Boussinesq類方程描述有限沙壩地形Bragg反射的性能比較

張俊，張日向，張永剛

（1. 大連理工大學海岸及近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116023；2. 海軍大連艦艇學院軍事海洋系，遼寧 大連 116018）

Boussinesq類方程描述有限沙壩地形Bragg反射的性能比較

張俊1，張日向1，張永剛2

（1. 大連理工大學海岸及近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116023；2. 海軍大連艦艇學院軍事海洋系，遼寧 大連 116018）

利用Boussinesq方程，采用線性攝動展開法，求解波浪正向通過有限沙壩地形的一階反射波解，研究比較Boussinesq類方程描述沙壩地形對波浪的反射作用的性能。通過研究反射系數并與勢流理論結果及實驗結果對比，發現：鄒志利的高階方程、張永剛及Madsen的方程適用的水深范圍較廣，而Nwogu和Peregrine的方程僅在共振點附近有效；當入射波的波長為沙壩波長兩倍時，反射波產生共振效應（即Bragg 反射），反射系數與沙壩振幅和水深的比值以及地形中沙壩的條數成正比；相對勢流理論的共振時的反射系數，以張永剛為代表的一系列Boussinesq方程色散精度越高，適用水深范圍越廣，而高階方程適用的水深很淺。

Boussinesq類方程；有限沙壩；線性攝動展開；一階反射波解； Bragg 反射

Boussinesq方程能夠用于模擬表面重力波傳播過程中的折射、繞射、反射及淺化，非線性作用等現象。為改善經典Boussinesq方程的色散性和非線性，許多科學工作者提出了一系列改善色散性的技術和高階方程，形成Boussinesq類方程[1]。致力于改善線性色散性具有代表性的是張永剛等[2]采用不同的兩個水深層水平速度變量組合導出的新型Boussinesq方程，選擇方程中的速度變量，該方程代表一系列不同型式的Boussinesq方程，例如Peregrine[3]、Madsen[4]及Nwogu[5]的方程。對于高階方程，有代表性的有Madsen等[6]精確到的方程及鄒志利[7]適應任意海底地形的非線性和色散性精確到的方程。

近海岸附近通常存在數條周期變化的呈一定間距的規則沙壩。關于沙壩的形成機理及其與波浪的相互作用，最先是二戰盟軍諾曼底登陸時提出該課題，Keulegan通過實驗發現平底沙灘上，在長期的正弦波浪入射下，會沿著波浪破碎線形成一些周期的沙壩[8]。Davies[9]基于勢流理論，利用線性攝動展開法求解得波浪通過有限正弦沙壩地形的遠場理論波解，發現當入射波的波長為沙壩波長的兩倍時，反射波將會發生共振，即Bragg 反射，并給出反射波共振時的反射系數公式。該結論隨后由Heathershaw[10]及Davies[11]的實驗所證實，并引發了人們利用人造沙壩來保護岸線的思路。

由于近岸通常是淺水條件，Boussinesq方程具有較好的適應性。本文利用Bossinesq類方程中的幾個代表方程，忽略底部摩擦及波浪傳播過程中的能量損失，采用線性攝動展開法求解出沙壩地形引起的反射波解，給出Bragg反射發生時的反射系數公式。將上述Boussinesq類方程描述Bragg反射的結果與Davies 勢流理論結果及Heathershaw的實驗結果作對比，發現不同Boussinesq方程描述沙壩對波浪的反射效應的性能有差異，為選用Bossinesq方程研究Bragg反射提供理論依據。

1 有限沙壩地形

圖1 有限沙壩的輪廓圖Fig. 1 Profile of finite sandbar topography

2 Boussinesq類方程中的代表方程

張永剛等[2]采用兩個水深層水平速度變量組合導出的新型Boussinesq方程的一階線性形式如下：

鄒志利[7]適用于任意海底地形的新型高階方程，方程的色散性近似到O(μ4)階，其一維線性形式如下：

3 Bragg反射問題求解

以張永剛等的Boussinesq方程為例，采用攝動法求解波浪通過有限沙壩地形的反射波解。

零階方程組:

一階方程組:

零階方程組(3.1)描述平底時波浪的傳播；一階方程組(3.2)反映緩慢變化地形對波浪傳播的作用。

3.1 零階方程的波解

同時有：

3.2 一階方程的波解

3.2.1 一階方程傅立葉變換（變量x） 由傅立葉變換定義，方程組(3.2)變換為：

聯立方程組,消去uα1、uβ1，有：

式(3.9?3.10)中：

對方程(3.10)進行傅立葉逆變換，得到一階波面升高：

3.2.2 無窮積分 無窮積分式(3.13)可記為：

式(3.14)中各項關于變量λ的無窮積分被積表達式可表示為（C=x或者和Qiλ分別5次和7次多項式。該類積分可以通過圍道積分來實現。的三個實根將對應沙壩地形上的周期波解，而虛根對非傳播態的波解有貢獻。由于非傳播態波解隨傳播距離快速衰減，這里不予考慮。利用留數定理有[13]，C＞0時，有：

可以證明，C＜0時，有：

式(3.16)證明從略。

根據留數定義，有：

給出x＜0側的反射波波面升高如下：

定義反射系數為反射波波幅與入射波波幅比值，得到反射系數為：

同理，利用鄒志利的高階方程求解出描述有限沙壩Bragg反射的反射系數公式，形式同上，結果略。

4 結果分析與驗證

由式(3.20)及(3.21)可見：反射系數和沙壩振幅同水深的比值成正比；入射波與沙壩波長滿足時，反射波發生共振，此時，反射系數與沙壩地形包含單位沙壩條數成正比。

Davies[9]給出水平海床上含有數條小波幅的沙壩時的反射系數公式：

圖2給出本文由不同形式的Boussinesq方程求解的有限沙壩共振系數（式(3.21)）與相對水深的變化關系，并與式(4.2)的Davies結果對比。圖中假設，地形中的沙壩條數m=10，入射波長等于兩倍沙壩波長。

由圖2可見，Davies勢流理論求解的反射波發生共振時的反射系數隨相對水深增大而減小，相對水深達到0.6時，反射系數接近零。相對勢流理論的結果，本文選用的以張永剛等人的方程為代表的Boussinesq方程，線性頻散精度越高，在描述Bragg反射時適用相對水深范圍越大：Peregine方程在0.15倍波長水深范圍內與勢流理論結果誤差控制在5%，隨相對水深增大，反射系數相對勢流理論結果偏小；誤差控制在5%時，Madsen方程適用相對水深范圍為0.25，Nwogu方程達到0.33，張永剛等的方程能達到0.47，且三者的反射系數均隨相對水深增大而偏大；而本文選用的高階方程雖然色散精度達到0(μ)4，但描述Bragg 反射的反射系數時，適用水深很淺，相對水深在0.1以內時誤差控制在3%，隨相對水深增大，相對勢流理論結果偏大。

圖2 發生共振時，本文選用的五個Boussinseq方程計算的反射系數與Davies勢流理論的結果的比較Fig. 2 Comparison of reflection coefficient when oscillation

為驗證Davies[9]勢流理論結果，Heathershaw[10]在Coastal Engineering Research Center, Virginia進行了物理模型試驗。在水槽中設置振幅b=0.05m,條數m=10，波長的剛性正弦沙壩，沙壩與水深比值。通過調整入射波波長L，在范圍內給出實測反射系數。

圖3給出在該實驗參數下，本文選用的Boussinesq方程計算結果(式(3.20))與由式(4.1)計算的Davies[9]理論結果以及Heathershaw[10]實驗結果的關于反射系數隨的變化關系的對比。

由圖3可見，在該實驗參數下，2k/ kd在(0,1.2)范圍內（即入射波長與沙壩波長滿足L＞1.67Ld）時，由鄒志利、張永剛等及Madsen方程計算的結果與Davies勢流理論得到的結果一致吻合，但隨著入射波長減小，即相對水深增大，Boussinesq方程的結果呈周期振蕩并逐漸增大，與實際經驗背離；Peregrine和Nwogu的方程僅在共振點附近與勢流理論比較吻合，淺水時結果偏小，而在水深較大時結果振蕩并偏大，與實際不符。需要指出的是，該實驗中,共振點處的相對水深為，高階方程的計算結果偏大，而Peregrine的結果偏小，這與圖2的結論是吻合的。另外，入射波長與沙壩波長滿足時，鄒志利、張永剛等及Madsen的方程的結果與試驗結果趨勢一致，基本吻合，但是在共振點處Boussinesq方程的結果偏大。

圖3 本文選用的五個Boussinesq方程的計算結果與Davies理論結果及Heathershaw實驗結果的對比Fig. 3 Comparison of Davies’ Potential Theory result and Heathershaw’s experiment result about Reflection Coefficient with several Boussinesq equations.

5 結 論

本文采用線性攝動展開法，導出基于一組Boussinesq類方程的波浪通過含有數條沙壩地形時的反射波面升高，通過研究其反射系數并與勢流理論結果及實驗結果對比發現：

1、當入射波的波長等于沙壩波長的兩倍時，反射波發生Bragg反射；此時，反射系數與沙壩振幅和水深的比值、沙壩地形中沙壩的條數成正比。

2、Boussinesq方程描述沙壩地形對波浪的反射作用時，本文所選取的五個方程中鄒志利的高階方程、張永剛及Madsen的方程適用的水深范圍較廣，而Nwogu和Peregrine的方程僅在共振點附近有效；當時，高階方程適用水深范圍最淺（0.1倍波長水深范圍內相對勢流理論的反射系數誤差控制在2%），其他方程色散精度越高適用水深范圍越廣（反射系數誤差控制在5%時，Peregrine、Madsen、Nwogu及張永剛等的方程適用相對水深范圍分別為0.15，0.25，0.33，0.47）。

附錄A

致謝：感謝威爾士大學的A G Davies教授提供相關文獻資料及關于圍道積分的建議及大連理工大學倪漢根教授的關于圍道積分的幫助。

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Comparison among several Boussinesq-type equations about the character of describing Bragg resonance

ZHANG Jun1, ZHANG Ri-xiang1, ZHANG Yong-gang2
（1. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China；2. Department of Military Oceanography, Dalian Naval Academy, Dalian 116018, China）

In order to make a comparison of the character of the Boussinesq-type equations when these equations are used to describe the Bragg resonance, this paper utilized Linear Perturbation Method on the basis of several types of Boussinesq equations to derive the first order reflection wave solution. Through focusing on the reflection coefficient and making comparisons with both Potential flow theory and experiment data, it demonstrated that Zou Zhili’s higher order equation, the equations of Zhang Yonggang and Madsen are appropriate for a wide range of relative water depth,by contrast, Nwogu’s and Peregrine’s are only available in the vicinity of L=2Ld. For the special cases, where the Bragg Resonance occurs, the reflection coefficient is proportional to both the ratio of amplitude of sandbar to the water depth and to the number of bars; in addition, for these Boussinesq-type equations interpreted by Zhang Yonggang, the one with higher precision of the linear dispersion is applicable to wider range of relative water depth, while the higher order equations of Zou Zhili are only appropriate for the relatively shallow water.

Boussinesq-type equations; finite sandbar; linear perturbation method; first order reflection wave;Bragg resonance

TV139.2

A

1001-6932(2010)02-0295-07

2009-09-14；

2009-10-19

張俊(1984－)，男，碩士，主要從事近岸水動力研究。電子郵箱：zhangjun.dlut@gmail.com