體積函數的導函數等于全面積函數的幾何體

劉國祥

（赤峰學院 數學學院，內蒙古 赤峰 024000）

體積函數的導函數等于全面積函數的幾何體

劉國祥

（赤峰學院 數學學院，內蒙古 赤峰 024000）

應用微分方程的方法，證明了存在圓柱、圓錐、正棱錐，使得其體積函數的導函數等于全面積函數.關鍵詞：圓柱；圓錐；正棱錐；微分方程；齊次方程

1 引言

V'(x)=πx2=S(x).這就是說明半徑為x，(x>0)的球的體積函數的導函數等于全面積函數.文[1]證明了存在正三棱錐和正四棱錐，使得其體積函數的導函數等于全面積函數.文[2]證明了存在正n三棱錐，使得其體積函數的導函數等于全面積函數.下面證明存在圓柱、圓錐、正棱錐，使得其體積函數的導函數等于全面積函數.

2 圓柱

定理1 存在圓柱體，使得其體積函數的導函數等于全面積函數.

證明 對于圓柱體，設底面半徑為x，(x>0)，高為h(x)，則

體積 V(x)=πx2h(x)

全面積 S(x)=2 πx2+2 πx h(x)

則 V'(x)=2 πx h(x)+πx2h'(x)

設V'(x)=S(x)

就有 2 πx h(x)+πx2h'(x)=2 πx2+2 πx h(x)

因而h'(x)=2

因此h(x)=2 x+c，其中c是使得h(x)>0的常數.

則存在圓柱體，使得其體積函數的導函數等于全面積函數.

3 圓錐

定理2 存在圓錐體，使得其體積函數的導函數等于全面積函數.

證明 對于圓錐體，設底面半徑為x，(x>0)，高為h(x)，母線長為l(x).

其實，由（1），根據微分方程的有關定理，就說明了解的存在性.當然，以下的證明不難，但是幾乎綜合了各種積分的計算.

4 棱錐

定理3 存在棱錐體，使得其體積函數的導函數等于全面積函數.

證明 設棱錐的底面邊長A B=x,O為底面中心，C是A B的中點.棱錐的高記為O P=h(x)，（圖略）把或者（1 0），就得到h(x)關于x的隱函數.其中c2是使得h(x)>0的任意實數.這就證明了定理.

〔1〕張敬坤，李金嶸.一個猜想的解決.數學通訊，2008（19）.

〔2〕薛志成.正n棱柱體積函數的導函數與表面積函數.數學通訊，2009（4）.

O 1 7 4

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1673-260X（2010）10-0003-02