牛頓法在隱函數中的應用

李德榮，何莉敏

（內蒙古科技大學 數理與生物工程學院，內蒙古 包頭 014010）

牛頓法在隱函數中的應用

李德榮，何莉敏

（內蒙古科技大學 數理與生物工程學院，內蒙古 包頭 014010）

牛頓法是求非線性方程根的一種非常重要的方法，它還可以用來求非線性方程組的根等，但是牛頓法在隱函數中的應用卻鮮為人知.本文給出牛頓法在隱函數中的應用，當x給定時，如何來求對應的滿足精度要求的y值.

牛頓法；隱函數；迭代

眾所周知，牛頓法的應用非常廣泛，它可以用來求非線性方程的單根、重根，非線性方程組的根等，但是牛頓法在隱函數中的應用卻鮮為人知.下面我們就來討論牛頓法在隱函數中的應用.

1 牛頓法簡述

設xk是方程f(x)=0的一個近似根，把f(x)在xk處進行泰勒展開有：

從而，將方程近似的轉化為：f(xk)+f(xk)(x-xk)=0

2 隱函數定理

3 牛頓法在隱函數中的應用

根據上述的隱函數定理，我們知道在相當一般的條件下，方程F(x,y)=0定義了y作為x的一個函數是存在的.那么，在應用中我們經常遇到的問題是，對隱函數F(x,y)，當x給定時，如何來求y的值.如果是顯函數的話，給定x，代到函數中直接可得到函數值y.當是隱函數的時候，我們就可以用牛頓法來求y的值.根據牛頓公式，將其改進為：

因此，當x給定時，就可得到y1,y2,…，從而，就可以得到滿足精度的y值.如果，我們已經得到一對值(xn,yn)，使得F(xn,yn)=0，我們希望得到xn附近xn+1對應的值yn+1，則由(xn+1,yn)開始進行牛頓迭代.因為F(xn,yn)=0并且xn+1接近于xn，所以我們希望F(xn+1,yn)較小且很少的幾步迭代就能對yn進行必要的校正，從而得到滿足精度要求的yn+1的值.

例 建立一個x與y相對應的表，這里y被定義為x的一個隱函數.利用F(x,y)=3x7+2y5-x3+y3-3且從x=0開始，以0.1為步長，依次進行到x=10為止.

解 從 x=0開始，且當 x=0時，y=1.所以設 x0=0，y0=1，接下來求當x1=-.1時，y1的值.迭代從(x1,y0)開始，利用所給公式應有進行迭代，取 y=y，即：1,00(x1,y1,0)代入x1=0.1，y1,0=1依次進行4步迭代后有y1,4=1.0000077，所以求得y2=y1,4=1.0000077.利用同樣的方法，可以求得x2=0.2時對應的y2的值，令y1=y2,0，迭代公式為：

將上述算法還可以編程上機進行運算.

〔1〕David Kincaid Ward Cheney.數值分析[M]．湖北廣播電視大學學報，2005：63-67.

〔2〕李有法，李曉勤.數值計算方法（第 2 版）[M].北京：高等教育出版社，2005：21-28.

〔3〕李慶揚，王能超，易大義.數值分析（第 4 版）[M].清華大學出版社，施普林格出版社，2006:276-282.

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1673-260X（2010）01-0011-01