二維泊松方程的交替方向迭代法

劉相國(guó)，謝如龍，郝江鋒

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖 238000）

二維泊松方程的交替方向迭代法

劉相國(guó)，謝如龍，郝江鋒

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖 238000）

利用交替方向迭代法求解二維泊松方程邊值問(wèn)題，得到了相應(yīng)的誤差分析，并進(jìn)行了數(shù)值模擬，模擬結(jié)果表明該方法是可行的、有效的。

泊松方程；交替方向迭代法；誤差

0 引言

在許多學(xué)科領(lǐng)域（如：物理學(xué)、力學(xué)、熱傳導(dǎo)學(xué)、聲學(xué)、電磁學(xué)）和工程技術(shù)中，很多問(wèn)題可以用微分方程描述。微分方程是描述與刻畫物理過(guò)程、系統(tǒng)狀態(tài)、社會(huì)與生物現(xiàn)象的有力工具，是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一。要想“探求自然界的奧秘在于解微分方程”（牛頓）。這種由“原因”推得“結(jié)果”的探索過(guò)程無(wú)疑在人類認(rèn)識(shí)自然與改造自然中起到了重要的作用。微分方程的數(shù)值解〔1-3〕是解決上述問(wèn)題的有力工具。本文利用交替方向迭代法研究了Poisson方程邊值問(wèn)題〔4-5〕，并進(jìn)行了誤差性分析〔6-8〕，進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值模擬，取得了較滿意的數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果。

1 數(shù)學(xué)模型

考慮以下的邊值問(wèn)題：

在區(qū)域Ω上，取沿x軸與y軸方向的步長(zhǎng)分別為h1和h2，記h＝max（h1，h2），并有xi＝ih1，yj＝j(luò)h2，（i，j＝0，1，2…）。

設(shè)xi，j為內(nèi)網(wǎng)點(diǎn)，對(duì)充分光滑的函數(shù)u，沿x軸方向由T aylor展式

這里［］i，j表示括號(hào)內(nèi)的函數(shù)在xi，j處取值。類似

同樣有：

（3）式與（2）式相減，并除以h1，則得

同理

2 交替方向迭代法

引進(jìn)矩陣L1，L2：對(duì)向量u＝｛ui，｝j，定義〔9-10〕

即可將（6）寫成

有交替方向PR迭代

按層合并，得

3 誤差分析

差分解u＝｛ui，j｝滿足（7）和（8）。因此迭代誤差e（k）＝u－u（k）滿足下方程〔11-12〕

假定τk＞0，則左端矩陣有逆。消去過(guò)渡層，得遞推式：

因?yàn)長(zhǎng)1，L2的乘積可換序知，Tk是對(duì)稱矩陣，其特征值λlm（k），這樣可得

4 數(shù)值算例

為了檢驗(yàn)上述方法的有效性，利用上述算法編制程序進(jìn)行數(shù)值模擬。

考慮P oisson方程第一邊值問(wèn)題

其中f（x，y）=2π2sin（πx）sin（πy），u（x，y）=sin（πx）sin（πy）

算例1：用PCG法求解（9），數(shù)值解、真解與數(shù)值解的誤差解剖圖，見圖1。

圖1 PCG法求解誤差解剖圖

當(dāng)n＝10時(shí)，最大誤差：0.107 7 運(yùn)行時(shí)間T：0.388 2（s）

當(dāng)n＝12時(shí)，最大誤差：0.070 2 運(yùn)行時(shí)間T：0.498 0（s）

算例2：用交替方向迭代法求解（9），數(shù)值解、真解與數(shù)值解的誤差解剖分圖如下

圖2 交替方向迭代法求解誤差解剖圖

當(dāng)n＝10時(shí)，最大誤差：0.030 4 運(yùn)行時(shí)間T：7.079 9（s）

當(dāng)n＝12時(shí)，最大誤差：0.023 2 運(yùn)行時(shí)間T：8.433 6（s）

算例3：用CG法求解（9），數(shù)值解、真解與數(shù)值解的誤差解剖圖，見圖3。

圖3 CG法求解誤差解剖圖

當(dāng)n＝10時(shí)，最大誤差：1.571 2 運(yùn)行時(shí)間T：0.123 0（s）

當(dāng)n＝12時(shí)，最大誤差：1.802 3 運(yùn)行時(shí)間T：0.178 7（s）

5 結(jié)論

本文利用交替方向迭代法研究了Poisson方程邊值問(wèn)題，并建立了相應(yīng)的誤差估計(jì)。通過(guò)數(shù)值模擬可以看出，PCG法，CG法，交替方向迭代法求解此類問(wèn)題都具有效性和可行性。但交替方向迭代法比PCG法，CG法，數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果更好，更有效。

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On Alternating Direction Iteration M ethod of Two-dimensional Poisson Equation

LIU Xiangguo，XIE Rulong，HAO Jiangfeng
（DepartmentofMathematics,Chaohu Collge,Chaohu Anhui，238000）

In this paper,through the use of the alternating direction iteration method,two-dimensional Poisson equation with boundary conditions is resolved；the corresponding error estimation can be obtained.And then the numerical solution simulation is carried out.The numerical results show that thismethod is feasible and efficient.

Poisson equation;alternating direction iterationmethod;error

O241.82

A

1672-2345（2010）10-0001-05

巢湖學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目（XLY-201006）

2010-08-24

劉相國(guó)，講師，主要從事偏微分方程數(shù)值解研究.

（責(zé)任編輯 董 杰）