基于諧波平衡法的帶冠葉片接觸碰撞減振特性研究

盧緒祥, 黃樹紅, 劉正強, 李錄平, 鄧曉湖

(1.華中科技大學能源與動力工程學院,武漢430074;2.長沙理工大學能源與動力工程學院,長沙410114)

采用帶冠阻尼結構以及將葉片設計成不調頻葉片是目前提高汽輪機葉片可靠性最有效、最可行的技術之一.無論是長葉片或短葉片,采用帶冠阻尼結構已成為發展趨勢[1-3].但不同長度的帶冠葉片在工作狀態下所受到的作用力性質不同,葉片的變形情況差別較大,因此,帶冠阻尼結構的減振機理也不完全相同.目前,共有兩種類型的帶冠結構：一種是適用于中長葉片的緊配型結構,依靠摩擦阻尼減振,對該類結構的干摩擦阻尼減振機理的研究已逐漸趨于成熟[4-6];另一種是適用于中短葉片的間隙型結構,該類結構依靠碰撞阻尼減振,由于碰撞振動系統的強非線性,對該類結構減振機理的理論研究難度大,試驗成為主要研究手段,目前對其減振機理和減振效果的研究還處于初步探索階段,相關研究工作正逐步展開[7-10].

汽輪機帶冠葉片冠間的接觸碰撞運動非常復雜,具有典型的非線性特征,很難確定非線性項的函數關系,因此目前尚未得出物理概念明確的簡化模型,也難以形成實用的設計程序,這方面的研究并不深入,通常需進行一定簡化.李劍釗等[8]將冠間的接觸碰撞等效為有間隙的干摩擦阻尼模型,切向上采用庫侖摩擦力,但未考慮非線性阻尼力的作用.筆者將冠間接觸碰撞簡化為法向正壓力(與法向相對位移呈線性關系)和切向滯后滑移摩擦力共同作用的力學模型,建立了含間隙的等效彈簧-干摩擦阻尼模型,通過對其振動方程的響應求解,分析了相關結構參數對碰撞振動的影響,并與相關文獻得出的試驗結論進行對比,以驗證本文所提出模型的準確性.

1 帶冠葉片三自由度運動方程的建立

1.1 冠間接觸碰撞的力學模型

通常,整圈帶冠葉片冠間接觸碰撞的響應分析計算量大且比較復雜,而單個葉片或成組葉片的振動響應可以較全面地反映整圈葉片的特性,因此通常采用成組葉片(如兩葉片、三葉片組)結構系統進行理論分析或試驗研究[8-9,11].汽輪機自帶冠葉片冠間的接觸碰撞運動非常復雜,當冠間的相對位移大于冠間間隙值時,冠間的接觸碰撞起作用,此時冠間接觸面間產生斜面碰撞和滑移的聯合作用,在接觸面上,法向運動引起正壓力的變化,切向運動導致兩個表面處于粘著、滑動和脫離等狀態,具有典型的非線性特性.為便于研究,通常對冠間的接觸碰撞進行一定簡化,可將葉冠接觸階段看作是正壓力變化的宏觀滑移模型.

帶冠葉片冠間結構參數見圖1.設冠間接觸面間的切向相對運動為簡諧運動,相對振動可表示為：

式中：B為冠間穩態相對振動的幅值;ω為激振頻率;φ為相位差.

葉片主振動方向的穩態振動可表示為：

式中：A為葉片主振動的振幅.

圖1 冠間結構參數示意圖Fig.1 Schematic diagram of structu ral param eters betw een sh roud s

當葉冠接觸面發生碰撞接觸時,接觸面上的法向正壓力N是變化的,且為冠間法向相對位移的線性函數,可表示為：

式中：kh為彈性力學中的赫茲接觸剛度;α為冠間接觸角,即冠間接觸面與葉片振動方向的夾角;d為冠間接觸面間的法向間隙.

注意到接觸面相對振動與葉片主振動間的關系Δu=u sin α,則式(3)可變為：

假設冠間在接觸碰撞后一直處于粘著或滑移摩擦狀態,為簡化運算并較好地反映冠間阻尼特性和減振效果,通常對該運動狀態采用宏觀滯后滑移摩擦模型(圖2)進行研究.

圖2 正壓力變化時力與相對位移的遲滯回線Fig.2 Hysteretic loops of forces vs.relative displacements under variation of normal fo rce

冠間接觸碰撞的切向接觸力可表示為：

式中：μ為接觸面摩擦系數;k d為接觸面剪切剛度;θ為響應與力之間的相位差.

式(5)為分段函數,采用諧波平衡法(Harmonic Balance Method,簡稱HBM)將該非線性摩擦力線性化得：

同樣,對接觸面上的正壓力按照傅里葉級數展開可得：

式中：F k、F c是對F d進行諧波變換(傅里葉級數展開)時的系數項;P k、P c是對N進行諧波變換(傅里葉級數展開)時的系數項;f k、f c分別是F d的等效剛度和等效阻尼;pk、pc分別是N的等效剛度和等效阻尼.

綜合考慮冠間接觸面上的摩擦力和正壓力,并結合葉片切向振動的動力響應和方向,得到葉冠冠間接觸面產生的等效剛度和等效阻尼：

1.2 帶冠葉片三自由度的運動方程

運行實踐證明：汽輪機葉片需避免的最危險的共振振型有切向A型(主要是A0和A1型)、切向B0型振動;另外,汽輪機帶冠葉片碰撞減振結構通常適用于中短葉片[6].因此,可將汽輪機帶冠葉片簡化為三自由度集總參數模型(圖3).

圖3 阻尼葉片三自由度集總參數模型Fig.3 Three degree-of-freedom lumped-param eter modelof damped b lades

根據廣義坐標的Lagrange方程,可獲得反映帶冠葉片振動特性的三自由度運動方程：

式中：c1、c2和c3為葉片材料的阻尼系數;k1、k2和k3為剛度系數;F1、F2和F3分別為均布的汽流激振力在三集中質量上的分量.

2 帶冠葉片的模擬參數及數值求解

以長沙理工大學振動與噪聲實驗室汽輪機帶冠葉片減振實驗臺的葉片為研究對象.葉片的相關參數分別為：葉片長度l=400mm,密度 ρ=7 850 kg/m3,葉片寬度b=50 mm,葉片厚度h=10 mm,彈性模量E=2.05×105M Pa,泊松比υ=0.3,阻尼比 ζ=0.02,切向/法向剛度比k d/k h=2(1-υ)/(2-υ),各激振力F1=F 2=2F3=100/3 N.

由運動方程可知,各集中質量塊上的廣義坐標量是相互耦合的,很難用解析方法進行求解,因此,對該模型的運動微分方程采用具有良好計算精度和穩定性的龍格-庫塔法進行數值求解.在求解方程時,先賦予一初始B值,求出等效剛度和等效阻尼,再代入式(15)求解,得出系統的響應幅值,該幅值與B相比,經過反復迭代,直到精度誤差達到要求為止.通過數值計算,得到不同冠間結構參數(如冠間間隙d、冠間接觸角α和冠間法向接觸剛度kh等)對碰撞減振特性的影響規律.

3 數值模擬結果與分析

3.1 碰撞對帶冠葉片振動特性的影響

汽輪機帶冠葉片無接觸碰撞作用時,葉片作自由振動.當存在冠間相互接觸碰撞作用時,由于冠間的相互約束作用和碰撞阻尼作用,使得帶冠葉片的共振頻率和振幅都發生改變.

圖4為在有、無碰撞作用時葉片不同節點處的頻率響應曲線,其中 d=0.1 mm,α=π/6,k h=108N/m.由圖4可知,在無冠間接觸碰撞作用時,該葉片的一階振動頻率為 39 H z,二階振動頻率為 91 H z.當存在冠間接觸碰撞作用時,帶冠葉片的最大共振幅值約為自由振動時的1/10,說明汽輪機帶冠葉片冠間的碰撞減振結構具有很好的減振效果,且對一階彎曲振型的減振效果明顯好于對二階彎曲振型的減振效果.同時,由于冠間的相互約束作用,使得共振頻率右移,且出現了A型振動向B型振動的轉換,這種由于阻尼結構約束作用而引起的共振頻率的偏移是設計和分析中需要解決的問題.這些結果均與文獻[7-10]的試驗結果及帶冠葉片實踐應用中所得出的規律一致,表明本文所選用的計算模型合理、計算結果可信.

圖4 有、無碰撞作用時阻尼葉片振動的頻率響應曲線Fig.4 Frequency response cu rves of damped blade vibration in case of with and without impact actions

圖5所示為在 d=0.2 mm 、α=π/6、k h=108N/m的條件下,激振力頻率 f分別為 93 Hz、95 H z和97 H z時葉冠的相圖和幅頻圖.由圖5可知,由于冠間接觸碰撞的非線性影響,葉冠的位移響應出現了不同于激振力頻率的頻譜成分,且隨著激振力頻率的變化,出現了倍頻和分頻現象,甚至出現了具有多頻頻帶的混沌現象.這些結論和規律與文獻[8]和[10]的結論一致,表明本文提出的模型可用來計算自帶冠葉片冠間接觸碰撞的非線性振動響應.

圖5 不同激振力頻率時葉冠的振動特性圖Fig.5 Diagrams of vib ration characteristics of the blade＇s shroud under differen t frequencies of ex citing forces

3.2 冠間結構參數對葉片碰撞減振特性的影響

由式(13)～式(15)可知,葉冠冠間接觸面產生的等效剛度和等效阻尼與冠間結構參數密切相關,如冠間間隙d、冠間接觸角α和冠間法向接觸剛度k h等,這些結構參數的改變必定會影響帶冠葉片不同節點處的動力響應,進而影響帶冠葉片的碰撞減振效果.通過分析這些結構參數對葉片碰撞減振特性的影響,可為帶冠葉片阻尼結構的優化設計提供一定的參考作用.

3.2.1 冠間間隙對碰撞減振特性的影響

當激振力頻率為50 H z時,帶冠葉片葉頂節點處的振動能量隨冠間間隙d的變化示于圖6(a).由圖6(a)可知,隨著冠間間隙的減小,葉冠的振動能量逐漸降低,即葉片的振動響應逐漸減小,因此冠間間隙越小,帶冠葉片冠間碰撞的減振效果越好;在冠間間隙較小時,葉冠振動能量的變化較為復雜,呈現先升高后降低的趨勢,說明葉片的振動情況在冠間間隙較小時變得復雜.在實際應用中,依靠碰撞減振的帶冠葉片冠間存在非常小的間隙,可選擇一個合理的冠間間隙,使帶冠葉片達到最佳的碰撞減振效果,如本例的冠間間隙可選 0.15 mm,這與文獻[10]的結論一致,充分說明所提出的冠間接觸碰撞力學模型是正確的,對葉片阻尼結構的優化設計具有一定的參考價值.

目前,汽輪機帶冠葉片通常都設計為不調頻葉片,因此需要知道葉片處于共振時的振動情況.利用本文的計算模型,在不同冠間間隙d下,通過改變激振力頻率,可獲得帶冠葉片處于共振時葉頂節點處最大振動能量的變化(圖6(b)).由圖6(b)可知,隨著冠間間隙的減小,葉冠處于一階共振時的最大振動能量逐漸減小,在冠間間隙達到某一值(0.4 mm)后,最大振動能量的減小有所變緩.而隨著冠間間隙的增大,葉冠處于二階振型時的最大共振能量呈現先增大后減小的變化趨勢,且在冠間間隙達到一定值(0.8 mm)后,葉冠間不發生碰撞,此時振動能量不再發生變化.由圖6(b)還可以看出,冠間接觸碰撞對一階振動的減振效果好于對二階振動的減振效果,二階振動僅在冠間間隙較小時才能取得較好的減振效果.

圖6 冠間間隙對碰撞振動特性的影響Fig.6 Effects of c learancesbetw een shrouds on im pact vibration characteristics

3.2.2 冠間接觸角對碰撞減振特性的影響

圖7給出了在冠間間隙為0.1 mm、冠間法向接觸剛度為1×108N/m時,不同激振力頻率下帶冠葉片處于共振時葉頂節點處的最大振動能量隨冠間接觸角的變化.由圖7可知,葉冠的最大振動能量隨著冠間接觸角的增大而減小,但在接觸角達到一定值后其變化趨緩.由式(8)～式(14)可知,這主要是由于小的冠間接觸角對等效剛度和等效阻尼的影響很大,因此較大的冠間接觸角對冠間接觸碰撞在切向振動上的減振效果較好.但在實際應用中,冠間接觸屬于面接觸,冠間接觸角的大小不僅影響接觸面的大小,而且對軸向振動也有一定影響,因此在進行葉片阻尼結構設計時,應綜合考慮這兩方面的影響,以確定使冠間接觸碰撞具有更佳減振效果的冠間接觸角.

圖7 阻尼葉片共振時最大振動能量隨冠間接觸角的變化Fig.7 M axim um vib ration energy vs.contacting angles between shrouds w hen damped b lade vib rates in resonance

3.2.3 冠間法向接觸剛度對碰撞減振特性的影響

圖8給出了在冠間間隙為0.1 mm、冠間接觸角α=30°時,不同激振力頻率下帶冠葉片處于共振時葉頂節點處的最大振動能量隨冠間法向接觸剛度的變化.由圖8可知,葉冠的最大振動能量隨著冠間法向接觸剛度的增大而減小,但減小的幅度逐漸趨緩,在冠間法向接觸剛度較小時變化較大,此結論與文獻[11]中的結論基本一致.因此,較大的冠間法向接觸剛度可使葉片冠間接觸碰撞達到很好的減振效果,在進行帶冠葉片碰撞減振阻尼結構設計時,可通過選用適當的材料和對接觸面進行適當處理來盡可能地增大冠間接觸剛度,從而使葉片的振動能量響應幅值達到最小.

圖8 阻尼葉片共振時最大振動能量隨冠間法向接觸剛度的變化Fig.8 M aximum vibration energy vs.normal contact rigidity betw een sh roudsw hen dam ped blade vibrates in resonan ce

4 結 論

(1)將帶冠葉片冠間接觸面法向正壓力看作法向相對位移的線性函數,切向摩擦力采用滯后滑移模型,通過諧波平衡法建立了具有間隙的冠間接觸碰撞的等效彈簧-干摩擦阻尼模型,并得到反映汽輪機帶冠葉片主要危險振型的三自由度計算模型,用于計算具有冠間接觸碰撞的帶冠葉片的非線性響應.

(2)汽輪機帶冠葉片因冠間的接觸碰撞而具有很好的減振效果,但由于冠間接觸碰撞的非線性特征,葉冠位移響應出現了不同于激振力頻率的頻譜成分和共振頻率右移等現象,且隨著激振力頻率的變化,出現了倍頻和分頻現象,甚至出現了多頻頻帶的混沌現象,因此也引起帶冠葉片發生共振的不確定性.這些結果與相關文獻的試驗結果及帶冠葉片實踐應用中所得出的規律一致,表明本文模型計算結果的合理性.

(3)隨著冠間間隙的減小,帶冠葉片冠間碰撞減振效果變好,但在小間隙時,振動情況變得復雜,冠間接觸碰撞對一階振動的減振效果好于對二階振動的減振效果;較大的冠間接觸角對冠間接觸碰撞在切向振動上的減振效果較好;較大的冠間法向接觸剛度可使葉片冠間接觸碰撞達到很好的減振效果.這些結論與相關文獻所得出的結論相符,說明本文提出的冠間接觸碰撞力學模型可用于解決接觸碰撞問題,為葉片阻尼結構的優化設計提供參考依據.

[1] 陸龍云.汽輪機葉片振動研究及其進展[J].動力工程,1997,17(1)：20-25,59.LU Longyun.Progress in the research on vibration of steam turbine blades[J].Journalof Power Engineering,1997,17(1)：20-25,59.

[2] KANEKO Yasutomo,MORI Kazushi,OHYAMA H iroharu.Development and verification of 3 000 rpm 48 inch integral shroud blade for steam turbine[J].JSME Internationa l Journal,2006,49(2)：205-211.

[3] 李錄平,晉風華,李杰,等.透平葉片幾種減振結構的阻尼特性實驗研究[J].動力工程,2004,24(6)：793-797.LILuping,JIN Fenghua,LIJie,eta l.Experimental research on damping characteristics of four kinds of vibration absorbing constructions for turbineblades[J].Journal of Power Engineering,2004,24(6)：793-797.

[4] RICH TER C H.Structural design of modern steam turbine blades using ADINA[J].Computers and Structures,2003,81(8)：919-927.

[5] 謝永慧,張狄.汽輪機阻尼圍帶長葉片振動特性研究[J].中國電機工程學報,2005,25(18)：86-90.XIE Yonghui,ZHANG Di.Numericalmodel for vibration characteristics of steam turbine b lade with damped shroud[J].Proceedings of the CSEE,2005,25(18)：86-90.

[6] 陳璐璐,馬艷紅,楊鑫,等.帶干摩擦阻尼結構葉片振動響應試驗[J].航空動力學報,2008,23(9)：1647-1653.CHEN Lu lu,MA Yanhong,YANG Xin,eta l.Experiment of vibration and response of b lade with d ry friction structure[J].Journal of Aerospace Power,2008,23(9)：1647-1653.

[7] 徐大懋,李錄平,須根發,等.自帶冠葉片碰撞減振研究[J].電力科學與技術學報,2007,22(1)：1-6.XU Damao,LI Luping,XU Genfa,etal.Research on im pact damping of integrally shrouded blades[J].Journal of Electric Power Science and Technology,2007,22(1)：1-6.

[8] 李劍釗,張文平,李國鑌.帶冠葉片碰撞減振機理研究[J].熱能動力工程,2008,23(6)：601-605.LI Jianzhao,ZHANG Wenping,LI Guobin.Research on im pact damping mechanism of shrouded blades[J].Journalof Engineering for Thermal Energy and Power,2008,23(6)：601-605.

[9] 武新華,李衛軍.自帶冠葉片冠間接觸碰撞減振研究[J].汽輪機技術,2005,47(1)：41-44.WU Xinhua,LIWeijun.Research on damping of contact im paction of blades＇tips[J].Turbine Technology,2005,47(1)：41-44.

[10] 李衛軍,王莉,武新華,等.自帶冠葉片減振實驗分析[J].振動工程學報,2004,17(增刊1)：174-177.LIWeijun,WANG Li,WU Xinhua,et a l.Experiment investigation of blade tip＇s dam ping vibration[J].Journalo f V ibration Engineering,2004,17(z1)：174-177.

[11] 單穎春,朱梓根,劉獻棟.帶緣板摩擦阻尼器葉片的非線性振動響應研究[J].振動、測試與診斷,2006,26(2)：126-133.SHAN Yingchun,ZHU Zigen,LIU Xiandong.Investigation on non linear responses o f blades with friction dam per[J].Journa l of Vibration,Measurement&Diagnosis,2006,26(2)：126-133.