關于某些形狀的素數

管訓貴

(泰州師范高等專科學校數理系,江蘇泰州 225300)

關于某些形狀的素數

管訓貴

(泰州師范高等專科學校數理系,江蘇泰州 225300)

設 p是素數,證明了當且僅當 p=3時,p2-2,2p2-1,3p2+4,Mp=2p-1以及 Fp=+1都是素數。

素數;合數;Schinzel假設

1 引言及主要結論

人們一直在努力尋找產生素數的公式。幾百年來許多優秀的數學家都做過嘗試[1]。

1772年Euler獲得了常表素數的多項式 f(n)=n2-n+ 41(-39≤n≤40),此公式等價于 g(n)=n2-79n+1 601(0≤n≤79),即 g(n)=f(n-39)。1793年Legendre獲得了常表素數的多項式 f(n)=2n2+29(0≤n≤28)。1963年Bredi-hin證明了二元函數 f(x,y)=x2+y2+1對無限多對整數(x,y)都產生素數,且能給出所有的素數,而每個奇素數恰好各取一次。爾后,Honsberger又給出下面的公式這里 A=x(y+1)-(y!+1),當(x,y)為正整數對時,只產生素數,并給出所有素數,且每個奇素數正好各取一次[2]。1987年沈明剛[3]證明了當且僅當m=2,3,5,11,17,41時,f(n)=n2-n+m對于1≤n≤m-1均常表素數。在此之前的1958年,Schinzel和Sierpinski曾經提出過一個猜想:設 f1(x),f(x),…,fk(x)都是首項系數為正整數且次數大于零的有理數域上的不可約多項式,則存在無窮多個正整數n,可使 f1(n),f2(n),…,fk(n)都是素數。

上述猜想稱為 Schinzel假設。此猜想可能存在這樣的問題,因為我們可以構造 k個多項式滿足上述條件,但對任何正整數 n,f1(n),f2(n),…,fn(n)不可能都是素數。比如,取 fi(n)=n2+i(i=1,2,…,k),當 i為奇數時,取 n為奇數;當i為偶數時,取 n為偶數。易知,總存在 i,使2|fi(n)。

2005年Bencze[5]進一步對 n僅為素數的情形提出如下問題:哪些素數 p可使 p2-2,2p2-1以及3p2+4都是素數?筆者將問題加強為:哪些素數 p可使 p2-2,2p2-1, 3 p2+4,Mp=2p-1以及 Fp=+1都是素數?并解決了上述問題,即證明了如下的定理。

定理當且僅當 p=3時,p2-2,2p2-1,3p2+4,Mp= 2p-1以及 Fp=+1都是素數。

為完成對上述定理的證明,需有以下引理。

引理F7=+1=59 649 589 127 497 217×5 704 689 200 685 129 054 721是合數。

證明由文獻[6]知,Fn=+1(n≥5)是合數的充要條件是:不定方程有正整數解(x0,y0)滿足2n+1x0>y0,并且在有解(x0,y0)的情況下

Fn=(22n+3x0-2n+2y0+1)·(22n+3x0-2n+2y0+1)。 (3)可以驗證,不定方程216x2+x-2110=y2有正整數解(x,y)= (21 761 889 840 218 569,5 570 927 295 99-189 021)。

因為28×21 761 889 840 218 569=5 571 043 799 095 953 664>5 570 927 295 99-189 021,因此,F7是合數。

將 x=21 761 889 840 218 569,y=5 570 927 295 99-189 021代入(3),可得 F7=59 649 589 127 497 217×5 704689 200 685 129 054 721。引理得證。

2 定理的證明

證明 p=2時,3p2+4=16是合數。

p=3時,p2-2=7,2p2-1=17,3p2+4=31,Mp=2p-1=7,Fp=+1=257都是素數。

p=5時,2p2-1=49是合數。

p=7時,Fp=+1是合數。

若 p=7k(k是大于1的正整數),則Mp=27k-1=127× (128k-1+…+1)是合數。

若 p=7k±1(k是正整數),則3p2+4=7(21k2±6k+1)是合數。

若 p=7k±2(k是正整數),則2p2-1=7(14k2±8k+1)是合數。

若 p=7k±3(k是正整數),則 p2-2=7(7k2±6k+1)是合數。

綜上,定理得證。

[1] 左宗明.世界數學名題選講[M].上海:上海科學技術出版社,1990:18-25.

[2] 吳振奎,吳旻.數學的創造[M].上海:上海教育出版社,2003:72-75.

[3] 沈明剛.n2-n+p常表素數的完全確定[J].科學通報, 1987(11):801-803.

[4] Schinzel A,Sierpinski W.Surcertaines hypothesis con-cemant lesnambers premiers[J].Acta.A rith.,1958 (4):185-208.

[5] Bencze M.Proposed problem 7348[J].Octogon Math. Mag.,2005,13(IB):655.

[6] 管訓貴.費馬數是合數的一個充要條件[J].四川理工學院學報:自然科學版,2009,22(4):23-24.

(責任編校:夏玉玲)

On the Primes of Some Form

GUAN Xun-gui

(Departmenet of Mathematics&Physics of Taizhou Teachers Junio r School,Taizhou 225300,China)

P being a p rime num ber p roves that only if p=3,p2-2,-p2-1,3 p2+4,Mp=2p-1 and Fp=+1 are all p rime numbers.

p rime number;composite number;Schinzel’s Hypothesis

O156.1

A

1672-349X(2010)06-0020-02

2010-06-07

泰州師范高等專科學校重點課題資助項目(2009-ASL-04)

管訓貴(1963-),男,副教授,主要研究方向為基礎數論。