基于HFI代數的模糊命題演算的形式演繹系統

秦學成，劉春輝

（赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

基于HFI代數的模糊命題演算的形式演繹系統

秦學成，劉春輝

（赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

建立了一個基于HFI代數的模糊命題演算形式系統H*,研究了這個系統的基本特征.并討論了該系統關于建立在HFI代數上語義的完備性.

HFI代數；模糊邏輯；演繹系統；完備性

1 引言與預備

隨著智能計算機的出現,模糊控制技術得到了飛速的發展.而各種模糊控制又是以其特定的模糊推理和模糊邏輯為基礎的.在各種邏輯系統中,“蘊涵”是一個基本的邏輯連接詞,通常稱之為蘊涵算子.為了適應不同的模糊推理的需要,國內外的專家和學者引入了許多不同的蘊涵算子,如Zadeh算子,Kleene算子,覵ukasiewicz算子,G觟del算子和王國俊教授提出的R0算子等.為了研究蘊涵算子的共同本質,吳望名教授引入了Fuzzy蘊涵代數和Heyting型Fuzzy蘊涵代數(簡稱HFI代數)的概念,并研究了它們的一些基本性質[1].

值得注意的是,利用代數賦值的方法來研究命題邏輯問題,無論是在經典邏輯還是在非經典邏輯中都是極為重要的.然而,從某種意義上講,代數賦值的方法在邏輯上的等效性主要取決于賦值域的合理選擇和賦值本身所具有的良好性質.正是因為如此,人們從不同的邏輯背景出發提出了各種不同的語義代數結構,如MV代數[2],BCK代數,格蘊涵代數[3],BL代數,剩余格和R0代數[4-5]等.對這些邏輯代數的研究和思考,已經得到了國內外學者的廣泛關注,獲得了許多良好的結果.并分別以它們為基礎建立了各種各樣的命題演算的形式系統[6-9].本文我們建立了一個基于HFI代數的模糊命題演算的形式系統H*,研究了這個系統的基本特征,并討論了該系統關于建立在HFI代數上語義的完備性.

為了討論方便,我們首先給出一些預備知識:

定義 1.1[1]（2，0）型代數（X，→，0）稱為 Heyting型Fuzzy蘊涵代數,簡稱HFI代數,如果對于任意的x,y,z∈X都有

引理 1.2[1]設(X,→,0)是HFI代數,在X上定義二元關系≤使得坌x,y∈X,x≤y當且僅當x→y=1,則(X,≤)是一個偏序集,且分別以0和1為最小元和最大元.

引理 1.3[1]設(X,→,0)是 HFI代數,則坌x,y,z∈X都有

2 模糊命題演算的形式演繹系統H*

定義2.1 模糊命題演算的形式演繹系統H*由以下幾部分構成:

(I)公式集F(S):一個含有特定公式0的→型自由代數.即:①∈F(S);②若 A,B∈F(S),則 A→B∈F(S).

(II)公理集Axm(H*).Axm(H*)由以下形式的公式組成:

(III)推理規則:MP規則.即由A和A→B推得.

在系統H*中,一些關于邏輯的術語和記號是自明的(見文獻[4]和[5]).如定理,從公式集Г的推演以及可證等價等等.我們仍用記號┝A,Г┝A,A≈B分別表示A是H*中的定理,Г結論,A和B可證等價.

注2.2 顯然,在系統H*中,推理規則MP是保定理的.即如果┝A且┝A→B,則┝B.

定理2.3 在系統H*中,三段論推理規則HS成立.即{A→B，B→C}┝A→C.

這樣就證明了在系統H*中,三段論推理規則HS成立.

推理2.4 在系統H*中,如果┝A→B且┝B→C,則┝A→C.

定理2.5 在系統H*中,以下公式都是定理:(ii)(A→B)→((C→A)→(C→B)是定理的證明如下:

(v)由(iv)可得├A→((A→0)→0),即 A→┐┐A是系統H*中的定理.

定理2.6 在系統H*中,演繹定理成立.即設Г奐F（S）,A，B∈F（S）,如果 Г∪{A}├B,則 Г├A→B.

證 類似于文獻[5]中關于經典邏輯的演繹定理的證明,這里從略.

引理 2.7 在系統 H* 中,坌A，B，C∈F（S）有

(1)如果├B,則├A→B;

(2)如果├A→（B→C）,則├B→（A→C）;

(3)如果├A→B,則├（B→C）→（A→C）且├（C→A）→（C→B）.

證 (1)因為由(H*1)知├B→（A→B）,故由├B及系統H*中MP規則保定理便得├A→B.

(2)因為由(H*2)知├（A→（B→C））→（B→（A→C））,故由├A→（B→C）├B及系統 H*中 MP規則保定理便得├→（A→C）.

(3)因為由定理 2.5(iii)可知├（A→B）→（（B→C）→（A→C））,故由├A→B及系統 H*中 MP規則保定理便得├（B→C）→（A→C）.類似地由定理2.5(ii)和MP規則保定理有可得├（C→A）→（C→B）.

定義2.8 設A，B∈F(S),如果├A→B且├B→A,則稱A與B可證等價,記為A≈B.

定理2.9 在系統H*中,可證等價關系≈是一個→型同余關系.并且所有定理恰好形成一個等價類,記為[T].

證 由定理2.5(i),≈的定義和推論2.4分別可知≈是自反的,對稱的和傳遞的,從而≈是F（S）上的一個等價關系.為證≈是一個同余關系,下面只需證明坌A，B，C，D∈F（S）,如果 A≈B 且 C≈D,則 A→C≈B→D.事實上,設 A≈B 且 C≈D,則├A→B,├B→A,├C→D且├D→C.故根據引理2.7(3)以及├A→B和├D→C可得├（B→D）→（A→D）且├（A→D）→（A→C）,從而由推論 2.4便得├（B→D）→（A→C）.類似地由引理2.7(3)以及├B→A和├C→D又可得├（A→C）→（B→D）.故由定義2.8便得A→C≈B→D.這樣就證明了可證等價關系≈是一個→型同余關系.

現在設├A.若 B∈F（S）,A≈B,則├A→B,故由系統H*中MP規則保定理知├B.即B∈[T].反之如果├B,則由引理2.7(1)可知├A→B且├B→A,故由定義2.8知A≈B.即H*中所以定理恰好形成一個等價類[T].進而定理結論成立.

定理2.10 假設F（S）是系統H*中的公式集,≈是F（S）上的可證等價關系,則商集

證 由定理2.9可知系統H*中的可證等價關系≈為F(S)上的同余關系,從而保證了等價類間的運算|→與各類中的代表元的選取無關,即|→為F(S)上的二元運算.下證(F(S)/≈,|→,0)是一個 HFI代數.事實上,

(1)由(H*1)知[A]|→（[B]|→[A]）=[A]|→[B→A]=[A→（B→A）]=[T]，故(H1)成立.

(2)由(H*3)可得 （[A]|→（[B]|→[C]））|→（（[A]|→[B]）|→（[A]|→[C]））=[A→（B→C）]|→[（A→B）→（A→C）]=[（A→（B→C））→（（A→B）→（A→C））]=[T],故(H2)成立.

(3)如果[T]|→[A]=[T],則[T→A]=[T],故 T→A≈T,從而由定理2.9可得├T→A,又由引理2.7(1)顯然有├A→T,故 A≈T,即[A]=[T].故(H3)成立.

(4)如果[A]|→[B]=[B]|→[A]=[T],則[A→B]=[T],故根據定理2.9可知├A→B且├B→A,于是A≈B,即[A]=[B].故(H4)成立.

(5)由(H*4)可知[0]|→[A]=[0→A]=[T],且[T]=[0→0]=[0]|→[0],故(H5)也成立,從而(F(S)/≈,|→,0)是一個HFI代數.

3 系統H*的語義和完備性

在本節中,我們將為系統H*在一般的HFI代數上建立相應的語義,并推論其完備性.

定義3.1 設(H→,0),是HFI代數,F(S)是系統H*的公式集,A∈F(S).令v:F(S)→H.

(1)如果v是從F(S)到H的同態,即v(0)=0且v(A→B)=v(A)→v(B),則稱v是一個→型H-賦值,記全體H-賦值之集為Ω（H）.

(2)如果坌v∈Ω,恒有v(A)=1,則稱公式A是一個H-重言式,記作蕕HA.

定理3.2(H-可靠性) 設（H，→，0）是任意的HFI代數,F（S）是系統H*的公式集,A∈F(S).如果├A,則蕕HA.

證 這只需證明系統H*中的每條公理都是H-重言式,且MP規則保H-重言式即可.事實上,坌v∈Ω（H）,A，B，C∈F（S）,由 HFI的定義 1.1 和引理1.3易得

從而系統H*中公理(H*1)—(H*4)都是H-重言式.

又如果A和A→B都是H-重言式,即坌v∈Ω都有v(A)=1且v(A→B)=1,則有v(B)=1→v(B)=v(A)→v(B)=1,故MP規則也保H-重言式.從而證明了H-可靠性定理是成立的.

定理3.3([H]-完備性) 設F(S)是系統H*的公式集,A∈F(S),則├A當且僅當蕕[H]A.

證 “必要性”:由定理2.10和定理3.2立即可得.

“充分性”:設蕕[H]A,則坌v∈Ω([H])有 v(A)=[T].取v 為從 F(S)到[H]的自然投射,即 v:F(S)→[H]使得 v(X)=[X],坌X∈F(S),則[A]=v(A)=[T],故由定理 2.9便知├A.從而[H]-完備性定理得證.

定理3.4(H-完備性) 設 (H,→,0)是任意的HFI代數,坌A∈F(S),則├A當且僅當蕕HA.

證 必要性由H-可靠性定理可得.充分性由[H]=F(S)/≈為HFI代數和定理3.3既得.

以上我們建立了一個基于HFI代數的模糊命題演算的形式演繹系統H*,并為該系統在一般的HFI代數上建立了語義理論,從而討論了該系統的完備性.這為模糊推理在應用領域又提供了一個良好的基礎框架和數學模型.

〔1〕吳望名.Fuzzy蘊涵代數 [J].模糊系統與數學，1990,4(1):56—64.

〔2〕劉練珍,王國俊.Fuzzy蘊涵代數與MV代數[J].模糊系統與數學，1998,12(12):21—25.

〔3〕徐揚.格蘊涵代數[J].西南交通大學學報,1993,28(1):20-27.

〔4〕王國俊.非經典數理邏輯與近似推理[M].北京:科學出版社,2006.

〔5〕王國俊.數理邏輯引論與歸結原理(第二版)[M].北京:科學出版社,2006.

〔6〕裴道武,王國俊.形式系統L*的完備性及其應用[J].中國科學(E 輯)，2002,32(1):56-64.

〔7〕朱怡權.格蘊涵代數與Lukasiewicz邏輯系統[J].內蒙古師范大學學報 (自然科學版)，2004,35(2):121-123.

〔8〕傅麗.次BL代數的推理系統[J].陜西師范大學學報，2002,30(1):17—21.

〔9〕裴道武.強正則剩余格值邏輯系統LN及其完備性[J].數學學報，2002,45(4):745—752.

O141.1；O153.1

A

1673-260X（2010）01-0004-03