淺談《線性代數(shù)》教學(xué)改革與實(shí)踐

邵紅梅

（廊坊武警學(xué)院 基礎(chǔ)部，河北 廊坊 065000）

淺談《線性代數(shù)》教學(xué)改革與實(shí)踐

邵紅梅

（廊坊武警學(xué)院 基礎(chǔ)部，河北 廊坊 065000）

結(jié)合《線性代數(shù)》課程本身的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況,通過對線性代數(shù)課程的教學(xué)實(shí)踐,從三個(gè)方面闡述了如何提高線性代數(shù)的教學(xué)效果.

線性代數(shù)；形象化；具體化；聯(lián)系；思維能力

線性代數(shù)課程在高等工科學(xué)校的教學(xué)計(jì)劃中是一門基礎(chǔ)理論課，也是研究生入學(xué)考試的一門必考課程.這門課程是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高，它的思想和方法如今已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中.而且隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，用代數(shù)方法解決實(shí)際問題已滲透到現(xiàn)代科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理的各個(gè)領(lǐng)域，尤其在計(jì)算機(jī)、通訊、電子等學(xué)科領(lǐng)域其重要性和實(shí)用性日漸顯現(xiàn).但線性代數(shù)課程也同時(shí)存在著概念多、定理多，內(nèi)容抽象的特點(diǎn)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)普遍感到抽象、枯燥，缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，也造成了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的淡薄.如何上好線性代數(shù)課，如何提高線性代數(shù)的課堂教學(xué)效果，一直受到人們的關(guān)注.下面結(jié)合自己的教學(xué)，通過多年的教學(xué)實(shí)踐，對這門課程的教學(xué)進(jìn)行了改革，收到了很好的效果.主要作了以下幾方面的努力和嘗試：

1 將抽象的概念具體化、形象化

線性代數(shù)一般繼一年的微積分課程后開設(shè)，此時(shí)學(xué)生已初步具備高等數(shù)學(xué)的思維能力.但線性代數(shù)的概念一般都比較抽象，大多學(xué)生會(huì)感到無從入手，適當(dāng)將抽象的概念具體化，形象化，從他們熟悉的知識或例子入手，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深其對基本概念的理解.例如在學(xué)習(xí)n階行列式的概念時(shí)，對于n階行列式的含義，學(xué)生會(huì)感到很抽象，產(chǎn)生畏難情緒.針對這種情況，以學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)過的解二元線性方程組為例引出二階行列式的定義，則使學(xué)生感到輕松易學(xué).然后提出三階行列式如何定義的問題，讓學(xué)生參與該定義的過程，學(xué)生很快會(huì)給出三階行列式的定義，在這種氛圍下，再逐步引出四階、五階直至n階行列式的定義，這樣學(xué)生就較容易掌握n階行列式的概念;再例如，在講解矩陣的運(yùn)算時(shí)，可以利用常用的數(shù)的四則運(yùn)算來推導(dǎo)矩陣的四則運(yùn)算，矩陣的加法減法運(yùn)算可以舉例為特定人群的工資表作為一個(gè)矩陣的同時(shí)加薪和減薪問題，然后介紹矩陣的乘法，學(xué)生很自然會(huì)思考一個(gè)數(shù)表和另一個(gè)數(shù)表相乘會(huì)遵循什么規(guī)則，在給出乘法規(guī)則后，學(xué)生感覺很難理解，甚至提出為什么不能像矩陣與矩陣的加法那樣規(guī)定，然后教師舉出一例來說明矩陣乘法的用途.例如，設(shè)有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程式的線性方程組:

學(xué)生們不難自己求出A X，它正好就是b，即A X=b(2).這學(xué)生既看到了矩陣乘積的應(yīng)用，又加深了對該法則的理解，更重要的是它可以使我們可以想象是否可以用矩陣的某些運(yùn)算來處理線性方程組.通過類似問題的提出，增強(qiáng)了學(xué)生探索問題的興趣，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識和素質(zhì).

2 串聯(lián)內(nèi)容，注意聯(lián)系

線性代數(shù)各章節(jié)的內(nèi)容，不是孤立割裂的，而是相互滲透、緊密聯(lián)系的，所以教師在授課過程中應(yīng)注意各章節(jié)內(nèi)容之間的聯(lián)系，尤其是對各個(gè)概念的等價(jià)條件，一定要引導(dǎo)學(xué)生去總結(jié)發(fā)現(xiàn)，這樣既使學(xué)生不會(huì)產(chǎn)生概念混淆，條理混亂，又鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力.如A是n階方陣，若:|A|≠0(稱A為非奇異陣)則以下命題等價(jià)：

（1）存在若干個(gè)初等陣P1，P2，…，Pn，使得PnPn-1…P1A+E；

（2）A可以經(jīng)過有限次初等行變換化為單位矩陣；

（3）A是可逆陣；

（4）存在n階方陣B，使得A B=B A=E；

（5）r(A)=n(稱A是滿秩)；

（6）A可表示為若干個(gè)可逆陣的乘積；

（7）A可表示成若干個(gè)初等陣的積；

（8）A的列向量組線性無關(guān)(列滿秩)；

（9）A的行向量組線性無關(guān)(行滿秩).

再例如，線性代數(shù)的核心問題就是“線性方程組”問題，由此引出矩陣和向量的概念.歷年來，學(xué)生對“向量組線性相關(guān)性”的問題都不能透徹地理解.如果將矩陣和向量組密切地聯(lián)系起來，則線性方程組既可以看作矩陣方程，又可以看作向量組的線性相關(guān)性問題.看清了它們之間的聯(lián)系對于線性方程組的問題就不僅僅可以從矩陣的初等變換著手，還可以從向量的相關(guān)性作為切入點(diǎn)，這樣就為學(xué)生解決問題提供了方法，拓寬了思路.

3 注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

教與學(xué)的過程中，我們除傳授數(shù)學(xué)知識外，更應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和數(shù)學(xué)思維能力，即所謂“授之與魚不如授之與漁”.在教學(xué)內(nèi)容中滲透數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)是十分重要的.比如：在討論完矩陣的乘法之后，我們可以討論這樣一個(gè)問題：矩陣可不可以有類似于數(shù)的除法，如果可以怎樣來做？如果不可以為什么？這個(gè)問題提出以后，同學(xué)們眾說紛紜，因?yàn)閿?shù)的除法實(shí)質(zhì)就是被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)，那么矩陣有所謂的“倒數(shù)”嗎？又因?yàn)榫仃嚨某朔ú粷M足交換律，矩陣這個(gè)所謂的“倒數(shù)”唯一嗎？有了這些想法，我們很自然的就引出了逆矩陣的概念，并且知道逆矩陣是唯一的.

另外，貫穿《線性代數(shù)》的突出思想方法之一就是“初等變換”的思想方法.利用初等變換理論作為基礎(chǔ)可建立矩陣的秩、逆，向量組與向量空間，線性方程組，矩陣的對角化，線性變換等理論，進(jìn)而再考慮抽象空間到抽象空間上的線性變換.能夠掌握貫穿學(xué)科的若干思想方法其實(shí)就是找到了攀登整個(gè)學(xué)科高峰的捷徑，學(xué)會(huì)思想方法對學(xué)習(xí)線性代數(shù)是大有裨益的，而且對自學(xué)能力的培養(yǎng)會(huì)起到促進(jìn)作用.

以上是在線性代數(shù)教學(xué)過程中的一些想法和實(shí)踐，希望能對教授此門學(xué)科的教師起到借鑒作用，也希望對學(xué)習(xí)線性代數(shù)的同學(xué)有所幫助.

〔1〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性代數(shù):第2版[M].北京:高等教育出版社,1997.

〔2〕趙瓊.關(guān)于線性代數(shù)教學(xué)改革和教學(xué)實(shí)踐的思考.科教文匯，2007（8）（上旬刊）.

〔3〕吳天毅.線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容改革的研究與實(shí)踐.天津輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)專刊，2003（12）.

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