關于實對稱帶狀矩陣逆特征值問題擬Lanczos算法的改進

李杰紅,王 成

(1.天津科技大學理學院,天津 300222;2.唐山學院基礎教學部,河北唐山 063000)

關于實對稱帶狀矩陣逆特征值問題擬Lanczos算法的改進

李杰紅1,王 成2

(1.天津科技大學理學院,天津 300222;2.唐山學院基礎教學部,河北唐山 063000)

關于實對稱帶狀矩陣的逆特征值問題,文章對擬Lanczos算法給出了一點改進,通過實際計算驗證,該算法簡單且數值穩定。

特征值;逆問題;擬Lanczos算法

1 問題的提出

1977年D.Boley和G.H.Golub提出了關于該問題的塊Lanczos算法,此算法首先由矩陣A的p+1個有關的順序主子矩陣的特征值來確定A的標準化的特征向量的前p列的分量,再用塊Lanczos算法計算出矩陣A,該算法要求矩陣的半帶寬 p能整除矩陣的階數n,以及隔離條件(Ⅰ)成立。

對于這個問題,1985年殷慶祥在第一屆逆特征值會議上提出了“關于實對稱矩陣的逆特征值問題的擬Lanczos算法”[1],文中取消了塊Lanczos算法的第一個要求,但保留了第二個要求,就 p=2(即五對角矩陣)滿足隔離條件(Ⅱ),且p能整除n的情況給予了問題存在的證明。本文將這個問題進行擴展,即在隔離條件滿足(Ⅰ)、取消 p能整除n的條件下給出問題解存在性的證明。

2 主要結論

定理 設J為n階實對稱矩陣,X為n階正交矩陣,若A= XTJX為帶寬是2p+1的實對稱帶狀矩陣,且其最外超對角元素為正,則A和X由J和X的前p列(或后p列)唯一決定。

證明 記 X=(x1,x2,…,xn),其中 xi=(qi1,qi2,…, qin),i=1,2,…n。

其中A的第 j列為Aj=(0,…,ai-p,j,…,ajj,…,aj+p,j,…,0)T。

比較(1)式兩端的第 j列,得

這里規定 xj=0。當 j>n或 j≤0時,aj-p,j=0,j-p≤0。然后利用 X列的單位正交性得

對上式兩邊取范數得

aj+p,j= ‖rj‖2,xj+p=rj/aj+p,其中 j=1,2,…,n。

因此,由 X的前 p列 x1,x2,…,xp可唯一決定a11,a21,…,ap1,由于 j=1時,aj-1,j,…,aj-p,j均為0,故 r1已知,這樣 ap+1,1,xp+1可唯一決定,一般地,由式(3)可唯一決定 ajj, aj+1,j,…,aj+p,j,xj+p,因此 X,A的全部元素可由 X的前 p列和J唯一決定。證畢。

理論上講,由式(3)計算出來的 xj(j=1,2,…,n)應該是正交的,但是由于舍入誤差的影響,向量可能會失去正交性,因此,同塊Lanczos算法、擬Lanczos算法一樣,重正交化過程常常是必須的,因此該問題還有待進一步完善。另外一般的提法是指定了矩陣A的順序主子矩陣A(k)=(aij),(i,j =k,…,n)的特征值,而在本文中使用的是A的倒順序主子陣A(k)=(aij),(i,j=k,…,n)的特征值,因此,在利用本算法后,為了和一般的提法相符合,還要用矩陣對本文所求矩陣做相似變換。

3 結語

由于塊Lanczos算法、擬Lanczos算法在本文的定理中都要求所求帶狀矩陣的最外超對角元素為正,這一條件我們認為太強,經過嘗試,可以把該條件放寬為:所求帶狀矩陣的最外超對角元素非負。因此該問題還有待進一步完善。

[1] 殷慶祥.實對稱帶狀矩陣特征值反問題的擬Lanczos方法[J].高等學校計算數學學報,1989,8(1):65-73.

(責任編校:李秀榮)

On the Im proved Algorithm of Quasi-Lanczos of the Inverse Problem for Real Symmetric Band Matrix

LIjie-hong1,WANG Cheng2
(1.College of Sciences Tianjin University of Science&Technology,Tianjin 300222,China;2.Tangshan College, Tangshan 063000,China)

This paper attempts to imp rove Quasi-Lanczos of the inverse problem for real symmetric band matrix which can be applied to all cases and this algorithm is simple with stable numerical value.

eigenvalues;inverse problem;Quasi-Lanczos algorithm

O241.6

A

1672-349X(2010)06-0022-01

2010-09-22

李杰紅(1970-),女,副教授,主要從事計算數學方面的研究。