剩余格的準(zhǔn)濾子拓?fù)淇臻g

劉春輝，秦學(xué)成

（赤峰學(xué)院 初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

剩余格的準(zhǔn)濾子拓?fù)淇臻g

劉春輝，秦學(xué)成

（赤峰學(xué)院 初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

在剩余格上引入了準(zhǔn)濾子和剩余格間的蘊(yùn)涵同態(tài)的概念，給出了準(zhǔn)濾子的若干性質(zhì);討論了準(zhǔn)濾子與濾子間的關(guān)系;指出了剩余格上全體準(zhǔn)濾子構(gòu)成一個拓?fù)洌蛔C明了剩余格之間的同構(gòu)映射是相應(yīng)拓?fù)淇臻g之間的一個同胚.

剩余格；(準(zhǔn))濾子；蘊(yùn)涵同態(tài)；拓?fù)淇臻g；同胚

1 引言和預(yù)備

非經(jīng)典數(shù)理邏輯的一個重要研究方向是對有關(guān)邏輯代數(shù)系統(tǒng)的研究.隨著數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅速發(fā)展,非經(jīng)典數(shù)理邏輯已成為人工智能領(lǐng)域的最具活力的研究方向之一.而非經(jīng)典數(shù)理邏輯的一個重要方向是對邏輯代數(shù)系統(tǒng)的研究,這方面的研究成果不僅促進(jìn)了非經(jīng)典數(shù)理邏輯的發(fā)展,也豐富了代數(shù)學(xué)的內(nèi)容[1-2].在眾多的邏輯代數(shù)系統(tǒng)中,由Pavelka教授引入的剩余格是比較重要且應(yīng)用相當(dāng)廣泛的代數(shù)系統(tǒng).Pavelka以Lukasiewicz公理系統(tǒng)為背景,將剩余理論引入到模糊邏輯的研究中,建立了一類相當(dāng)寬泛的邏輯結(jié)構(gòu),并在此基礎(chǔ)上成功的解決了Lukasiewicz公理系統(tǒng)的完備性問題[3].在現(xiàn)代模糊邏輯的理論中,剩余格是公認(rèn)的最重要的代數(shù)結(jié)構(gòu),它已成為模糊邏輯中相當(dāng)理想的代數(shù)框架.更值得注意的是,非經(jīng)典數(shù)理邏輯中基于不同的蘊(yùn)涵算子而構(gòu)造出來的許多邏輯代數(shù)系統(tǒng),諸如MV-代數(shù)[4],R0-代數(shù)[4]和格蘊(yùn)涵代數(shù)[5]等都是基于剩余格而提出的.所以對剩余格的性態(tài)作深入的研究,將有助于把握各種邏輯代數(shù)的共同特征.

在邏輯推理系統(tǒng)和邏輯代數(shù)系統(tǒng)的研究中,濾子是一個重要的概念.各種邏輯代數(shù)系統(tǒng)中濾子的性質(zhì)及它們的應(yīng)用已得到了廣泛的研究[6-10].本文筆者在剩余格上引入了準(zhǔn)濾子和剩余格間的蘊(yùn)涵同態(tài)的概念.討論了準(zhǔn)濾子的若干性質(zhì)及其與濾子間的關(guān)系;指出了剩余格上全體準(zhǔn)濾子構(gòu)成一個拓?fù)?證明了剩余格之間的同構(gòu)映射是相應(yīng)拓?fù)淇臻g之間的一個同胚.為利用拓?fù)鋵W(xué)的工具研究非經(jīng)典數(shù)理邏輯問題奠定了重要的基礎(chǔ).

為了討論的方便,首先給出一些預(yù)備知識,有關(guān)偏序的知識見[11],有關(guān)拓?fù)涞膬?nèi)容見[12].

定義1.1[1]設(shè)P是一個偏序集,稱P上的二元運(yùn)算?和→是互為伴隨的,如果以下條件成立:

(1)?：P×P是單調(diào)遞增的;

(2)→：P×P→P關(guān)于第一變量是不增的,關(guān)于第二變量是不減的;

(3)a?b≤c當(dāng)且僅當(dāng)a≤b→,?a,b,c∈P.

此時稱(?→)為P上的伴隨對.

定義1.2[3]三元組 (L,?,→)稱為剩余格(Residuared Lattice),如果

(1)L是有界格,最大元是1,最小元是0;

(2)(?,→)是L上的伴隨對;

(3)(L,?,→)是以1為單位元的交換半群.

定義1.3[3]設(shè)(L,?,→)是剩余格,?≠⊕?L.稱F為L的一個濾子,如果?a,b∈L有:

(1)1∈F;

(2)如果a∈F且a≤b,則b∈F;

(3)如果a,b∈F,則a?b.

本文我們將剩余格上的濾子全體之集記為F(L).

引理1.4[3]設(shè)(L,?,→)是剩余格且?≠F?L.則F∈F (L)當(dāng)且僅當(dāng)下列兩個條件成立:

(1)1∈F;

(2)如果a,a→b∈,則b∈F.

定義1.5[12]設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g,f:X→Y為一個映射.如果Y中每一開集U的原像f-1(U)都是X中的開集,則稱f是從X到Y(jié)的一個連續(xù)映射.

定義1.6[12]設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g,f：X→Y一個雙射.如果f和f-1：Y→X都是連續(xù)映射,則稱f是一個同胚映射或同胚.

2 準(zhǔn)濾子的定義與性質(zhì)

本節(jié)我們在剩余格中引入準(zhǔn)濾子的概念,并給出它的一些基本性質(zhì).

定義2.1設(shè)(L,?,→)是一個剩余格,?≠⊕?L.?a,b∈L,如果當(dāng)a→b∈F時都有a→(a→b)∈F,則稱F是L的一個準(zhǔn)濾子.L的準(zhǔn)濾子全體之集記為PF(L).

注2.2容易驗(yàn)證剩余格(L,?,→)的任意一族準(zhǔn)濾子的交和并都還是L的準(zhǔn)濾子.即PF(L)對集合的交與并都是封閉的.

定理2.4設(shè)(L,?,→)是剩余格,a→b∈F.如果F∈F(L),則F∈PF(L).

證明 ?a,b∈L,設(shè)a→b∈F.由于 (a→b)→(a→(a→b)) =1∈F∈F(L),故由引理1.4(2)和F∈F(L)便得a→(a→b)∈F.即F∈PF(L).

上述定理指出了剩余格中的每一個濾子都是準(zhǔn)濾子.下面我們用一個具體的實(shí)例說明該定理的逆命題是不成立的,從而表明引入定義2.1的合理性.

例2.5設(shè)L={0,a,b,c,d,1},其上偏序關(guān)系由圖1給出,在L上規(guī)定→和?如表1和2所示.則可以驗(yàn)證（L，?，→）是一個剩余格.取F={0，a，1},則F∈PF（L）.但F?F（L）,因?yàn)?∈F且0→c=1∈F,然而c?F.

設(shè)（L，?，→）是一個剩余格,我們引入如下記號:

圖1

表1

表2

定理2.6設(shè)（L,?,→）是剩余格,則?x∈L,F(x)∈PF(L).

證明 ?a,b∈L,如果a→b∈F(x),則?k∈□*使得a→b∈Lk(x).于是由(2-1)式可知a→(a→b)∈Lk-1(x)?F(x),故由定義2.1便得F(x)∈F(x).

(1)a1→b1=x;

(2)ai→bi∈Li-1(x)且ai→bi=ai-1→(ai-1→bi-1),i=2,3,4,…,k;

(3)a=ak→(ak→bk).

定理2.8設(shè)（L,?,→）是剩余格,則?x∈L,F(x)=〈x〉.

(1)a1→b1=x;

(2)ai→bi∈Li-1(x)且ai→bi=ai-1→(ai-1→bi-1),i=2,3,4,…,k;

(3)a=ak→(ak→bk).

故ai→bi∈〈x〉,i=1,2,…,k.從而由〈x〉∈PF(L)便得a=ak→(ak→bk)∈〈x〉.于是又得F(x)?〈x〉,進(jìn)而F(x)=〈x〉.

3 剩余格上的準(zhǔn)濾子空間

設(shè)(L,?,→)是剩余格,由注2.2知PF(L)對集合的交與并都是封閉的,且顯然L∈PF(L).現(xiàn)在我們令TL=PF(L)∪{?},則易知（L，TL）構(gòu)成一個拓?fù)淇臻g,稱之為L上的準(zhǔn)濾子空間.為了研究此空間的性質(zhì),首先引入如下定義.

定義3.1設(shè)(L,?,→)和(M,?*,→*)是兩個剩余格,稱映射f：L→M是從L到M的蘊(yùn)涵同態(tài),如果?a,b∈L都有f(a→b)=f(a)→*f(b).若f是還一個雙射,則稱f是從L到M的蘊(yùn)涵同構(gòu).

定理3.2設(shè)(L,?,→)和(M,?*,→*)是兩個剩余格,f：L→M是從L到M的蘊(yùn)涵同態(tài),則?x∈L，?n∈□*,f(Ln(x))?Mn(f(x)).

證明 對自然數(shù)n做數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時,?n∈L1(x),由L1(x)的定義知?a,b∈L使得u=a→(a→b)且a→b=x.而f是從L到M的蘊(yùn)涵同態(tài),故f(u)f(a→(a→b))=f(a)→*(f(a)→*f(b))且f(a)→*f(b)=f(a→b)=f(x),故f(u)∈M1(f(x)).從而f(L1(x))?M1(f(x)),即結(jié)論對n=1成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立,即f(Lk(x))?Mk(f(x)).則當(dāng)n=k+1時,?n∈Lk+1(x),則?a,b∈L使得u=a→(a→b)且a→b∈Lk(x),故由歸納假設(shè)可以得f(a)→*f(b)=f(a→b)∈f(Lk(x))?Mk(f(x)),故f(u)=f(a)→*(f(a)→*f(b))∈Mk+1(f(x)),這說明結(jié)論對n=k+1也成立.有歸納法原理便得?x∈L，?n∈□*,f(Ln(x))?Mn(f(x)).

定理3.3設(shè)(L,?,→)和(M,?*,→*)是兩個剩余格,f：L→M是從L到M的蘊(yùn)涵同構(gòu),則?x∈L，?n∈□*,f(Ln(x))?Mn(f(x)).

定理3.4設(shè)(L,?,→)和(M,?*,→*)是兩個剩余格,f:L→M是從L到M的蘊(yùn)涵同態(tài),則?x∈L,f(〈x〉)?〈f(x)〉.

(1)a1→b1=x;

(2)ai→bi∈Li-1(x)且ai→bi=ai-1→(ai-1→bi-1),i=2,3,4,…,k;

(3)a=ak→(ak→bk).

于是由f是為蘊(yùn)涵同態(tài)可得

(1*)f(a1)→*f(b1)=f(x);

(2*)f(ai)→*f(bi)∈Mi(f(x))且f(ai)→*f(bi)=f(ai-1)→8(f(ai-1)→*f (bi-1)),i=2,3,4,…,k;

(3*)f(a)=f(ak)→*(f(ak)→*f(bk)).

故再由引理2.7和定理2.8便得f(a)∈f(〈x〉),從而f(〈x〉)?〈f(x)〉.

定理3.5設(shè)(L,?,→)和(M,?*,→*)是兩個剩余格,f:L→M是從L到M的蘊(yùn)涵同構(gòu),則?x∈L,f(〈x〉)=〈f(x)〉.

(1)a1→*b1=f(x);

(2)ai→*bi∈Mi-1(f(x))且ai→*bi=ai-1→*(ai-1→*bi-1),i=2,3,4,…,k;

(3)a=ak→*(ak→*bk).

于是由蘊(yùn)涵同構(gòu)f為單射便得

所以u∈〈x〉,從而a=f(u),即〈f(x〉?f(〈x〉).進(jìn)而f(〈x〉)?〈f(x)〉.

由定理3.5立即可得如下推論:

推論3.6設(shè)(L,?,→)和(M,?*,→*)是兩個剩余格,f:L→ M是從L到M的蘊(yùn)涵同構(gòu),則?U∈TL都有f(U)∈TM.

定理3.7設(shè)(L,?,→)和(M,?*,→*)是兩個剩余格,f:L→M是從L到M的蘊(yùn)涵同構(gòu),則f為從拓?fù)淇臻g(L,TL)到(M,TM)的一個同胚.

證明 任取U∈TM,記f-1(U)={a∈L|f(a)∈U}.?a,b∈L,如果a→b∈f-1(U),則f(a)→*f(b)=f(a→b)∈U,而U∈PF(M),故結(jié)合f為蘊(yùn)涵同構(gòu)便得

f(a→(a→b))=f(a)→*(f(a)→*f(b))∈U.于是a→(a→b)∈f-1(U),從而便得f-1(U)∈TL.故f是從拓?fù)淇臻g(L,TL)到(M,TM)的一個連續(xù)映射.類似可證f-1:M→L也是連續(xù)映射.又f是雙射,故由定義1.6可知f為從拓?fù)淇臻g(L,TL)到(M,TM)的一個同胚.

限于篇幅,關(guān)于準(zhǔn)濾子拓?fù)淇臻g(L,TL)的拓?fù)湫再|(zhì)我們將另文討論.

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O141.1；O153.1

A

1673-260X（2010）02-0004-03