數值分析中牛頓迭代法的引入方法探討

王 霞，張啟虎

（鄭州輕工業學院 數學與信息科學系，河南 鄭州 450002）

數值分析中牛頓迭代法的引入方法探討

王 霞，張啟虎

（鄭州輕工業學院 數學與信息科學系，河南 鄭州 450002）

數值分析中牛頓迭代法是求解非線性方程的基本方法．與一般教材上牛頓迭代法的引入方法相比，用積分方程引入牛頓迭代法更能體現數值計算中的“近似”和“構造”思想，便于進一步介紹牛頓法的各種改進形式，有利于學生“創新”算法能力的培養和創新意識的形成．

非線性方程；牛頓迭代法；數值分析；效率指數；方程求根

數值分析是理工科學生必學的一門重要課程．數值分析課程要求學生掌握具體數值計算的方法與理論，強調算法的實際應用．數值分析課程的學生群體可分為兩類：一類是信息與計算科學等專業的理科學生，其學習目標是“研究”和“創新”算法；另一類是工科學生，其主要學習目標是掌握算法的使用．這兩個群體的學習目標不同，教學內容及側重點也應有所區別．

科學研究和工程計算中常常遇到求解非線性方程（組）的問題．數值分析教材中，牛頓迭代法（CN法）[1―11]是求解非線性方程

的一種基本方法，其迭代格式為

(2)式二次收斂于方程(1)的單根，因其收斂速度快，所以牛頓迭代法被廣泛應用于非線性方程的求解．牛頓迭代法的引入方法直接關系到學生對此內容的理解和應用，因此，本文主要探討牛頓迭代法的引入方法．

1 牛頓迭代法的常見引入方法

牛頓迭代法是“非線性方程”這一章的重要一節，由于與其他章節的聯系很小，所以在不同數值分析教材中該章所處位置也不同．文[1―4]將該內容放在“數值積分與數值微分”之后，文[5―11]將其放在“數值積分與數值微分”之前．

牛頓迭代法的常見引入方法可概括為以下4種：

方法1 直接給出迭代函數的具體形式[1―2]．文[1]中，直接選取迭代函數，其對應的迭代格式為(2)式；文[2]直接給出了(2)式．

方法2 利用泰勒公式導入牛頓迭代法[3―8]，其基本思路是：設方程(1)的近似根為 xn，將函數 f(x)在xn處作泰勒展開，有

用前面兩項近似表示f(x)，得近似線性方程

設 f′(xn)≠ 0，令其解 x=xn+1，則得(2)式．

方法3 利用校正技術引入牛頓迭代法[9]，基本思路是：設方程(1)的近似根為xn，其校正值 xn+1=xn+Δx能更好地滿足方程(1)，即 f(xn+1)≈ 0.將方程(1)的左端用 f(x)在 xn處的微分 f(xn)+ f′(xn)Δx來代替，則有 f(xn)+ f′(xn)Δ x=0，于是

整理可得(2)式．

方法 4 引入一般的帶待定函數的迭代函數，通過提高迭代法的收斂階確定待定函數[10―11]，其基本思路是：由方程(1)總可以構造迭代函數

其中k(x)為待定函數，因為

且|φ′(x)|在根α附近越小其局部收斂速度越快，故令φ′(α)=0，從而k (α)=1/f′(α)，f ′(α)≠0，于是得到迭代函數x=φ(x)=x ? f(x)/f′(x)，從而得到(2)式．

對于以上的4種方法，方法1直接給出迭代函數，適用于使用“算法”的學生，而對于“研究”和“創新”算法的學生來說是不適用的；方法2利用泰勒公式引入牛頓迭代法，利于激發學生“創新”算法的興趣；方法3一步步逼近問題的解，能夠使學生深刻體會逐步逼近的數學思想；方法4能使學生更清楚地理解收斂階的概念．

2 牛頓迭代法的積分引入法及牛頓迭代法的改進

2.1 牛頓迭代法的積分引入法

下面給出一種新的引入牛頓迭代法的方法[12]，此方法的引入需要以數值積分的知識作為基礎，也就是說要把“數值積分與數值微分”這一章放在“非線性方程的數值解法”之前講授．

令α是光滑函數 f(x)的零點，考慮方程 f(x)=0的數值解．由牛頓定理，顯然有

將(4)式右端的積分值用數值積分中的左矩形公式近似代替，并令x=α，可得0 ≈ f(xn)+(α ? xn)f′(xn)，從而解出α≈ xn? f(xn)f′(xn).令 α=xn+1，即可得到

這樣，由積分方程和牛頓定理，利用數值積分中的左矩形公式就引入了牛頓法．這樣的引入方法會帶給學生這樣一個思考：左矩形公式（或右矩形公式）是數值積分的一個簡單的代替，其精度較低，因此得到的牛頓迭代法的收斂階也較低，如果用精度較高的梯形公式近似代替(4)右端的積分項，能否得到更高階的迭代公式呢?

2.2 牛頓迭代法的改進

其中 n=0，1，2，… ．(5)式的迭代需要隱式計算，這會給求解帶來很大麻煩，為避免隱式計算，下面給出預估–校正的方法，即

其中 n=0，1，2，… ．可以證明(6)式為三階收斂，它是對牛頓迭代法的改進，其效率指數為，大于牛頓法的效率指數與(6)式對應的方法稱為梯形牛頓法或代數平均牛頓法（AN法）[12]．

沿著此思路，學生自然能想到兩個數的平均不只代數平均．這時，教師可介紹調和平均牛頓法、幾何平均牛頓法等．

用 f′(xn)和 f′(zn)的調和平均值代替 f′(xn)，可得到調和平均牛頓法（HN法）[13]，即

用 f′(xn)和 f′(zn)的幾何平均值代替 f′(xn)，可得到幾何平均牛頓法（GN法）[14]，即

與一般教材上牛頓迭代法的引入方法相比，用積分方程引入牛頓迭代法更能體現數值計算中的“近似”和“構造”思想，便于進一步介紹牛頓法的各種改進形式，有利于學生“創新”算法能力的培養和創新意識的形成．

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〔責任編輯 張繼金〕

G642，O241.7

A

1006-5261(2010)05-0073-02

2010-01-14

河南省教育廳自然科學基金項目（2008-755-65）；鄭州輕工業學院教改項目

王霞（1970―），女，河南開封人，副教授．