一類新弱化緩沖算子的構(gòu)造

劉永菲，張輝，解忠誠(chéng)

(中國(guó)傳媒大學(xué)理工學(xué)部，北京100024)

1 引言

灰色系統(tǒng)的特色是研究“小樣本”與“貧信息”等不確定性問(wèn)題。因此充分開(kāi)發(fā)利用已占有的信息來(lái)挖掘系統(tǒng)本身固有的規(guī)律是灰色系統(tǒng)理論的基本準(zhǔn)則。我們可以通過(guò)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)來(lái)尋求因素之間或自身的變化規(guī)律。灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀系統(tǒng)的表象復(fù)雜、數(shù)據(jù)離亂，但它們總有自身的整體功能，必然蘊(yùn)藏某種內(nèi)在的規(guī)律，關(guān)鍵是如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)挖掘和利用它。在文獻(xiàn)［1-3］［6］中，劉思峰等學(xué)者提出了沖擊擾動(dòng)緩沖算子的概念，并構(gòu)造出一種得到較廣泛應(yīng)用的強(qiáng)化緩沖算子。本文在他們的工作的基礎(chǔ)上，又構(gòu)造出一類新弱化緩沖算子，從而推廣了緩沖算子的類型。

2 基本概念

定義2.1設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，若

(1)?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)＞0，則稱 X 為單調(diào)增長(zhǎng)序列。

(2)?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)＜0，則稱 X 為單調(diào)衰減序列。

(3)若，?k1，k2∈{2，3，…，n}，有 x(k1)-x(k1-1)＞0，x(k2)-x(k2-1)＜0，則稱 X 為振蕩序列。令，稱 M-m 為振蕩序列 X 的振幅。

定義2.2設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)算子D作用后所得到序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則稱 D 為序列算子。

對(duì)序列連續(xù)作用，可得二階算子，一直可以作用到r階算子，分別記為XD2，…，XDr。

公理2.1［4］(不動(dòng)點(diǎn)公理)設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則有x(n)d=x(n)。

公理2.2［4］(信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個(gè)數(shù)據(jù)x(k)(k=1，2，…，n)，都應(yīng)充分地參與算子作用的整個(gè)過(guò)程。

公理 2.3［4］(解析化與規(guī)范化公理)任意的 x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一個(gè)統(tǒng)一的 x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表達(dá)式表達(dá)。

滿足上述三公理的序列算子稱為緩沖算子，XD稱為緩沖序列。

定義2.3［5］設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列，緩沖序列XD比行為數(shù)據(jù)序列X的增長(zhǎng)速度(或衰減速度)放慢或振幅變小，則稱緩沖算子D為弱化算子。

定理1［5］(1)設(shè)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列，XD為緩沖序列，則D為弱化緩沖算子?x(k)≤x(k)d(k=1，2，…，n);

(2)設(shè)X為單調(diào)衰減序列，XD為緩沖序列，則D為弱化緩沖算子?x(k)≤x(k)d，(k=1，2，…，n);

(3)設(shè)X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為弱化緩沖算子，則

由定理1可知，單調(diào)增長(zhǎng)序列在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹;單調(diào)衰減序列在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮。

3 弱化緩沖算子的構(gòu)造

劉思峰等學(xué)者在其文獻(xiàn)［4］中構(gòu)造了下列弱化緩沖算子，設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令 XD1=(x(1)d1，…，x(n)d1)，其中

則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列，D1為弱化緩沖算子。

在弱化緩沖算子D1基礎(chǔ)上，我們給出一種新的弱化緩沖算子。

定理2 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)＞0，其中

令 XD2=(x(1)d2，…，x(n)d2)

則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，D2為弱化緩沖算子。

即D2滿足緩沖算子公理一。而對(duì)于緩沖算子公理二，公理三顯然也成立，故D2為緩沖算子。

下證D2為弱化緩沖算子。

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列時(shí)，由于

則有所以D2為弱化緩沖算子。

(2)當(dāng)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，因

所以D2為弱化緩沖算子。

(3)當(dāng)X為振蕩序列時(shí)，令

對(duì)任意的 i∈{1，2，…，n}有

故D2為弱化緩沖算子。

定理3 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)＞0，則

即弱化緩沖算子D2比弱化緩沖算子D1弱化能力更強(qiáng)。

證明:考慮

定理4 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)＞0，m為自然數(shù)。其中

令 XDm=(x(1)dm，…，x(n)dm)

則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，Dm為弱化緩沖算子。

即Dm滿足緩沖算子公理一。至于緩沖算子公理二，公理三顯然也成立，因而Dm為緩沖算子。

下證Dm為弱化緩沖算子

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列時(shí)，因?yàn)?/p>

則有

所以Dm為弱化緩沖算子。

(2)當(dāng)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，因?yàn)?/p>

所以Dm為弱化緩沖算子。

(3)當(dāng)X為振蕩序列時(shí)，令

對(duì)任意的 i∈{1，2，…，n}有

故Dm為弱化緩沖算子。

定理5 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)＞0，m為自然數(shù)，則

即弱化緩沖算子Dm+1比弱化緩沖算子Dm弱化能力更強(qiáng)。

證明:考慮

定理6 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)＞0，k≤l均為自然數(shù)，則

即弱化緩沖算子Dl比弱化緩沖算子Dk弱化能力更強(qiáng)。

證明:由定理5即得。

4 實(shí)例分析

以上海市國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)為例［7］，驗(yàn)證本文構(gòu)造的弱化緩沖算子在GM(1，1)模型預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。選取該市2002—2007年國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)(單位:萬(wàn)戶)作為原始數(shù)據(jù):

X=(420，432，633，803，957，1080)從原始數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，上海市上網(wǎng)用戶數(shù)增長(zhǎng)勢(shì)頭迅猛，增長(zhǎng)率分別為:2.857%，46.53%，26.856%，19.178%，12.85%，年平均增長(zhǎng)率為21.65%，顯然互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)不可能一直保持如此高的增長(zhǎng)率，因此直接用原始數(shù)據(jù)建模，預(yù)測(cè)結(jié)果將會(huì)與真實(shí)值出現(xiàn)很大偏差。觀察數(shù)據(jù)可以看出，原始序列前半部分增長(zhǎng)速度較快，后半部分增長(zhǎng)速度較慢，因此要進(jìn)行若干年后上網(wǎng)用戶數(shù)的預(yù)測(cè)，必須弱化其增長(zhǎng)趨勢(shì)，削弱沖擊擾動(dòng)因素的干擾，使得模型預(yù)測(cè)精度提高，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際情況相符合。

以2002—2006年數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，以2007年數(shù)據(jù)為模擬檢驗(yàn)數(shù)據(jù)。用D1和D2分別對(duì)原始序列進(jìn)行一階緩沖算子作用，得到一階緩沖序列如下:

顯然，弱化緩沖算子D2比弱化緩沖算子D1弱化能力更強(qiáng)。對(duì)原始序列及緩沖算子作用后的新序列分別建立GM(1，1)模型，得到的原始序列模擬值分別為:

經(jīng)計(jì)算得原序列平均相對(duì)誤差為5.22%;經(jīng)D1作用后序列的平均相對(duì)誤差為0.945%;經(jīng)D2作用后序列的平均相對(duì)誤差為0.08%，并預(yù)測(cè)2007年國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)為1032.9萬(wàn)戶?？梢钥闯?，經(jīng)弱化緩沖算子得到的序列都比直接建模的平均相對(duì)誤差小，其中經(jīng)D2作用后得到的弱化緩沖序列平均相對(duì)誤差最小。而2007年國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)用戶的真實(shí)值是1080萬(wàn)戶，相對(duì)于預(yù)測(cè)值1032.9萬(wàn)戶，誤差率為4.36%，顯然，在長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中，該預(yù)測(cè)精度會(huì)有所提升，如何適當(dāng)選擇Dm中的m值進(jìn)行建模及預(yù)測(cè)是接下來(lái)的研究重點(diǎn)。

5 結(jié)論

本文在已有的文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類新的弱化緩沖算子，對(duì)具有前半部分增長(zhǎng)速度較快，而后半部分增長(zhǎng)速度較慢特征的原始數(shù)據(jù)序列，用所構(gòu)造的緩沖算子能夠充分有效地消除原始數(shù)據(jù)序列中的沖擊擾動(dòng)因素的干擾，提高預(yù)測(cè)精度。

［1］劉思峰.沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)預(yù)測(cè)陷阱與緩沖算子［J］.華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，25(1):25-27.

［2］Liu Sifeng.The three axioms of buffer operator and their application［J］.The Journal of Grey System，1991，3(1):39-48.

［3］劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用(第三版)［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［4］黨耀國(guó)，劉思峰，劉斌，唐學(xué)文.關(guān)于弱化緩沖算子的研究［J］.中國(guó)管理科學(xué)，2004，12(2):108-111.

［5］黨耀國(guó)，劉斌，關(guān)葉青.關(guān)于強(qiáng)化緩沖算子的研究［J］.控制與決策，2005，20(12):1332-1336.

［6］謝乃明，劉思峰.強(qiáng)化緩沖算子的性質(zhì)與若干實(shí)用強(qiáng)化算子的構(gòu)造［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2006，4:9-10.

［7］上海統(tǒng)計(jì)局.上海統(tǒng)計(jì)年鑒［M］.上海:上海統(tǒng)計(jì)出版社，2008.