大學生數學建模的認知差異研究

龐 坤，李秀林，李明振

（1.武警學院 數學教研室，河北 廊坊 065000；2.南京大學 哲學系，江蘇 南京 210097）

大學生數學建模的認知差異研究

龐 坤1，李秀林1，李明振2

（1.武警學院 數學教研室，河北 廊坊 065000；2.南京大學 哲學系，江蘇 南京 210097）

運用口語報告分析方法和深度訪談方法，對數學建模競賽獲獎學生與未參賽學生數學建模的認知差異進行了研究，發現專家被試與新手被試在數學建模的問題表征、策略運用、思路特點、測試結果及解題效率等方面存在顯著差異.

數學建模；認知差異；口語報告分析

1 引言

英、美等國自二十世紀七十年代起,在研究生和本科階段開設了數學建模課程.我國許多高校自二十世紀八十年代中期起，開設了數學建模課程，也對數學建模課程與教學進行了較深入的研究，取得了一定成效，但效果并不令人滿意[1-6].究其主要原因之一在于，尚未開展大學生數學建模認知規律的研究，致使教學實施缺乏必要的心理學基礎.本文采用專家－新手研究范式，運用口語報告分析和深度訪談方法對不同水平學生數學建模的認知特點進行研究，試圖揭示不同學生數學建模的認知差異，旨在為科學實施數學建模教學提供心理學指導，提升數學建模教學效果.

2 方法

2.1 被試

選取西南大學和重慶師范大學數學系學生20名學生參加數學建?？谡Z報告測試.其中，參加數學建模競賽并獲獎的被試（專家）和未參加過數學建模競賽的被試（新手）各10人.

2.2 材料

依據口語報告測試時間與形式的特點和要求，擬形成由3個數學建模問題構成的測試材料（見附錄），前一個為練習題，后兩個為測試題.

2.3 程序

2.3.1 口語報告練習.練習指導語為：“請你大聲讀題，在解題過程中自己怎么想就怎么說，不用說為什么這樣做，但要將自己的思考過程大聲說出來，我進行錄音，以便知道你是如何做題的”.主試事先說明指導語要求，并以測試材料第一題進行口語報告示范，然后請被試用第二題作口語報告測試練習.如果被試在解題過程中發生停頓，則提示他（她）：“你在想什么？”“把你想的都說出來”，以使其出聲思考，提供及時、連續、完整的口語報告.

2.3.2 口語報告測試.在被試練習并適應數學建模口語報告測試后進行正式測試，時間長短不限.如果被試在數學建模過程中出現較長時間的停頓，主試就進行提醒或提問.被試做完試題（或放棄解決）后，主試記錄其所用時間，并及時要求被試回顧與敘述數學建模的思路與過程，對過程中的停頓和語義不詳、不清之處進行必要的提問與訪談.

2.3.3 資料處理與分析.施測完畢后，將每位被試的口語報告錄音材料整理成文本，并將文本與錄音、紙筆測試及提問與訪談記錄材料等內容進行反復核對和補充而形成被試數學建?？谡Z報告測試與訪談材料.然后從數學建模的問題表征、策略運用、思路、結果及效率等方面對每位被試數學建?？谡Z報告測試與訪談材料進行分析，并依專家被試與新手被試分類統計，考察兩組被試數學建模的認知差異.

3 結果

3.1 專家被試和新手被試在數學建模問題表征方面存在差異

基于口語報告測試與訪談材料，對專家被試和新手被試數學建模問題的表征方式、表征廣度、表征策略進行分析與統計，結果見表1.

由表1可知，專家被試和新手被試的數學建模問題表征方式存在差異，兩組被試雖均進行了符號表征和方法表征，但專家被試使用機理表征的題次數明顯多于新手被試；專家被試和新手被試的數學建模問題表征廣度存在極其顯著差異，專家被試傾向于采用多元表征，新手被試傾向于采用單一表征；專家被試和新手被試的數學建模問題表征策略存在顯著差異，專家被試傾向于運用循環表征策略；新手被試傾向于運用單向表征策略.

表1 專家被試與新手被試數學建模問題表征差異比較

3.2 專家被試和新手被試在數學建模策略運用方面存在差異

基于口語報告測試與訪談材料，對專家被試和新手被試在數學建模過程諸環節所用策略類型進行分析與統計，結果見表2.

表2 專家被試與新手被試數學建模策略差異比較

由表2可知，專家被試與新手被試在數學建模假設策略、數學模型構建策略、數學建模自我監控策略、數學建模調整策略等方面均存在顯著差異.專家被試傾向于采用平衡性假設策略，新手被試傾向于采用精確性假設策略，兩組被試在可行性假設策略運用方面沒有顯著差異；專家被試傾向于采用樣例類比構建策略，新手被試傾向于采用即時生成構建策略，兩組被試在模式識配構建策略運用方面沒有顯著差異；專家被試傾向于運用即時監控策略，新手被試傾向于運用回顧監控策略和選擇監控策略；專家被試傾向于運用假設調整策略和建模方法調整策略，新手被試傾向于運用模型求解調整策略.

3.3 專家被試和新手被試在數學建模思路特點、測試結果和解題效率方面存在差異

基于口語報告測試與訪談材料，對專家被試和新手被試數學建模思路特點和解題結果進行分析與統計，結果見表3.

由表3可知，專家被試和新手被試在數學建模思路特點和解題結果方面存在顯著差異.專家被試數學建模思路轉換人次多于新手被試，新手被試思路定勢人次顯著多于專家被試；專家被試獲得數學建模正確（合理）結果的題人次明顯多于新手被試，新手被試獲得錯誤（不合理）結果的題人次明顯多于專家組被試.綜而言之，專家被試數學建?？谡Z報告比較簡略，問題分析深入而透徹，建模思路快捷而靈活，對數學建模方法的使用表現為啟發搜索.新手被試數學建?？谡Z報告比較繁雜，問題分析淺表而模糊，建模思路遲緩而刻板，對數學建模方法的使用表現為盲目搜索.專家被試和新手被試在正確（合理）解決的數學建模問題上所花時間存在顯著差異，專家被試所用時間明顯少于新手被試所用時間.

表3 專家被試與新手被試數學建模思路特點及測試結果差異比較

4 結論

專家和新手在數學建模的問題表征、數學建模的策略運用、數學建模的思路特點及測試結果和效率等方面存在顯著差異：（1）在數學建模的問題表征方面：專家和新手均采用符號表征和方法表征，但專家更多地運用機理表征；專家傾向于采用多元表征，新手傾向于采用單一表征；專家傾向于運用循環表征策略，新手傾向于運用單向表征策略.（2）在數學建模策略運用方面：專家傾向于采用平衡性假設策略，新手傾向于采用精確性假設策略；專家傾向于采取樣例類比構建策略，新手傾向于采取即時生成構建策略；專家傾向于運用即時監控策略，新手傾向于運用回顧監控策略；專家傾向于運用假設調整策略和建模方法調整策略，新手傾向于運用模型求解調整策略.（3）在數學建模的思路特點、測試結果及效率方面：專家比新手較少思路定勢，思維較靈活，成功率和思考效率更高，而新手數學建?？谡Z報告比較繁雜，對問題的分析淺表而模糊，建模思路遲緩而刻板，對數學建模方法的使用表現為盲目搜索，思路定勢的次數和最終思路錯誤總次數顯著多于專家，即使解題成功，所花時間也較長，效率也較低.

〔1〕Werner Blum Peter L.Galbraith Hans-Wolfgang Henn.Mogens Niss.Modeling and Applications in Mathe-matics Education.[M]New ICMI Study Series VOL.10.Published under the auspices of the International Commission on Mathematical Instruction under the general editorship of Michele Artigue,President Bernard,R.Hodgson, Secretary-General 2006.

〔2〕李明振,龐坤,宋乃慶.認知彈性理論指導下的高師數學建模教學[J].數學教育學報，2007,16(1)：96-99.

〔3〕李明振,龐坤,宋乃慶.高師院校“數學建模”課程教學研究[J].西南師范大學學報(自然科學版), 2006,31(1):175-179.

〔4〕李明振,龐坤.高師院校“數學建?！闭n程教學中存在的問題與對策[J].西北師范大學學報(自然科學版),2006,42(4):109-113.

〔5〕李明振,龐坤.關于高師院校“數學建模”教材建設的思考與探索[J].數學教育學報，2006,15(1): 64-66.

〔6〕但琦.大學生數學建模水平及其教學策略研究[D].博士論文,2007，12.

附錄

數學建?？谡Z報告測試材料：

1.市場上有一種兩個規格的魚，10cm長的魚，每條3元；13cm長的魚，每條6元.買哪個規格的魚合算？

2.國際乒聯希望通過增加乒乓球的飛行時間提高比賽的觀賞性.為此，自2000年悉尼奧運會起，用直徑為40毫米的“大”球取代直徑為38毫米的“小”球進行比賽，“大”球的質量與“小”球的質量相同.試分析“大”球從球臺一端飛往另一端所需時間的增加情況.

3.建立兩城市間電話作用次數的數學模型.

G642.3

A

1673-260X（2010）09-0192-03

河北省教育廳科研資助計劃項目：大學生數學建模的認知與教學研究(SZ090387)