哲學(xué)美的升華
——談解析幾何中的哲學(xué)觀點(diǎn)

陳華喜

（蚌埠學(xué)院 數(shù)理系，安徽 蚌埠 2 3 3 0 3 0）

哲學(xué)美的升華
——談解析幾何中的哲學(xué)觀點(diǎn)

陳華喜

（蚌埠學(xué)院 數(shù)理系，安徽 蚌埠 2 3 3 0 3 0）

解析幾何與哲學(xué)有著許多的內(nèi)在聯(lián)系，解析幾何定律中蘊(yùn)含著哲學(xué)，同時(shí)哲學(xué)又指導(dǎo)著解析幾何的發(fā)展.把哲學(xué)思想寓于解析幾何教學(xué)之中，運(yùn)用哲學(xué)原理指導(dǎo)解析幾何學(xué)習(xí)，能夠使學(xué)生更好地掌握解析幾何知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的辯證思維，提高學(xué)習(xí)效率，取得好的教學(xué)效果.

解析幾何；哲學(xué)；觀點(diǎn)

哲學(xué)是研究自然界、人類社會(huì)和思維發(fā)展一般規(guī)律的科學(xué)，是一種理論化、系統(tǒng)化的世界觀；而數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的具體科學(xué).哲學(xué)為數(shù)學(xué)提供方法論指導(dǎo)，是數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)工作和生活的重要工具，同時(shí)又是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的之一.數(shù)學(xué)遵循哲學(xué)規(guī)律而產(chǎn)生、變化、發(fā)展,解析幾何作為數(shù)學(xué)的分支，是一門變量學(xué)科，其中也蘊(yùn)涵著豐富的哲學(xué)思想.恩格斯說(shuō)：“有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)”.因此，在解析幾何教學(xué)中進(jìn)行哲學(xué)思想的滲透有十分重大的意義.

1 解析幾何中的唯物論觀點(diǎn)

1.1 普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)

普遍聯(lián)系是物質(zhì)世界存在的真實(shí)形態(tài).聯(lián)系作為唯物辯證法的基本范疇，是指世界上一切事物都處在普遍聯(lián)系之中，事物之間以及事物內(nèi)部的各要素之間相互依賴，相互影響，相互制約，相互作用.解析幾何中的內(nèi)容也不是孤立存在的，它們之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.在解析幾何中，向量以及向量的數(shù)量積和向量積的表示方法就有代數(shù)表示和幾何表示，這兩種表示方法之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系；另外，直線和平面方程的各種表示形式以及點(diǎn)線面的相互關(guān)系的判定條件都有幾何和代數(shù)兩種形式，這都體現(xiàn)了聯(lián)系的觀點(diǎn).再如，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以產(chǎn)生曲線，曲線與曲線的相交可得點(diǎn)，曲線的運(yùn)動(dòng)可以產(chǎn)生曲面，曲面與曲面相交可得曲線，我們也往往利用這一普遍聯(lián)系方法來(lái)獲得空間曲線，如空間曲線可以看作射影柱面x2+(z-2)2=4與x2=-4 y的交線（如圖1）.

1.2 運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的觀點(diǎn)

事物是不斷變化、發(fā)展的，在事物發(fā)展過(guò)程中，內(nèi)部矛盾是事物發(fā)展的根本動(dòng)力，外部矛盾是事物發(fā)展的外在動(dòng)力.數(shù)學(xué)也是不斷發(fā)展的，在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，內(nèi)部矛盾和外部矛盾共同起作用.例如，在解析幾何中，橢球面=1可以看作是旋轉(zhuǎn)橢球面經(jīng)過(guò)坐標(biāo)的拉伸變換而得，并且可以看成是由一個(gè)橢圓的變化（大小位置都改變）而產(chǎn)生的，這個(gè)橢圓在變化中保持所在平面與x o y平面平行，且兩軸的端點(diǎn)分別在兩個(gè)橢圓上滑動(dòng)。另外，雙曲面、橢圓拋物面也可由相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面經(jīng)過(guò)坐標(biāo)的拉伸變換得到，并且也可由相應(yīng)曲線的運(yùn)動(dòng)、變化而得到.這種運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展正突現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)所在.

2 解析幾何中的辯證法觀點(diǎn)

2.1 對(duì)立統(tǒng)一觀點(diǎn)

對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的實(shí)質(zhì)和核心，它揭示了事物發(fā)展的源泉和動(dòng)力在于事物內(nèi)部的矛盾性，矛盾對(duì)立面的統(tǒng)一和斗爭(zhēng)推動(dòng)事物的發(fā)展.每一種數(shù)學(xué)理論中都含有互相矛盾的雙方，它們既對(duì)立又統(tǒng)一，構(gòu)成這種理論存在和發(fā)展的前提.解析幾何中到處充滿著矛盾，充滿著各種對(duì)立面的轉(zhuǎn)化.例如，直線可以看成半徑為無(wú)窮大的圓，半徑為無(wú)窮大的圓也可以看成直線.就是說(shuō)在這種意義下，直線和圓可以互相轉(zhuǎn)化.又如，平面可以看成半徑為無(wú)窮大的球，半徑為無(wú)窮大的球也可以看成平面，在這種意義下，兩者是統(tǒng)一的，可以互相轉(zhuǎn)化、替代.再如，解析幾何中的“數(shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，它們的對(duì)立體現(xiàn)在“數(shù)量”與“圖形”是兩個(gè)不同的概念.它們的聯(lián)系是，每個(gè)圖形及其幾何特征有著相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，每個(gè)函數(shù)及其某些特征有著相應(yīng)的幾何意義.正是“數(shù)”與“形”的對(duì)立統(tǒng)一構(gòu)成了解析幾何這門學(xué)科存在的基礎(chǔ).

2.2 主要矛盾與次要矛盾在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

唯物辯證法認(rèn)為，在復(fù)雜事物之中，存在著許多矛盾，主要矛盾在事物發(fā)展過(guò)程中處于支配地位，起決定作用.主要矛盾和次要矛盾相互聯(lián)系、相互影響.

解析幾何中，在學(xué)習(xí)直線和平面的相關(guān)位置時(shí)，只要注意到直線的方向向量和平面的法向量這一主要矛盾，便可以輕松地解決直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系判定條件以及兩異面直線公垂線方程、點(diǎn)到直線或平面的距離等問(wèn)題.如直線l:和平面π:A x+B y+C z+D=0，判定其位置關(guān)系只要根據(jù)直線l的方向向量v軆={X,Y,Z}和平面 π 的法向量n軋={A,B,C}的位置關(guān)系來(lái)判定即可：①相交的充要條件：A X+B Y+C Z≠0，②平行的充要條件：A X+B Y+C Z=0,A x0+B y0+C z0+D=0，③直線在平面上的充要條件：A X+B Y+C Z=0,A x0+B y0+C z0+D≠0.當(dāng)然，在學(xué)習(xí)解析幾何其它內(nèi)容時(shí)，我們也應(yīng)當(dāng)注意處理好主要矛盾與次要矛盾這一關(guān)系，這樣不僅有助于我們理解、學(xué)習(xí)，更有助于加深我們的記憶.

2.3 量變、質(zhì)變的觀點(diǎn)

事物的發(fā)展變化都表現(xiàn)為由量變到質(zhì)變，再由質(zhì)變引起新的量變的反復(fù)過(guò)程.數(shù)學(xué)理論的變化和發(fā)展符合量變質(zhì)變規(guī)律.數(shù)學(xué)中每種概念的存在都有著特定的量的界限，如果量變超出了這個(gè)界限，就會(huì)發(fā)生質(zhì)變，形成另一種概念，這種新概念又存在著自己特有的新的量變.在解析幾何中，從二維向量到三維向量，甚至更多維向量，由于維數(shù)的增加，這個(gè)量變引起了質(zhì)變，使平面圖形變成了空間圖形，甚至更為抽象的“體”.比如，方程x+y=1在二維平面上表示直線，而在三維向量空間中則表示平面；而方程x2+y2=1在二維向量空間（平面）上表示中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓，而在三維向量空間中則表示中心在z軸上，半徑為1的圓柱.又如，在空間直角坐標(biāo)系下，方程表示單葉雙曲面（圖2），用平面y=h截曲面，得，當(dāng)|h|

圖4

圖5

3 解析幾何中的認(rèn)識(shí)論觀點(diǎn)

3.1 實(shí)踐的觀點(diǎn)

實(shí)踐是人們能動(dòng)地探索和改造現(xiàn)實(shí)世界的一切活動(dòng)，實(shí)踐是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，也是認(rèn)識(shí)發(fā)展的動(dòng)力.解析幾何知識(shí)的形成過(guò)程有著豐富的物質(zhì)背景，這些物質(zhì)背景都反映了人的認(rèn)識(shí)來(lái)源于實(shí)踐，是客觀現(xiàn)象作用于人的大腦的結(jié)果.它與實(shí)踐的依賴關(guān)系體現(xiàn)在運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決生產(chǎn)實(shí)踐中的實(shí)際問(wèn)題.比如，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)曲面的知識(shí)，可以制做生活中的很多種使用物品，如現(xiàn)實(shí)生活中的救生圈、花瓶、衛(wèi)星接收器等等；又如，根據(jù)單葉雙曲面的直紋性可知發(fā)電廠冷卻塔等建筑物的構(gòu)建原理；再如，使兩個(gè)拋物線互相垂直且開口方向相反，讓一條拋物線不動(dòng)，另一條拋物線在其上滑動(dòng)，就可以得到馬鞍面，根據(jù)這個(gè)理論，人們就可以做出馬鞍模型.這種理論與實(shí)踐的結(jié)合，有利于我們深刻、廣泛地從實(shí)際事物的量的關(guān)系和空間形式來(lái)正確地認(rèn)識(shí)世界和能動(dòng)地改造世界.當(dāng)然用數(shù)學(xué)得出的結(jié)果是否正確要經(jīng)過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn).

3.2 相對(duì)性與絕對(duì)性

事物是相對(duì)的，又是絕對(duì)的，解析幾何中的許多研究對(duì)象也是如此.例如，前面談到的方程x+y=1在平面上表示直線，在空間則表示平面；而方程x2+y2=1在平面上表示圓，在空間卻表示圓柱.又如，方程f(x,y,z)=0在空間表示點(diǎn)的集合（絕對(duì)的），一旦x,y,z滿足特定關(guān)系，將表示一具體幾何圖形（相對(duì)的），比如方程表示馬鞍面，等等.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果認(rèn)識(shí)不到相對(duì)性和絕對(duì)性，就容易產(chǎn)生思想上的混亂.

總之，解析幾何內(nèi)部處處蘊(yùn)含著哲學(xué)思想，這就要求教師應(yīng)具備足夠的哲學(xué)知識(shí)，并能用哲學(xué)的觀點(diǎn)去分析幾何的發(fā)展、從事幾何教學(xué)，這才能變抽象枯燥為具體生動(dòng)，才能將教學(xué)內(nèi)容安排得精細(xì)周密使自己的語(yǔ)言豐富而充滿哲理，達(dá)到理想的教學(xué)效果.

〔1〕呂林根.許子道.解析幾何(第四版)[M].北京:高等教學(xué)出版社,2006.

〔2〕戴美鳳.數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].寧波大學(xué)學(xué)報(bào),2001（3）.

〔3〕葉敦平.馬克思主義原理[M].北京:高等教育出版社,1999.

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1673-260X（2010）10-0005-02