推廣偽Smarandache函數的初等性質

郭守朋

(西安電子科技大學 理學院，陜西 西安 710071)

推廣偽Smarandache函數的初等性質

郭守朋

(西安電子科技大學 理學院，陜西 西安 710071)

用初等方法進一步研究了推廣的偽Smarandache函數的初等性質，得到了幾個復雜的函數值形式，為進一步研究推廣Smarandache函數其他性質打下了基礎。

Smarandache函數;偽Smarandache函婁;素數;同余式

0 引言

David Gorski在文獻［1］中提出了著名的偽Smarandache的函數，對任意正整數n，偽Smarandache函數Z(n)定義為：

文獻［2］推廣了偽Smarandache函數，對任意的正整數n，推廣偽Smarandache函數Z3(n)定義為

本文進一步研究了Z3(n)的初等性質，分別對n=2lp，n=2lpk，n=2l×3k，l，k∈N*，p＞3為素數，給出了Z3(n)的函數值形式。對于函數方程正整數解［3-4］，均值及漸進公式［5］的研究也是有意義的。

1 Z3(n)的進一步研究

引理1 對任意正整數k，素數p，若Z3(kp)=m，則m必為lp-2，lp-1，lp，l∈N*三種情形。

證明 因為Z3(n)≥1，當p=2，3時，引理顯然成立。當p＞3是素數，由p|m(m+1)(m+2)/6，則p必整除m，m+1，m+2，其中之一，因此m必有lp-2，lp-1，lp，l∈N*三種情形。證畢。

(1)當n=2lp，l∈N*，p＞3為素數，設Z3(2lp)=m，考慮m=gp-2，m=gp-1，m=gp三種情況及g的取值有：

(a)若g=1，m=p-2，此時僅有m+1=p-1為偶數，由2lp|(p-2)(p-1)p/6，則有2l+1|p-1，用同余式表述即為，當p-1≡0mod(2l+1)時，Z3(2lp)=p-2;若m=p-1，由2lp|(p-1)p(p+1)/6，則有2l|p-1或者2l|p+1，即當p±1≡0mod(2l)，但p-1≠0mod(2l+1)時，Z3(2lp)=p-1;若m=p，由2lp|p(p+1)(p+ 2)/6，則有p+1≡0modl+1(此時p+1≡0mod(2l)，應有Z3(2lp)=p-1。

(b)同理，若g=2，m=2p-2時，由2lp|(2p-2)(2p-1)2p/6，則2l-1|p-1，即當p-1≡0mod(2，且p-1≠0mod(2l)時，Z3(2lp)=2p-2;m≠2p-1，這是因為若m=2p-1，則2lp|(2p-1)2p(2p+1)/6，這是不可能的;若m=2p，由2lp|2p(2p+1)(2p+2)/6，則2l-1|p+1，即p+1≡0mod(2l-1)，且p+1≠0mod(2l)。

(c)若g=2k，k＞1，k∈N，由2lp|(2kp-2)(2kp-1)2kp/6，則2l/2k，由Z3(n)的最小性，取2k=2l，此時，Z3(2lp)=2lp-2。

(d)若g＞3為奇數，m=gp-2，由2lp|(gp-2)(gp-1)gp/6，有2l+1|gp-1;若m=gp-1，由2lp|(gp-1)gp(gp+1)/6，則2l-1|gp-1或者2l|gp+1;若m=gp，由2lp|gp(gp+1)(gp+2)/6，則2l+1|gp+1，亦有2l|gp+1，此時應有m=gp-1。同理，若g＞3為奇數，m=2gp-2，此時有2l-1|gp-1;若m=2gp，g＞3為奇數，此時有2l-1|gp+1。至此m已沒有其它可能的情形。綜上，有

(2)同理，當n=2lpk，l∈N*，k∈N*，p＞3為素數時，有

當n=2l×3k，l，k∈N*時，考慮到(2)式及文獻［2］中性質2(文獻［2］中［4］式)有

2 結語

本文在文獻［2］的基礎上，進一步研究推廣偽Smarandache函數Z3(n)的初等性質，給出了幾個復雜的函數值形式。

［1］ Gorskid D.The pseudo Smarandache function［J］.Smarandache Notions Journal，2002，13：140-149.

［2］ 郭守明.推廣偽Smarandache函數［J］.貴州大學學報：自然科學版，2010，27(1)：6-7.

［3］ 張文鵬.關于F.Smarandache函數的兩個問題［J］.西北大學學報：自然科學版，2008，38(2)：173-176.

［4］ 薛西峰.一類包含Smarandache對偶函數方程的求解［J］.陜西師范大學學報：自然科學版，2007，35(4)：9-11.［5］ 徐哲峰.關于Smarandache函數的值分布［J］.數學學報：中文版，2006，49(5)：1009-1012.

責任編輯：鐘 聲

Elemetary properties on the generalization of the pseudo Smarandache function

GUO Shou-peng
(College of Science，Xidian University，Xi＇an 710071，China)

Elementary properties on the generalization of the pseudo Smarandache function are further studied by using elementary methods and several complex forms of function value are obtained，which provides a good foundation for the further study on other properties of the generalization of the pseudo Smarandache function.

Smarandache function;pseudo Smarandache function;prime;congruence

O156.4

A

1009-3907(2010)08-0004-02

2010-05-10

國家自然科學基金資助項目［10671155］

郭守朋(1986-)，男，安徽亳州人，碩士，主要從事數論、變分不等式及優化方面研究。