Rayleigh-Ritz法在應(yīng)用中需注意的幾個(gè)問題

彭 震,賈培強(qiáng),李 晶

(唐山學(xué)院,河北唐山 063000)

Rayleigh-Ritz法在應(yīng)用中需注意的幾個(gè)問題

彭 震,賈培強(qiáng),李 晶

(唐山學(xué)院,河北唐山 063000)

結(jié)合實(shí)例提出了Rayleigh-Ritz法在應(yīng)用中需注意的幾個(gè)問題,有助于Rayleigh-Ritz法的準(zhǔn)確運(yùn)用,從而提高利用該方法解決問題的計(jì)算精度。

Rayleigh-Ritz法;試函數(shù);邊界條件;勢(shì)能泛函;完備性

Rayleigh-Ritz法[1]是用最小勢(shì)能原理推導(dǎo)出的一種計(jì)算方法,在結(jié)構(gòu)分析中的重要應(yīng)用之一是利用它求解復(fù)雜問題的近似解。當(dāng)Rayleigh-Ritz法在1908年被提出時(shí),其理論基礎(chǔ)并不完備,只是在實(shí)踐中證明它卓有成效。它的理論基礎(chǔ)在經(jīng)過人們多年努力后才開始有了頭緒。由于教材對(duì)此問題闡述的不多,在用其求解收斂性問題時(shí)又涉及到較深的泛函分析,故本文僅從該方法應(yīng)用的角度做些探討。

1 Rayleigh-Ritz法的本質(zhì)

Rayleigh-Ritz法解決問題的出發(fā)點(diǎn)是將彈性結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能 П表達(dá)成結(jié)構(gòu)位移的函數(shù)。對(duì)于一個(gè)處于穩(wěn)定平衡條件下的彈性結(jié)構(gòu),依據(jù)最小勢(shì)能原理,使結(jié)構(gòu)總勢(shì)能 П取得最小值的位移就是真實(shí)位移。位移試函數(shù)可預(yù)先假設(shè)為無窮級(jí)數(shù)、富里葉級(jí)數(shù)或任何其它形式的級(jí)數(shù)。

例如,將試函數(shù)設(shè)為無窮級(jí)數(shù)

式中 u0,v0,w0,ui,vi,wi為滿足邊界條件的假定位移函數(shù), Ai,Bi,Ci為任意常數(shù)。

對(duì)于實(shí)際問題而言,由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,事先假定的位移函數(shù)只能近似地表示結(jié)構(gòu)的真實(shí)變形形狀,基于近似形狀,利用位移函數(shù)的微分,可求反力和應(yīng)力合力的近似值。由于反力和應(yīng)力合力也是近似的,它們就不可能與結(jié)構(gòu)上的實(shí)際載荷形成靜力平衡。可見Rayleigh-Ritz法的本質(zhì)是在維數(shù)降低后的解空間去尋找近似解。

這里需強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),稱 Rayleigh-Ritz法是一種近似解法(一些書籍中的稱謂),和用它求近似解是不同的。可以肯定的是,若能列出包含真實(shí)位移在內(nèi)的所有位移,該方法亦可求得精確解。

2 多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)對(duì)試函數(shù)的影響

將試函數(shù)寫成無窮級(jí)數(shù)的形式,泛函將由無窮數(shù)列 a1, a2,…,an,…來確定。根據(jù)Weierstrass定理,若試函數(shù)符合連續(xù)函數(shù)的要求,可以靠增加項(xiàng)數(shù)來提高精度。由于一般情況需聯(lián)立求解方程才能得出系數(shù) ai,數(shù)值條件不利于求解,所以,試函數(shù)在形式上是依賴于有限個(gè)參數(shù)an的函數(shù)族。

3 兩類邊界條件對(duì)試函數(shù)的影響

使用Rayleigh-Ritz法能否獲得成效,很大程度上與假設(shè)的位移函數(shù) ——試函數(shù)選取是否得當(dāng)有密切關(guān)系。構(gòu)造位移試函數(shù)最好滿足兩類邊界條件:一類是試函數(shù)須事先滿足的幾何邊界條件;另一類是由勢(shì)能泛函駐值要求導(dǎo)出的條件,變分學(xué)稱之為強(qiáng)制邊界條件和自然邊界條件[2]。

3.1 強(qiáng)制邊界條件的影響

強(qiáng)制邊界條件由對(duì)實(shí)際約束情況的分析給定。如圖1所示的四邊簡(jiǎn)支矩形薄板,其上有垂直于板面的任意分布荷載作用。位移試函數(shù)可假設(shè)為雙重正弦級(jí)數(shù)

滿足w為垂直板面方向的位移的幾何邊界條件是x=0,x= a處,w=0;y=0,y=b處,w=0。

圖1 四邊簡(jiǎn)支矩形薄板

進(jìn)一步分析還可知,在簡(jiǎn)支邊處,限制自由翹曲,而允許繞著邊界的緣線自由轉(zhuǎn)動(dòng),故x=0,x=a處,繞x軸的彎矩Mx=0;y=0,y=b處,繞y軸的彎矩My=0。由彈性力學(xué)可知,將彎矩用位移試函數(shù)表示,上述條件也是滿足的。可見試函數(shù)的完備性越好,就越接近真實(shí)的位移函數(shù)。能否將問題考慮得面面俱到,就目前而言還靠經(jīng)驗(yàn)和深入分析。

又如圖2所示等截面懸臂梁,試函數(shù)可寫成n次多項(xiàng)式

也可寫成三角級(jí)數(shù)式

上兩式均滿足位移邊界條件x=0處,w=0;x=l處,w≠0。

圖2 等截面懸臂梁

3.2 自然邊界條件的影響

選擇試函數(shù)滿足自然邊界條件是不容易做到的。現(xiàn)用下例說明自然邊界條件。圖3所示一端固定一端自由的等截面直桿,受軸向載荷q(x)=x作用,設(shè) EA=1,l=1,用試函數(shù)u(x)=a1x+a2x2來表示桿沿軸線方向位移,勢(shì)能泛函可寫成

按駐值要求δП=0導(dǎo)出,在 x=0處,有δu=0為強(qiáng)制

圖3 受軸向載荷的一端固定一端自由的等截面直桿

4 完備性對(duì)試函數(shù)的影響

Rayleigh-Ritz法是將含有無限多變量的泛函變分問題轉(zhuǎn)換成有限個(gè)多變量的函數(shù)極值問題來處理的一種方法。若試函數(shù)滿足邊界條件,且泛函的積分表達(dá)式的積分值接近泛函的極小值,則可認(rèn)定這樣構(gòu)造的函數(shù)序列將收斂于問題的解。

考察完備性是指假設(shè)的位移函數(shù)的近似程度是否真實(shí)準(zhǔn)確地反映了結(jié)構(gòu)的變形。構(gòu)造滿足整個(gè)定義域所有邊界條件的試函數(shù)是困難的,通常可采用一些現(xiàn)有的結(jié)論。如泛函本身有二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),選取的試函數(shù)就應(yīng)使二階導(dǎo)數(shù)存在,等等。總之,對(duì)事物認(rèn)識(shí)得越透徹越全面,越利于提高解的精度。有限單元法是Rayleigh-Ritz法局部化的解法,其核心是將解域離散,使每個(gè)單元具有完備性較好的試函數(shù),然后再在一定條件下進(jìn)行總裝。這種方法能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀,現(xiàn)已成為行之有效的工程分析手段。

[1] 孫訓(xùn)方,方孝淑,關(guān)來泰.材料力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1994:249.

[2] 胡海昌,胡潤(rùn)莓.變分法[M].北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社,1987:14.

(責(zé)任編校:夏玉玲)

Questions in the Application of Rayleigh-Ritz Method

PENG Zhen,JIA Pei-qiang,LIJing
(Tangshan College,Tangshan 063000,China)

Combined with examples,several questions w ere pointed out in the apllication of Ray-leigh-Ritz method.Solving these problems can contribute to the right apllication of Rayleigh-Ritz method and also imp rove the calculation accuracy.

Rayleigh-Ritz method;trial function;boundary condition;potential energy fonctio-nelle;completeness

O177

A

1672-349X(2010)06-0008-02

2010-07-14

彭震(1955-),男,教授,主要從事固體力學(xué)的教學(xué)與研究。