研究不精確現象的新數學工具—不確定理論

王小勝,王保國

(1.河北工程大學理學院,河北邯鄲 056038;2.邯鄲鋼鐵集團 設備制造安裝有限公司,河北 邯鄲056015)

在人類社會實踐活動中,存在著大量的無法避免的各種各樣的不精確現象。如何認識這些不精確現象,如何發掘這些不精確現象背后的規律,如何建立恰當的數學模型來刻畫、研究這些不精確現象,一直是科學研究工作者熱衷追求的奮斗目標。對于不精確現象,大致分為了客觀不精確性和主觀不精確性。對于客觀不精確現象,人們利用概率論建立相關的數學模型來研究,并取得了非常豐富的研究成果,并廣泛應用在隨機系統、隨機控制、可靠性、金融保險、國民統計、統計決策等領域。

然而不可否認,每一個學科都有各自的應用領域及局限范圍,概率論也一樣不能夠完全解釋人類社會實踐活動中的所有不精確性問題。由于人類主觀意識造成的不精確性,或者由于人類語言表達的不精確性,如“大約 100km”、“高速”、“大小適中”等,又應該如何去認識、刻畫呢?有的學者主張利用主觀概率建立數學模型研究[1],有的學者主張利用Dempster-Shafer理論建立數學模型[2],美國控制論專家Zadeh[3-5]主張利用模糊集理論進行研究,清華大學劉寶碇教授也曾經為此建立可信性理論[6]。然而,大量調研發現,這些理論都存在各自的悖論。

1 不精確性研究中的經典悖論

1.1 主觀概率的悖論

Cohen[7]通過調研指出如果甲、乙兩個人到某同一目的地的可能性分別是0.3和0.4,當甲、乙兩人是否到目的地相互獨立時,最后兩人同時到目的地的可能性要遠遠大于0.12。即此時不再滿足概率中獨立事件的乘積概率公式。另外,清華大學劉寶碇教授[8]在2010年給出了如下的例子。

有10個城市,各城市之間距離相等,均為96km。現在假設不知道城市之間距離,請專家給出城市之間距離的主觀數據。經過調研,專家給出了城市之間距離為(100±5)km。若把城市之間距離理解為[95,105] 上均勻分布的隨機變量,則得到十個城市之間距離和的99%的置信區間為[97,1 203] 。這意味著真實的距離960km以99%的可能性落在區間[97,1 203] 之外。若把該問題應用于可靠性分析中,不難想象可能會出現災難性的后果。

1.2 Dempster-Shafer理論的悖論

Dempster-Shafer理論也被認為是信度函數理論。該理論在概率的基礎上,對概率論的概念進行了擴展。把概率論的事件擴展成命題,把事件的集合擴展成命題的集合等,其實質上是主觀概率的貝葉斯理論的擴展。其中,基本概率分配、信任函數及似然函數等是Dempster-Shafer理論的基本的概念。信度函數允許人們基于信度使用一個問題的概率來推導一個相關問題的概率。這些信度值可能有也可能沒有概率的數學性質,他們與概率的差異大小將取決于這兩個問題的相關性。

雖然Dempster-Shafer理論在實際中得到了一些應用,但其自身的不足也是顯而易見的,特別是在組合高沖突證據時合成的結果常常違背直覺。諸多學者在這個問題上嘗試努力改進,但是到目前為止,這一問題終究沒有得到很好的解決。其中具有代表性的是由Kyburg指出的一個著名的悖論。

某地區發生兇殺案,嫌疑人為 a,b,c。有2人向警方提供證據,證據1:證人e為住在被害人屋子對面的老婦,稱事發時透過窗戶看見嫌疑人a在兇殺現場。證據2:證人 f為被害人的鄰居,稱在事發時段看見嫌疑人c在兇殺現場。

假設我們得到如下基本概率指派

則根據Dempster組合規則得到

這一結果表明嫌疑人 b確定為殺人犯。然而,實際情況是上述證據同時認為該嫌疑人為兇手的可能性是很小的。顯然,這是一個悖論。

1.3 模糊集的悖論

眾所周知,模糊集完全依賴于隸屬度函數。現在考慮“北京到天津大約100km”。如果“大約100km”理解為模糊概念,則可以構造隸屬度函數

上述隸屬度函數表示了一個三角模糊變量(80,100,120)。由此我們得到以下兩個結論:

結論1:北京到天津的距離“恰好為100km”的可能性是1。

結論2:北京到天津的距離“不是100km”的可能性是1。

然而,根據常識知道,北京到天津的距離恰好為100km的可能性是0。另一方面,北京到天津的距離是100km和不是100km的可能性均為1,這個結論顯然難以讓人接受。此例說明了不精確量“大約100km”并不適合利用可能性測度來描述,也說明了其不是模糊概念。

為了更好的研究人類系統的不精確現象,清華大學的劉寶碇教授[8]于2007年建立了不確定理論,并于2010年重新定義了不確定理論,使得該理論更加完善[9-10]。

2 不確定理論

不確定理論從測度論觀點出發,是具有規范性、自對偶性、單調性、次可加性和乘積測度公理的數學系統。不確定測度、不確定變量、不確定分布是不確定理論中3個基本且重要的概念,其中不確定測度用來度量事件發生的可能性大小,不確定變量用來描述不確定現象,不確定分布用來刻畫不確定變量的取值變化規律。

不確定理論是公理化數學的一個分支,是研究主觀不確定性的數學工具,目前該理論在理論研究和應用研究方面均取得了較大的進展。

2.1 不確定測度和不確定變量

設 Γ是一個非空集合,稱為論域。L是Γ上的σ-代數,每個A∈L稱為事件。M{A}是由 L到[0,1] 的集合函數,其用來表征事件A發生的可能性大小,劉寶碇教授給[9]出了如下的公理:

公理1(規范性)M{Γ}=1。

公理3(自對偶性)對于任意的 A∈F,有 M{A}+M{Ac}=1。

公理4(次可列可加性)設 Ai∈L,i=1,2,…,那么

定義1 若集合函數M滿足公理1～4,則稱M是不確定測度,三元組(Γ,L,M)稱為不確定空間。

公理5設(Γk,Mk,Lk),k=1,2,…,n是不確定空間。令M=M1×M2×…Mn,則

即對每個乘積σ-代數L=L1×L2×…×Ln上的事件A,有

定義2 由不確定空間(Γ,L,M)到實數集的可測函數 ζ稱為不確定變量,即對于任意Borel集B,集合{ζ∈B}={γ∈ Γ|ζ(γ)∈B}是一個事件。

注1:公理3(自對偶性)保證了不確定理論滿足排中律和矛盾律。

注2:雖然概率測度滿足公理1～4,但是概率論和不確定理論是互不包含的兩個獨立的數學分支;事實上,概率測度和不確定測度的乘積測度是完全不相同的,即不確定測度滿足下面的乘積測度公理。

注3:Peng證明了乘積測度的公理5滿足不確定測度的公理1～4[11]。

2.2 不確定分布和逆不確定分布

概率論中,以概率密度或分布律刻畫隨機變量;模糊集理論中,以隸屬度函數刻畫模糊變量。不確定理論中,以不確定分布刻畫不確定變量。

Peng和Iwamura[12]證明了函數 Φ(x)為不確定分布的充分必要條件,即

定理1[12]一個函數:R→[0,1] 為不確定分布的充分必要條件是其為單調遞增函數,除非)≡0或者x)≡1。

文獻[8] 研究了線性、zigzag型、正態、對數正態等幾種常見的不確定分布,同時建立了期望值、方差、矩、不確定熵等概念,提出了矩的計算公式及證明了若干重要不等式,如Markov不等式、Chebyshev不等式、Holder不等式、Minkowski不等式及Jensen不等式等。不確定理論中,Liu定義了不確定變量序列的幾乎必然收斂、依測度收斂、依分布收斂、依均值收斂及均方收斂等不同的收斂方式,討論了前4種收斂的關系。另外,You[13]定義了不確定變量序列的幾乎處處一致收斂性,并討論了與幾乎處處收斂,依測度收斂,依均值收斂和依分布收斂的關系。

3 不確定統計

統計學是用來分析、處理自然科學及社會科學信息的工具。不確定統計是清華大學劉寶碇教授2010年提出的一種新的統計方法并做出了重要的基礎性工作[10],該方法主要是通過收集、整理、分析專家經驗數據,利用不確定理論建立數學模型,為最終做出決策提供建議和意見。

不確定統計不同于傳統的數理統計,主要體現在:(1)不確定統計依賴于專家經驗數據而非歷史數據。(2)不確定統計的專家經驗數據是成對出現而非單個的隨機樣本點形式。(3)在實際應用中,專家經驗數據不會太多,故不確定統計不依賴大數定律及中心極限定理。

不確定分布是不確定理論中重要的3個基本概念之一,如何獲得不確定分布及如何估計不確定分布中的未知參數是不確定理論在實踐中應用的根本性問題。Liu[10]首先提出了經驗不確定分布的概念,并建立了最小二乘準則估計不確定分布的未知參數;隨后Wang和Peng[14]建立了不確定矩估計方法估計不確定分布未知參數,Wang,Gao和Guo[15],Gao[16]分別獨立建立了Delphi法估計不確定分布,而關于不確定統計分析及應用則有待進一步研究。

4 不確定金融

傳統的金融、保險等研究需要借助于概率論;而目前,不確定理論已成功地用于研究不確定金融、保險、期權等。2008年,Liu提出了不確定過程概念,其實質是指標為時間或空間的不確定變量序列;隨后深入研究了不確定更新過程及創造性地提出了Canonical過程,并應用到不確定微分方程和不確定金融等領域[6]。其中金融模型研究中,Canonical過程成功地替代了Brownian運動,兩者區別在于Brownian運動的幾乎所有樣本軌道連續但并非Lipschitz連續函數;而Canonical過程的幾乎所有樣本軌道為Lipschitz連續函數。這也就意味著Brownian運動是用來描述花粉以無限速度在做不規則運動,而Canonical過程描述了花粉以有限速度做不規則運動。

2009年,Liu[17]首先提出了如下由Canonical過程驅動的股票模型

式中Xt—債權價格;Yt—股票價格;r—無風險利率;e—股票價格波動;σ—股票波動擴散度;Ct—Canonical過程。

基于模型(3),Liu[17]研究了歐式看漲期權和看跌期權的價格。

式中fc—歐式期權價格,fc=exp(-rs)E[(Ys-K)+] ;K—截止價格;s—截止時間。

Chen[18]同時研究了美式期權價格,在美式期權價格為時] ,得到了美式期權看漲和看跌的價格

另外,Yao[19]研究了無套利模型,Liu[10]建立了基本的不確定保險模型,定義了破產指標、破產事件及證明了破產指標的具體表達式。

5 不確定風險理論和可靠性理論[20]

基于不確定理論,Liu于2010年建立了不確定風險分析理論與不確定可靠性分析理論。

風險分析中,風險指標是主要概念,定義為損失發生的不確定測度,即其中L為損失函數。

在損失函數L為嚴格遞增、嚴格遞減、部分嚴格遞增部分嚴格遞減時,風險指標 Risk=α為以下方程的根

其中 Φ-1為不確定變量 ζ的逆分布。

另外,Liu研究了Hazard分布及Boolean系統的風險分析;對于串聯系統和并聯系統壽命,分別進行了細致的討論。

由于可靠性分析和風險分析具有相同的數學機理,Liu同時研究了不確定可靠性分析,定義了可靠性指標為

其中 R{ζ1,ζ2,…,ζn)≥0表示系統正常工作。Liu還討論了串聯系統和并聯系統的可靠性指標,及與風險分析向對應的問題。

6 結語

除上述研究之外,不確定理論還細致研究了不確定規劃問題,在供應鏈、庫存、機器排序、車輛調度等方面建立了諸多相關的數學模型。另外基于不確定理論,建立不確定邏輯理論,提出了不確定推理準則、不確定推理控制、不確定優化控制等領域的基本概念和模型。

作為一門新的嚴謹的數學分支,不確定理論的出現,馬上得到了國內外專家學者的大量關注,并在人類系統不精確性的理論研究和應用研究方面取得了蓬勃發展,為學術研究者開創了一片廣泛科學研究天地。

[1] DEMPSTER A.Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping[J] .The Annals of Mathematical Statistics,1967(38):325-339.

[2] SHAFER G.A mathematical theory of evidence[M] .US:Princeton University Press,1976.

[3] ZADEH L.Fuzzy sets[J] .Information and Control,1965(8):338-353.

[4] ZADEH L.Probability measures of fuzzy events[J] .Journal of Mathematical Analysis and Applications,1968(23):421-427.

[5] ZADEH L.Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility[J] .Fuzzy Sets and Systems,1999(100):9-34.

[6] LIU B.Fuzzy process,hybrid process and uncertain process[J] .Journal of Uncertain Systems,2008(2):3-16.

[7] COHEN J.The mutual effect of two uncertainties[J] .The Durham Research Review,1958(2):215-222.

[8] LIU B.Uncertainty theory[M] .2nd ed.Berlin:Springer-Verlag,2007.

[9] LIU B.Uncertainty theory:a branch ofmathematics for modeling human uncertainty[M] .Berlin:Springer-Verlag,2010.

[10] LIU B.Uncertainty theory[M] .4nd ed.Beijing:Uncertainty Theory Laboratory,2010.

[11] PENG Z.Some properties of product uncertain measure[C/OL] .[2010-06-22] .http://orsc.edu.cn/online/081228.pdf.

[12] PENG Z,IWAMURA K.A sufficient and necessary condition of uncertainty distribution[C/OL] .[2010-06-22] .http://orsc.edu.cn/online/090305.pdf.

[13] YOU C.On the convergence of uncertain sequences[J] .Mathematical and Computer Modelling,2009(49):482-487.

[14] WANG X,PENG Z.Method of moments for estimating uncertainty distribution.[C/OL] .[2010-06-22] .http://orsc.edu.cn/online/100408.pdf.

[15] WANG X,GAO Z,GUO H.Delphi Method for estimating uncertainty distribution.[C/OL] .[2010-06-22] .http://orsc.edu.cn/online/100830.pdf.

[16] GAO J.Determine Uncertainty Distribution via Delphi Method[C] //The Proceedings of the First International Conference on Uncertainty Theory.Urumchi:[s.n.] ,2010:291-297.

[17] LIU B.Some research problems in uncertainty theory[J] .Journal of Uncertain Systems,2009(3):3-10.

[18] CHEN X.American option pricing formula for uncertain financial market[C] //Proceedings of the First International Conference on Uncertainty Theory.Urumchi:[s.n.] ,2010:58-62.

[19] YAO K.A no-arbitrage determinant theorems for uncertain stock model.[C/OL] .[2010-06-22] .http://orsc.edu.cn/online/100903.pdf.

[20] LIU B.Uncertain risk analysis and uncertain reliability analysis[J] .Journal of Uncertain Systems,2010(4):163-170.