一類半線性拋物型方程組解的整體存在及爆破

春玲

（內(nèi)蒙古民族大學，內(nèi)蒙古 通遼 028000）

一類半線性拋物型方程組解的整體存在及爆破

春玲

（內(nèi)蒙古民族大學，內(nèi)蒙古 通遼 028000）

研究了一類帶有非線性邊界條件的半線性拋物型方程組解的整體存在及爆破問題.通過構造方程組的上、下解，得到了解整體存在的一個充分條件及解在有限時刻爆破的一個充分條件.

半線性拋物型方程組；非線性邊界條件；整體解；有限時刻爆破

1 引言及主要結果

本文討論了半線性拋物型方程組

我們的主要結果如下：

定理1若p1≤1，p2≤1，0＜α1，α2＜1,則對于小初值u0(x)，v0(x)，方程組（1）的解整體存在.

定理2若p1p2＞1，（1）的解在有限時刻爆破.

2 上下解法和解的存在性

利用文獻[6]的結果，我們有下面的命題：

當pi＞0,qi＜0(i=1,2)時，取α滿足max{p1,p2}≤α≤1.

3 定理1的證明

證 取h(x)∈C2(Ω)是下面橢圓方程

取

取g(t)滿足

由題設條件p1≤1，p2≤1，0＜α1，α2＜1，知0＜k+1,0＜l+1≤1,故0＜(k+1)p1≤1,0＜(l+1)p1≤1,且成立.

由（4）（5）計算得

因α≤1故?(ω)整體存在，g(t)也整體存在.

這時上、下解定義中的（2）式變?yōu)?/p>

邊界：

初值：

4 定理2的證明

證 取?(ω)滿足

?'(ω)=exp(β?(ω))ω＞0?(0)=0

有xi+d＞0,i=1,2,…,N取0＜η≤1使得當0＜η＜D3η時η (k+1)N≤1，η（l+1）N≤1并得A≤?(ηD3)≤σ那么(k+1)?(τ)≥1(l+1)?(τ)≥1

再令G=η2β取g(t)是滿足

g'(t)=Gexp(β?(g(t)),t＞0,g(0)=0的正解.則

下面驗證以上取的(u,v)是方程組（1）的下解.

〔1〕WANGMX.Global existence and finite blow up for a reaction diffusion system[J].ZAMP,2000,51:160-167.

〔2〕ESCOBEDO M,LEVINE H A.Critical blow up and global existence numbers for a weakly coupled system ofreaction diffusion equation [J].Arch RatMech Analysis,1995,129:47-100.

〔3〕JULIODR,NOEMIW.Blow up and global existence for asemilinearreaction diffusion system in abounded domain[J].Partial Diffusion Equtions,1995,20():1991-2004.

〔4〕MUCL,SUY.Globlexistenceandblow upfora quasilinear degenerate parabolic system in a cylinder[J]. Appi Math Letters,2001,14:715-723.

〔5〕王術.帶非線性邊界條件的非線性拋物型方程組.數(shù)學學報，1997：40.

O175.26

A

1673-260X（2010）02-0007-02