概率論與數理統計教學方法改革與實踐

楊立夫

（陜西理工學院 數學系，陜西，漢中 723000）

概率論與數理統計教學方法改革與實踐

楊立夫

（陜西理工學院 數學系，陜西，漢中 723000）

概率論與數理統計是高等學校各專業的一門重要專業基礎課.本文結合多年的教學實踐，討論了在教學中如何讓學生更好地理解概率統計的概念、方法，同時將數學建模的思想融入到教學過程中，并介紹如何利用Matlab來解決數理統計問題，培養學生利用概率思想分析、解決隨機問題的能力.

直觀性描述；數理統計；數學建模；Poisson分布

1 前言

概率論與數量統計是研究隨機現象統計規律性的一門學科.隨機性，特別是隨機過程及其數學方法已經廣泛而迅速地滲透到計算機科學、生物、醫學、工業工程、金融以及自然科學與高新技術等各領域.概率論與數量統計課程已成為理工科各專業一門必修的專業基礎課.在多年的教學實踐中，深感目前的教學側重于抽象的理論介紹及繁瑣的計算，強調理論的系統性而忽略了概率統計的思想方法及其應用，從而造成了學生在后繼專業課程中不會用的尷尬局面.

2 從直觀描述到理性思考，使學生更好地理解概率論與數量統計的基本概念和方法

在概率論與數理統計中，許多概念的直觀性描述非常容易理解，如頻率、獨立性、條件概率、均值等，但相應的抽象定義就不那么容易理解了.當學生從直觀上感性地理解了這些概念后，如何經過理性思考將它們抽象為嚴格的數學概念，這個過程不但可以使學生深刻地理解基本概念和基本公式，而且還可以和其它數學類課程一脈相承，在學習過程中逐步培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力以及歸納和類比的能力，為以后靈活地應用概率統計知識理解和解決隨機問題打下堅實基礎.

例如：（1）從頻率→概率的統計定義→概率的公理化定義：由試驗觀察得到的頻率穩定性立即可以得到概率的統計定義，這也為以后數理統計的一些基本思想的理解打下基礎，然后通過對頻率性質的分析，結合高等數學中極限的相關性質，利用公理化思想抽象就可以得到概率的公理化定義；

（2）從平均值→離散型隨機變量的數學期望→連續型隨機變量的數學期望：在測量某一工件的長度時，由于隨機誤差，我們通常取多次測量的平均值作為工件的長度，即x軃=1+2+L m=n，x軃仍為隨機變量，而工件的長度是一確定值，如何盡可能地求出其精確值呢？很自然就會想到測量次數越多就會越精確，也即n→∞，此時就趨近于xk出現的概率Pk，從而若用表示其長度就精確了，結合前面概率的定義及事物的復雜性，很自然通過歸納就可得到離散型隨機變量X的數學期望.再通過類比，由離散與連續的關系可得，當X為連續性隨機變量時，Pk可用f(x)d x代替（其中f(x)為連續性隨機變量X的概率密度），此時連續性隨機變量X的數學期望可不嚴格地表示為d x，結合定積分定義立即得到連續型隨機變量的數學期望E等等.

通過這些一個個從直觀→抽象，從已知→未知的具體過程的展示，一方面可以使學生深刻地理解概念，同時又培養了抽象思維能力和數學素質，為以后靈活地應用概率統計知識分析和解決隨機問題以及創新思維打下了堅實基礎.

3 注重實踐，培養學生的動手能力和創新意識

概率論與數理統計在實際生活和科學研究中有著廣泛的應用.注重概率統計的應用，通過解決生產實際中的一些現實問題，不但能激發學生的學習興趣，還能培養他們自主學習能力和動手能力.這對培養高素質的工程應用型人才是很重要的一個環節.

在教學過程中，我舉了一個“摸彩票”模型，在給出了摸彩規則和中獎規則后，讓學生回答三個問題：（1）中獎概率與摸彩次序有沒有關系？（2）假設發行了2 0 0萬張彩票，中一、二等獎的概率各是多少？如果發行1 0 0 0萬張彩票中獎的概率又是多少？（3）如果你打算摸彩中獎，在什么條件下中獎概率會大一些？學生很快給出了幾種答案，最后和學生一道邊分析邊講解，在已知條件下給出了問題解答，讓學生明白真正中獎的概率是很小的，要科學看待“摸彩”這一現象.緊接著，又給了兩個問題：

(1)保險公司在什么條件下才能盈利？

(2)利用閑暇時間觀察2 1路公交車各時段乘車人數，根據觀察數據，為該線路設計一個便于操作的公交車調度方案，包括發車時刻表；一共需要多少輛車；這個方案以怎樣的程度照顧到了乘客和公交公司雙方的利益.

要求學生任選一題統計調查寫出書面報告.學生們的興趣很高，通過查資料、觀察完成了作業，取得了較好的效果.通過統計調查，學生可真正深入實際，應用統計方法觀察、了解社會，解決一些簡單的實際問題.一方面加強并擴展了所學的知識，另一方面培養了學生的動手能力和創新意識.遺憾的是，由于課程內容和學時的限制，這一活動受到很大限制.

4 融數學建模思想于教學之中，提高學生的應用能力

在教學過程中發現很多學生對概念和公式記的很熟，但對一些分布如正態分布、P o i s s o n分布等是如何得到的感到困惑，因此一遇到實際問題就茫然不知所措，不知道該如何應用所學知識來解決.針對這種情況，在教學中將數學建模的思想融入到教學過程之中，通過解決一些實際問題，培養學生的綜合應用能力和創新能力.如P o i s s o n分布在保險理賠中的應用.

例1 某保險公司為對該公司的某一保單組合的經營風險做出評估，需要了解該保單組合在一給定的時間區間內的索賠次數的分布.假定所觀察的這段時間為(0,t]，將這段時間中到來的索賠次數記為P(t)，請分析索賠發生的統計規律.

解 通過分析，可作如下假設：

（1）在互不相交的各時段內，索賠的發生是相互獨立的；

（2）在相同長度的時間段內，索賠發生的統計規律是相同的；

（3）在每一小段時間(t,t+△t)內索賠發生的概率為λ△t+o(△t)

若計Pk(t)為時間段(0,t]內的索賠次數，則有

若令t=1就得到在單位時間段(0,t]內的索賠次數為pk(t)即為 P o i s s o n分布.

通過這個問題的解決，一方面讓學生了解常見的分布在我們現實生活中生活大量存在的，為日后利用常見分布如正態分布、P o i s s o n分布、指數分布等解決問題樹立了一種理念，另一方面，本問題的解決綜合應用了微積分、常微分方程、概率統計等知識，對培養學生的綜合應用能力也是一種鍛煉.

5 Matlab在教學中的應用

隨著計算機的廣泛使用，將人們從大量繁復的計算中解脫出來，在教學中，通過使用M a t l a b的數據處理功能，將數理統計中大量的數據處理交由計算機處理，學生將主要精力放在理解概率統計的概念、思想和方法上.M a t l a b在教學中的應用主要有兩種形式：

（1）模擬試驗：如拋擲硬幣試驗，正態分布模擬試驗等；

（2）數據處理：如參數估計、假設檢驗、方差分析、回歸分析等等.

例2（正態分布模擬試驗）>>p=r a n d n(3 0 0 0 0,1);

例3（概率計算）已知二維隨機變(x,y)的聯合概率密度為

例4[1,4]（假設檢驗問題）某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，包得的袋裝糖重是一個隨機變量，它服從正態分布.當機器正常時，其均值為0.5公斤，標準差是0.0 1 5公斤.某日開工后為檢驗包裝機是否正常，隨機抽取它所包裝的9袋糖，稱 得 凈 重 為 （ 公 斤）：0.4 9 7，0.5 0 6,0.5 1 8，0.5 2 4，0.4 9 8,0.5 1 1，0.5 2 0，0.5 1 5，0.5 1 2.問機器是否正常工作？

解 用M a t l a b解決如下：

當然，這樣做與課程的最后考核方式也緊密相關，必須改變傳統單一的考核方式.考核結果有兩部分組成：一是閉卷考試，主要考察學生對基本概念、基本思想方法的理解和掌握程度，二是開放性考核，給學生一個實際問題，通過簡單的數學建模并借助計算機處理大量數據得到問題的解.

實踐證明,通過以概率思想為主線,加強數學建模在教學過程中的滲透,并適當介紹數學軟件的應用,可以使原本抽象、枯燥難懂的數學理論變得有滋有味,激發學生的求知欲望,提高學生對該課程的學習興趣，從而提高課堂教學質量.

〔1〕盛驟,謝式前，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社,2006：213-215.

〔2〕劉海峰,等.從數學建模角度思考《概率論與數理統計》的教改途徑[J].科技創新導報,2009(6):140.

〔3〕蕭樹鐵.隨機數學[M].北京：高等教育出版社,2000：86-87.

〔4〕張德豐.Matlab概率論與數理統計分析[M].北京：機械工業出版社,2010:161-166.

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1673-260X（2010）10-0206-02