試論數學危機與數學的發展①

宋述剛 謝作喜

(長江大學信息與數學學院,湖北 荊州 434023)

試論數學危機與數學的發展①

宋述剛 謝作喜

(長江大學信息與數學學院,湖北 荊州 434023)

數學這門學科始終圍繞著數與形而展開。數學的發展并非一帆風順,而是處處充滿了危機。數學在其發展過程中經歷了三次大的危機。探究這三次數學危機的歷史根源、思想背景,分析危機的解決給數學帶來的巨大促進作用,對了解數學這門學科的發展脈絡、領略數學的旖旎風光與思想方法無疑具有十分重要的意義。

數學危機;畢達哥拉斯學派;微積分;集合論

一、引言

數學這門學科始終圍繞著數與形而展開。在人類文明的早期,人們開始認識自然數、整數、有理數,正方形、三角形、一般直線形以及特殊的曲線形如圓、橢圓、拋物線等。數與形已有初步的結合。隨著文明的進一步發展,人們又認識了無理數、復數乃至于一般抽象集合的元素,而對形的認識,則經歷了從可度量的曲線形到一般的圖形或空間點集。代數與幾何有了更密切的結合。數與形經歷了從有限到無限的過程,最終歸結為集合,使集合論成為現代數學的基礎。

數學的發展并非一帆風順,而是處處充滿了危機。所謂危機,是事物的一種已激化的非解決不可的矛盾,它深刻影響著事物的運動、變化與發展。數學雖然以精確嚴密著稱,但矛盾無處不在,例如正數與負數,有理數與無理數,有限與無限,連續與間斷,微分與積分,等等。當數學中的矛盾激化到影響數學的基礎時,即產生數學危機。每消除、解決一次數學危機,都會極大地促進數學的飛躍與發展。

數學在其發展過程中,經歷了三次大的危機。探究這三次數學危機的歷史根源、思想背景,分析危機的解決給數學帶來的巨大促進作用,對我們了解數學這門學科的發展脈絡、領略數學的旖旎風光與思想方法無疑具有十分重要的意義。

二、第一次數學危機

古希臘文明在人類文明史上具有承前啟后的重要作用。古希臘文明可追溯到公元前2000年以前,公元前600年到公元600年為其鼎盛時期。數學,特別是幾何學在古希臘文明早期還孕育在哲學的母體之內。古希臘有一個著名的畢達哥拉斯學派,他們重視對自然與社會的理性研究,把幾何、算術、天文、音樂稱為四藝,追求宇宙的和諧及其規律性。這個學派的哲學觀是“萬物皆數”,他們認為整數是上帝創造的,整數與整數之比是人創造的,世間萬事萬物都可以歸結為整數或整數之比。顯然,他們的認識局限于有理數范圍之內。

畢達哥拉斯學派對數學作出了杰出貢獻,成就之一是發現了勾股定理(中國古代發現此定理較之更早)。在西方這一定理被稱為畢達哥拉斯定理,也被認為是最美的數學定理之一。傳說為了慶祝此發現,畢達哥拉斯學派曾舉辦過“百牛宴”。但正是由于此定理的發現,該學派的一名成員希帕索斯(Hippasus)發現了另一個驚人的事實:兩直角邊都為1的直角三角形的斜邊不能歸結為整數之比!這可反證如下:假設斜邊為,其中m,n互素,則m,n至少有一個是奇數。由勾股定理,有

可得m2=2n2,則m必為偶數,將m=2k代入,又得n2=2k2,則n也必為偶數,矛盾。有可能畢達哥拉斯本人就發現了這一事實,但因它違背了該學派的哲學信條,使得畢達哥拉斯保持了沉默。不幸的是,希帕索斯卻因為這一發現,被同伴拋進了大海,成為史上第一個為科學獻身的人。

萬物皆數在幾何上表現為任意兩條線段都可以公度。希帕索斯發現直角邊都為1的直角三角形的斜邊與直角邊不可公度,也就是發現了無理數。由于畢達哥拉斯學派的巨大影響以及幾何學在古希臘的崇高地位,無理數的發現在當時的古希臘學術界產生了極大震動,從而形成了第一次數學危機。

第一次數學危機揭示了無理數的存在,涉及到了無限與無限過程,遺憾的是,古希臘人并沒有馬上認可無理數,而是將其歸結為幾何量之比,對無限也是敬而遠之。大約在一個世紀之后,才由畢達哥拉斯學派成員的學生歐多克斯(Eudoxus)提出新的比例理論而暫時消除危機。盡管這樣,第一次數學危機給人們警示:直覺與經驗并不可靠。只有通過推理證明了的結論才是可靠的。從此,希臘的哲學家、數學家紛紛對宇宙展開理性的研究與討論:伊利亞學派的芝諾(Zeno)提出了四個著名的悖論;德謨克里特(Democritus)建立了原子論;特別是稍晚的亞里士多德(Aristotle),被稱為古希臘百科全書式的人物,創立了古典邏輯學。這些理論極大地促進了演繹數學的發展。受柏拉圖(Plato)、亞里士多德的影響,歐幾里得(Euclid)首次在數學中運用公理方法撰寫了《幾何原本》等數學著作,建立了歐氏幾何學,最終古希臘成就了初等數學的基本體系。

三、第二次數學危機

隨著中世紀的結束與文藝復興運動的興起,歐洲近代數學蓬勃發展。17世紀對數的發明促進計算技術的改進,解析幾何的誕生帶來數學方法的革命,天文學、力學、運動學等自然科學以及資本主義工業生產提出了大量諸如求曲線的切線、運動物體的瞬時速度、函數極值、曲邊形面積等初等數學不能解決的實際問題。為了解決這些問題,法國數學家笛卡兒(R.Descartes),費爾馬(Fermat),德國天文學家、數學家開普勒(Kepler),意大利數學家卡瓦列里(Cavalieri),英國數學家巴羅(Barrow)等都進行了研究。終于在17世紀后期,由英國科學家牛頓(Isaac Newton)與德國哲學家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)創立了微積分理論。

微積分的創立,是數學史也是科學史上的里程碑。一方面,它在數學上的進一步發展形成了近現代的分析數學,包括微分方程、復變函數、微分幾何實變函數、泛函分析等。另一方面,它極大地促進了物理學、化學、天文學等自然科學與工程技術的發展。但是,微積分創立之初,其基礎很不嚴格。以牛頓求導數(牛頓稱為“流數”)的“首末比方法”為例:

為了求y=xn的導數,首先設x變為x+ο,其中ο是x的增量,牛頓稱為“瞬”,ο≠0,則函數增量為…,函數增量與自變量增量構成所謂的“最初比”:nxn-1++…,最后,設增量ο消失,即令ο= 0,得“最終比”即導數為nxn-1。

上述自變量的增量ο到底是0,還是不為0,引起了極大爭論,最令人震撼的抨擊來自英國哲學家伯克萊(Berkeley)主教,他于1734年發表了小冊子《分析學家,或致一位不信神的數學家》,攻擊牛頓在流數論中關于無窮小量的混亂假設,同時,對萊布尼茲的微積分也竭力非難,說其中的正確結論是從錯誤的原理出發通過錯誤的抵消所獲得。雖然伯克萊的攻擊主要是出于宗教的動機——保衛基督教教義,但他的許多評判確實切中要害,客觀上揭露了早期微積分的邏輯缺陷。這些對微積分基礎的懷疑批評甚至攻擊,造成了數學史上的第二次危機。

第二次數學危機的出現,也涉及到了無窮與無窮過程。它刺激了牛頓、萊布尼茲之后的數學家們為建立微積分的嚴格基礎而努力。18～19世紀,歐洲的著名數學家如法國的達朗貝爾(J.d’Alembert)、柯西(Cauchy),德國的魏爾斯特拉斯(Weierstrass)、康托爾(Cantor)為分析的嚴格化作出了杰出貢獻。他們給出了函數、極限的近代概念以及無窮小分析。到19世紀末,形成了建立在實數理論之上的極限理論,為微積分理論奠定了堅實的基礎。此外,微積分理論也發展得更加豐富多彩。

四、第三次數學危機

19世紀末20世紀初,以康托爾集合論的建立為標志,數學步入現代數學時期。時至今日,集合論已成為現代數學的基礎。

集合論的建立并非一帆風順,康托爾在研究三角級數的“唯一性點集”時,自然而然地碰到實數“集合”的子集問題。這引導他去考慮一般的集合理論。研究發現,有理數的集合都是可以“數”的,而全體實數則不然,這說明無理數、超越數要比有理數多得多。但康托爾卻連一個具體的超越數也未列舉出來。此外,集合論中也發現了一些矛盾,這引起當時的一部分數學家的懷疑甚至憤怒。雖然有很多數學家如戴德金(Dedekind)、希爾伯特(Hilbert)的支持,但柏林學派的領袖人物克洛耐克(Kronecker)極力反對集合論,認為只有他研究的數論與代數才可靠。集合論遭遇的冷遇與壓力,導致康托爾晚年精神抑郁,1918年1月6日病死在精神病醫院。

分析的嚴格化與集合論的創立,一度使數學家對數學基礎變得大為放心。法國大數學家龐加萊(Poincare)在1900年巴黎國際數學家大會上樂觀地宣稱:“現在我們可以說,完全的嚴格性已經達到了?！笨稍捯粑绰?集合論中的悖論就產生了。事實上,康托爾早先就發現了所謂的“最大集合悖論”,但沒有引起人們的重視。其后,英國哲學家、數學家羅素(Russell)發現了更為驚人的“理發師悖論”,用集合的語言描述為:將集合分為兩類,第一類是集合不是它本身的元素;第二類是集合是它本身的元素?？紤]全體第一類集合的集合A,問A到底屬于哪一類?如果A∈A,根據定義,A的元素不該屬于A,即A?A;反過來,如果A?A,同樣根據定義,不是它自身元素的集合應該屬于第一類,即A∈A。這是一個邏輯矛盾,它僅用了三個集合論最基本的概念:元素、屬于、集合。后來,羅素又用理發師悖論來形象地說明:一個鄉村理發師,宣稱專門給那些不自己刮臉的人刮臉。請問:這個理發師該不該給自己刮臉?

羅素的理發師悖論雖然簡單明了,卻產生了極大的震動,形成了數學史上的第三次危機。法國數學家弗雷格(Frege)在其當時剛剛完成的數學著作《算術基礎》中寫道:“一個科學家不會碰到比這更令人尷尬的事情了,即在一項工作完成的時候它的基礎卻在崩潰,當這部著作即將付印之際,羅素先生的一封信就使我處于這種境地?！?/p>

為了消除悖論,數學家們首先考慮將康托爾所謂的“樸素集合論”加以公理化。1908年策梅洛(Zermelo)提出了第一個集合論公理系統,后經弗蘭克爾(Fraenkel)改進,形成了現在常用的策梅洛—弗蘭克爾公理系統(簡稱ZF系統),它包括外延公理、空集公理、并集公理、冪集公理、子集公理、無限公理、選擇公理、代換公理、正則公理等。此公理體系可以證明:任何集A都有A?A,一切集合所組成的“集合”不是集合,從而避免了羅素悖論。但是,策梅洛—弗蘭克爾公理系統的無矛盾性至今未被證明。任何公理系統都要求具備獨立性、相容性(無矛盾性)、完備性。

第三次數學危機引起了哲學家、邏輯學家和數學家的共同關注,用數學的方法研究邏輯以及用邏輯的方法研究數學基礎成為20世紀的一個發展方向,形成了數理邏輯學、數學哲學等數學基礎方面的現代學科。由于觀念的不同,關于數學基礎有三大流派:以羅素為代表的邏輯主義、以布勞爾(Brouwer)為代表的直覺主義和以希爾伯特為代表的形式主義。對于公理系統的相容性,1931年,奧地利數學家哥德爾(Godel)證明了“哥德爾不完全性定理”,說明一個包含自然數算術的公理系統的相容性在該系統內是不可證明的。至此,第三次數學危機逐步淡化。

按照一定的特征,數學這門科學可分為四個部分_:

如果說基礎數學與應用數學是開疆拓域的話,數學史與數學基礎則是打掃清理戰場,并為前者提供思想方法的部分。

[1]胡作玄.第三次數學危機[M].成都:四川人民出版社,1985.

[2]朱梧賈.幾何基礎與數學基礎[M].沈陽:遼寧教育出版社,1987.

[3]張錦文.公理集合論導引[M].北京:科學出版社,1991.

[4]李文林.數學史教程[M].北京:高等教育出版社,2002.

責任編輯 強 琛 E-mail:qiangchen42@163.com

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2010-06-09

宋述剛(1961—),男,湖北荊門人,教授,主要從事函數論及數學史研究。

① 本文屬長江大學教學研究項目(J Y2009013)產出論文。