構造輔助函數法在《數學分析》中的應用

李景琴

（赤峰學院 數學學院，內蒙古 赤峰 024000）

構造輔助函數法在《數學分析》中的應用

李景琴

（赤峰學院 數學學院，內蒙古 赤峰 024000）

本文主要討論了如何用構造輔助函數法解決《數學分析》中的有關問題.

輔助函數；方程；不等式；恒等式；有界；一致連續

構造輔助函數法是在《數學分析》中解題經常用到的方法，它能將問題化繁為簡，使隱含條件變得明顯、具體.所謂構造輔助函數就是在解題中，依據題設和結論，構造出一個新的函數，把結論轉化為研究該函數的性質，以此達到解題的目的.下面舉例說明如何用構造輔助函數法解決《數學分析》中的有關問題.

1 在判別方程根的存在性中的應用

在判別方程根的存在性時，主要依據是零點存在定理和羅爾定理.

1.1 應用零點存在定理判別方程根的情況時，將方程一端化為零，令另一端為某一函數，構造出輔助函數.

例1證明方程x=asinx+b(a,b＞0)至少有一個不超過a+b的正實根.

證明 方程可化為x-asinx-b=0

令f(x)=x-asinx-b，則f(x)在[0,a+b]上連續，且

f(0)=-b＜0,f(a+b)=(a+b)-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]≥0

（ⅰ）若f(a+b)=0，則ξ=a+b是方程f(x)=0的根；

（ⅱ）若f(a+b)＞0，則根據零點存在定理，至少?ξ∈(0, a+b)，使f(ξ)=0,即方程f(x)=0至少有一個小于a+b的正實根ξ.

由（ⅰ）、（ⅱ）可知，方程x=asinx+b(a,b＞0)至少有一個不超過a+b的正實根.

證明 令 F(x)=5(x-2)(x-3)+7(x-1)(x-3)+16(x-1)(x-2)

則F(x)在[1，2]與[2，3]上都連續.

又因為F(1)=10＞0,F(2)=-7＜0,F(3)=32＞0，

所以F(x)=0在（1，2）內至少有一實根，在（2，3）內也至少有一實根.

則f(x)=0在（1，2）內至少有一實根，在（2，3）內也至少有一實根，

證明方程C0+C1x+…+Cnxn=0在（0,1）內至少有一個實根.

即方程C0+C1x+…+Cnxn=0在（0,1）內至少有一個實根.

2 在證明不等式中的應用

用輔助函數證明不等式，常用的方法有：①利用函數的單調性；②利用拉格朗日中值定理；③利用函數的凸凹性. 2.1利用函數的單調性證明不等式

證明 （ⅰ）令f(x)=sinx-x，則f'(x)=cosx-1≤0，所以f(x)在[0，+∞）內單調遞減.所以當x＞0時，f(x)＜f(0)=0，所以sinx＜x.

2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式

形如c≤f(a)-f(b)≤d的不等式，可構造輔助函數f(x)，使f(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，再通過適當變形，使結論得證.

2.3 利用函數的凸凹性證明不等式

3 在證明恒等式中的應用

所以f(x)=C，C為確定常數，

4 在證明函數有界中的應用

由閉區間上連續函數的性質知，若f(x)在[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上必有界.在某一開區間內有界，可把此開區間內的函數連續延拓為閉區間的函數，構造出輔助函數.

例8設f(x)在[a,b]上有定義，除第一類間斷點c∈(a,b)外都連續，則f(x)在[a,b]上有界.

所以g(x)在[a,c]上連續，根據有界性定理，g(x)在[a,c]上有界，

從而f(x)在[a,c）內有界，即存在M1＞0，使得|f(x)|≤M1x∈[a,c)

所以h(x)在[c,b]上連續，根據有界性定理，h(x)在[c,b]上有界，從而f(x)在(c,b]內有界，即存在M2＞0，使得|f(x)|≤M2x∈(c,b]

令M=max{M1,M2,|G|}，則|f(x)≤M x∈[a,b]故f(x)在[a,b]上有界.

5 在證明函數一致連續性的應用

在證明函數一致連續性時，構造輔助函數常用的方法是連續延拓法.

從而對于?x1,x2∈[A,+∞)，有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)-G|+|f(x2) -G|＜ε

所以f(x)在[A,+∞)上一致連續.

故f(x)在(a,+∞)內一致連續.

輔助函數的應用是廣泛的，形式也多種多樣.在實際應用中不同的題構造輔助函數的方法不同，同一題還可以構造不同的輔助函數.

〔1〕華東師范大學.數學分析.人民教育出版社，1980.

〔2〕劉玉蓮.數學分析.高等教育出版社，1991.

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1673-260X（2010）09-0001-02