然后再講直線的斜率，只不過在處理上，是以問題的提出的形式來說。首先是過點(diǎn)P可以做無數(shù)條直線，那么它都經(jīng)過點(diǎn)P，于是組成了一個(gè)直線束，這些直線的區(qū)別在哪兒呢，容易看出它們的傾斜程度都不同，那么如何刻畫這些直線的傾斜程度呢，以直線L與x軸相交時(shí)，以x軸作為一個(gè)基準(zhǔn)，x軸的走向與直線l向上的方向之間所成的角α定義為直線L的傾斜角。之后討論了傾斜角的取值范圍，然后提出日常生活中與傾斜程度有關(guān)的量，讓學(xué)生們來自己舉例子，比如身高與前進(jìn)量的比；再比如說進(jìn)二升三與進(jìn)二升二去比較，那前者就會(huì)更陡一些。如果用傾斜角這個(gè)概念，那么我們會(huì)看到坡度實(shí)際上就是傾斜角α的正切值，它就刻畫了直線的傾斜程度，這里要特別強(qiáng)調(diào)的是傾斜角不是90O的直線都有斜率。由于傾斜角不同，直線的斜率不同，因此可以用傾斜角表示直線的傾斜程度，然后引導(dǎo)同學(xué)們?nèi)ヌ剿魅绾斡眠^直線上的兩個(gè)點(diǎn)來推導(dǎo)有關(guān)直線的斜率公式，同樣在這里牽扯到有關(guān)的傾斜角是0度到90O、以及傾斜角是90O、還有90O到180O不同取值范圍的斜率的表達(dá)形式。再來看人教版的必修四，在這里再次提到了直線的斜率的概念，但只不過是在總復(fù)習(xí)題B組當(dāng)中涉及到有關(guān)斜率的提法，此時(shí)用向量的方式來再次提到斜率公式的引進(jìn)。

3 斜率-學(xué)習(xí)時(shí)的注意點(diǎn)

（1）顧名思義，“斜率”就是“傾斜的程度”。過去我們?cè)趯W(xué)習(xí)解直角三角形時(shí)，教科書上就說過：斜坡坡面的平面直角坐標(biāo)系

圖3 平面直角坐標(biāo)系

切直高度h與水平寬度l的比值i叫做坡度；如果把坡面與水平面的夾角α叫做坡度，那么；坡度越大α角越大坡面越陡，所以i=tgα可以反映坡面傾斜的程度?，F(xiàn)在我們學(xué)習(xí)的斜率k，等于所對(duì)應(yīng)的直線（有無數(shù)條，它們彼此平行）的傾斜角（只有一個(gè)）α的正切，可以反映這樣的直線對(duì)于x軸傾斜的程度。實(shí)際上，“斜率”的概念與工程問題中的“坡度”是一致的。

（2）解析幾何中，要通過點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程來研究直線通過坐標(biāo)計(jì)算求得，使方程形式上較為簡單。如果只用傾斜角一個(gè)概念，那么它在實(shí)際上相當(dāng)于反正切函數(shù)值arctgk，難于直接通過坐標(biāo)計(jì)算求得，并使方程形式變得復(fù)雜。

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)，每一條直線都有唯一的傾斜角，但不是每一條直線都有斜率，傾斜角是90°的直線（即x軸的垂線）沒有斜率。在今后的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常要對(duì)直線是否有斜率分情況進(jìn)行討論。

4 斜率－曲線的斜率

曲線的變化趨勢(shì)仍可以用過曲線上一點(diǎn)的直線的斜率來描述。當(dāng)過曲線一點(diǎn)的切線向右下方時(shí)，斜率就為負(fù)值了。

4.1用于證明不等式

例1已知a、b,m ∈R+,且a＜b,求證：

解 如圖4，∵0 ＜a＜b,∴點(diǎn)P（b,a）在第一象限且必位于直線y=x的下方。

圖4 連線的斜率

又∵m＞0,∴點(diǎn)M（-m,-m）在第三象限且必在y=x上，連結(jié)OP、PM，則

∵直線MP的傾斜角大于直線OP的傾斜角，

人們對(duì)一類事物的認(rèn)識(shí)往往是從這類事物的個(gè)體開始的，通過某些個(gè)例的認(rèn)識(shí)與研究，逐漸積累對(duì)這類事物的了解，不斷形成對(duì)這類事物總體的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，掌握規(guī)律，形成共識(shí)，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由局部到整體，由實(shí)踐到理論，這種認(rèn)識(shí)事物的過程是特殊到一般認(rèn)識(shí)過程。但這并不是目的,還需要用理論指導(dǎo)實(shí)踐，用所得到的特點(diǎn)和規(guī)律解決這類事物中的新問題。

4.2用于求點(diǎn)共線問題

分析 如果三點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，則直線AB的斜率與直線BC的斜率相等。

解 由于三點(diǎn)A、B、C所在直線不可能垂直于x軸，因此設(shè)直線AB、BC的斜率為KAB、KBC。

由斜率公式得：

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，能夠遷移并廣泛應(yīng)用于相關(guān)學(xué)科和社會(huì)生活中，因此，對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查必然要與數(shù)學(xué)知識(shí)的考查結(jié)合進(jìn)行。

4.3用于求函數(shù)最值

圖5 兩點(diǎn)間的連線斜率

評(píng)析 對(duì)于給條件的多元函數(shù)最值值問題，若能將已知條件和所求代數(shù)式賦予恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，充分利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，往往能化難為易，化繁為簡，同時(shí)要注意題目所給方程的隱含條件對(duì)解題的影響。

4.4用于比較大小

分析 該題從特殊值和常規(guī)方法都不容易找到解題的捷徑，但仔細(xì)分析其結(jié)構(gòu)具備特點(diǎn)，由此聯(lián)想到利用斜率進(jìn)行求解。

解 作出函數(shù)?（x）=log2（x+1）的大致圖象，由圖6知，曲線上各點(diǎn)處切線的斜率隨x的增大而減小，

圖6 函數(shù)的圖像

評(píng)析 此題巧妙利用斜率公式，借助數(shù)形結(jié)合直觀求解，收到事半功倍的效果。

總結(jié)：函數(shù)圖象為研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中問題提供一種直觀方法，用數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題，函數(shù)的圖象是溝通“數(shù)”與“形”的一個(gè)重要橋梁，應(yīng)用函數(shù)圖象法解題往往具有直觀易懂、運(yùn)算量小的優(yōu)點(diǎn)，但用圖象法求變量的取值范圍時(shí)，要特別注意端點(diǎn)值的取舍這一特殊情況。

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面?！皵?shù)”與“形”兩者之間并非是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系。在一維空間，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在二維空間，實(shí)數(shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。進(jìn)而可以使函數(shù)解析式與函數(shù)的圖象、方程與曲線建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究。這種解決數(shù)學(xué)問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，即是數(shù)形結(jié)合的思想。

(責(zé)任編校:劉志壯)

O123.1

A

1673-2219（2010）04-0024-04

2010－01－10

李云龍（1963－），男，永州人，中級(jí)，本科，主要研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)《新課標(biāo)》。