萬有引力場中質點能量與軌道參數之關系

邵貴成

（忻州師范學院 物理系，山西 忻州 034000）

萬有引力場中質點能量與軌道參數之關系

邵貴成

（忻州師范學院 物理系，山西 忻州 034000）

開普勒問題中有關質點軌道參數與其能量之關系是較為重要的關系之一。本文直接從質點機械能出發，應用初等數學知識，在基礎力學知識范圍內推導出萬有引力場中質點能量與其軌道參數之間的關系，比一般理論力學教材所采用的方法簡單清晰.

萬有引力；質點；能量；軌道參數

在萬有引力場中，質點能量與其圓錐曲線軌道參數之間的關系式的推導，一般理論力學教材采用的方法是比較分別由比耐公式和角動量守恒定律、機械能守恒定律和角動量守恒定律推導出的質點軌道方程后得出，稍顯復雜[1-3].本文直接從質點的機械能出發，應用基礎力學知識即可推出這一關系式，物理意義更加清晰，推導過程較為簡潔.

1 質點能量與圓錐曲線半長軸之關系

質點在萬有引力場中的運動軌道為圓錐曲線，以下我們以橢圓軌道為例來尋求質點能量與軌道半長軸之關系.在橢圓軌道的近地點，質點機械能為

又因萬有引力提供向心力，有

取r→∞時V(r)=0，則

將(3)、(4)式代入(1)式得

對于拋物線軌道，如y2=2px，易求得近地點之曲率半徑ρ=p，而p=2r1代入(2)式得

結合(4)式得質點總能量E＝0.

類似地，可推得雙曲線軌道情形下，

2 質點能量與偏心率之關系

將其代入(5)式，解得

式中，h為質點對力心的速度矩大小.

將(7)式代入(6)式，得

上式便是質點能量E與其軌道偏心率e之關系.顯然，當E＜0即e＜1時，軌道為橢圓；當E＝0即e＝1時，軌道為拋物線；當E＞0即e＞1時，軌道為雙曲線.

3 結束語

質點在萬有引力場中的運動問題，即開普勒問題，對于研究行星、彗星以及人造地球衛星、人造天體的運動具有很大的實用價值.能用初等數學知識，在普通力學知識范圍內，對萬有引力場中質點能量與軌道參數之關系給予導出，對學生深刻認識和理解這一問題是有好處的.

〔1〕周衍柏.理論力學教程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2009.

〔2〕金尚年,馬永利.理論力學(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

〔3〕朱照宣，等.理論力學(上冊)[M].北京:北京大學出版社, 1982.

O314

A

1673-260X（2010）09-0010-01

山西省教育廳2009年度高等教育教學改革研究項目；山西省教育科學“十一五”規劃課題(GH-09142)