高精度干涉檢驗移相算法對振動誤差的免疫能力

劉 艷,蘇東奇,楊懷江,隋永新

(1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,應用光學國家重點實驗室,吉林長春 130033;2.中國科學院研究生院,北京 100049)

1 引 言

移相干涉術[1](Phase Shifting Interferometry,PSI)是 1974年由 Bruning等人提出的[2],他將該技術用于檢驗光學表面和透鏡質量,開啟了 PSI應用于光學測量領域的時代。

PSI作為一種精密測量手段,其測量精度通常受到干涉檢驗過程中各種誤差源[3,4]的影響,包括移相器 (如 PZT)的標定誤差、探測器的非線性誤差和量化誤差、光源的不穩定性、機械振動和空氣擾動等等。因此,為了保證高精度的測量結果,提高測量精度的重復性,需要對這些誤差源進行分析和校正。在這些誤差源中,機械振動是影響最大的誤差源,是限制 PSI技術精度的關鍵因素。干涉測量中,減小振動影響的預防措施一般有使用主動或者被動隔振裝置;在設計過程中注意隔振的設計要求;對放置干涉儀的試驗臺做隔振設計等。另外,把干涉儀放置在安靜的遠離振源的環境中也是非常重要的。

移相過程中移相值的不穩定性通常來源于小幅度的振動,可以使用類似處理移相誤差的分析方法進行分析處理。本文主要針對移相過程中的小幅度機械振動進行了模擬分析,并把模擬結果與現有文獻報道結果進行了對比。

2 移相干涉儀工作原理

移相干涉技術的原理是在干涉儀的參考光束和被檢光束的相位差之間引入等間隔位移,當參考光程 (或相位)變化時,干涉條紋的位置也做相應的移動,移相方式有有步進式 (Stepping)和掃描式 (Scanning)兩種。步進式是指壓電傳感器(Piezoelectric Transducer,PZT)推動參考鏡步進一定的位相值并且系統達到穩定狀態之后,CCD采集此時對應的干涉圖;掃描式是指 PZT推動參考鏡以一定的速率勻速前進,在前進的過程中,CCD以特定的時間間隔對干涉圖進行采樣。在積分時間為零的情況下,步進式可以看作掃描式的特殊情況[1]。

圖1 移相 Fizeau干涉儀工作原理Fig.1 Schematic diagram of phase shifting Fizeau interferometer

圖1所示為移相 Fizeau干涉儀檢測平板的工作原理示意圖。由光源 (一般采用波長為 632.8 nm的穩頻 He-Ne激光器作為光源)輸出的單頻激光被會聚透鏡會聚在小孔處 (起到空間濾波的作用),經小孔濾波,到達準直鏡,經準直之后,會聚光變為平行光。從準直鏡出射的平行光,經過分束鏡分光,分光后的光束,經過參考鏡的透射面,到達參考鏡的參考面,參考面上鍍有金屬膜,使一部分光到達帶有楔度的參考鏡的參考面后被反射回來作為參考光,另一部分光穿過參考面后到達樣品待測表面再反射回來作為待測光。參考光和待測光再通過分束鏡反射到達成像透鏡,發生干涉,就會在 CCD處觀察到等厚干涉條紋。計算機輸出移相指令給 PZT驅動干涉儀的參考鏡產生等間隔的位移從而引入相位調制,用 CCD對經調制的干涉圖進行采樣,將 CCD所接收的視頻圖像信號數字化后送入計算機,通過對數字移相干涉圖的分析處理,即得到被測波面的相位分布[2]。這種數字波面移相干涉技術能得到很高的相位分辨率和空間分辨率。采用多幅干涉圖采樣,克服了單幅干涉圖處理精度低的缺點,可以在一定程度上抑制噪聲的影響。尤其對于隨機噪聲,對多幅干涉圖進行平均運算,可以明顯減少隨機噪聲造成的誤差,具有噪聲抑制能力強、實時、快捷、精度高等優點,從而獲得更加真實的所測元件表面的相位分布信息。

3 建立振動誤差模型[6]

以共光路 Fizeau干涉儀為例,一般通過 PZT精密控制干涉儀參考鏡面的機械移動來產生等間隔位移,基于雙光束干涉原理,有下面的表達式:

其中,j是移相的步數,Ij(θ)為移相過程中探測到的光強,I0為背景光強,γ為對比度,θ為參考光束和被檢光束的相位差,即所需要求解的位相,φj為移相值。這些參數都是空間位置 (x,y)的函數。

假設干涉檢測的過程中,存在如下所述的振動形式:

其中,A為振動的振幅,ν為振動頻率,φv為振動的初始位相值。

那么振動引進誤差的影響,等價于 PSI移相值 φj的不確定性,就是式 (1)中位相的位置加入振動n(t)。

對于七步算法:

其中,ν0為采樣頻率,π/2為每步移相值,j=0,…,6。

可以得到:

則:

令νn=ν/ν0為振動頻率與采樣頻率的比值,對于一般算法設其移相值為α,則對于一般情況式(5)變為:

把振動式 (6)帶入式 (1)后,得到:

然后計算某一個振幅下不同的頻率νn對均方根 (Root-mean-square)的影響,得出此算法情況下νn與均方根的關系。具體計算每個頻率的影響是對一個周期內的φv求平均值,即去掉振動位相的影響。

為減小振動的影響,采用積分的辦法,即對每次移相前后α/2范圍的光強值進行積分:

由 PSI求解相位的典型形式為:

本文中,Wyant84b三步算法T3(簡稱三步算法)[5],Hariharan87五步算法T5(簡稱五步算法),七步算法T7和十三步算法T13分別為:

4 算法對振動的免疫能力對比

在本文誤差模型的基礎上,沒有加入任何誤差因素時算法的對比如圖2所示,可以清晰地看到這 4種算法中,十三步算法的精度最高,具有最小的相位差。這里的相位差 (Phase Error)是指數值模擬中給定的相位值 (Real Phase)與由該算法計算得到的相位之差。下面分析移相算法對具有不同振幅和頻率的振動的抑制能力。

圖2 沒有引入誤差因素時,4種算法對比Fig.2 Comparison of 4 algorithms in condition without errors

4.1 振動頻率固定,算法抑制能力與振動振幅的關系

在振動頻率等于采樣頻率,即νn=1時,得到了相位差與振動振幅的關系,如圖3所示。可以看出,振幅越大,算法對振動的抑制能力降低。十三步算法在各振動振幅下都具有優于其它 3種算法的抑制能力,五步算法和七步算法的抑制能力略低于十三步算法,三步算法在振幅較小的情況下也具有較好的抑制能力。除此之外,移相算法的步數越多,計算時間越長,計算過程也越復雜,所以在振幅較小的檢驗環境中,同時對干涉檢驗精度沒有特殊要求時,可以考慮使用移相步數少的算法以便減少數據處理時間。

圖3 振動頻率等于采樣頻率,相位差 RMS值隨振幅的變化Fig.3 RMS phase error varies with vibration amplitude when vibration frequency equals sampling frequency

圖4給出了振動振幅分別為 0.02、0.1和 0.2 fringes時,相位差與真實相位值的關系,其中 fringes指干涉條紋,一個 fringe等于 2π弧度的相位。對圖4分析可知,十三步算法在抑制振動方面具有明顯的優勢,與圖3體現的各算法對振動的抑制能力強弱趨勢相一致。

圖4 存在振動時,4種算法對應的相位差與真實相位值的關系Fig.4 Relation between real phases and phase errors of 4 algorithms as vibration exists

4.2 振動振幅固定時,算法抑制能力與振動頻率的關系

由圖5和圖6可以看出,在振幅一定的情況下,4種移相算法中十三步算法對振動的抑制能力最強,其余依次為七步算法、五步算法和三步算法。

圖5 振幅為 0.02 fringes,振動頻率與相位差 RMS的關系Fig.5 RMS phase error varies with vibration frequency in vibration amplitude of 0.2 fringe

圖6 振幅為 0.1 fringes,振動頻率與相位差 RMS的關系Fig.6 RMS phase error varies with vibration frequency in vibration amplitude of 0.2 fringe

綜上所述,對于具有一定振幅和振動頻率的振動來說,本文提到的 4種算法中十三步算法具有最好的振動抑制能力。除振動之外,十三步算法在抑制移相誤差等方面也很強大,所以十三步算法經常在實際的干涉信息處理軟件中被采用。著名的美國干涉儀生產商 Zygo公司的計算機軟件中多采用十三步算法。

圖7 三步算法模擬與文獻對比:振幅確定時 RMS隨頻率的變化Fig.7 Comparison be tween the results of three-step algorithm and references:RMS varies with frequencywhen amplitude is determined

5 與文獻報道對比

首先,以三步算法、五步算法、七步算法 (移相值π/2)為例,分別討論振動幅度為 1/50,1/10,1/5 fringes時,振動頻率與 RMS的關系。與參考文獻 [6]的結果進行對比,如圖7、圖8、圖9所示。為便于分析對比,對每一種算法分別進行了計算。

圖8 五步算法模擬與文獻對比:振幅確定,RMS隨頻率的變化Fig.8 Comparison between the results of five-step algorithm and literature:RMS varies with frequency when amplitude is determined

由圖6可以看出,三步算法對振幅在 1/10 fringes以下的振動免疫力較好,對于更大振幅的振動其抑制能力大大減小,但是從下面的模擬圖中仍然可以明確,不同的算法對振動的敏感程度與振動頻率密切相關,在某些相同的歸一化頻率處這些算法對振動的抑制或最強 (如圖中歸一化頻率 4,8,12)或最弱 (如圖中歸一化頻率 2,6,10)。從圖7和圖8的對比可以看出,五步算法比三步算法對振動的抑制能力強。對比圖7、圖8、圖9可以看出,對于振動的抑制能力,七步算法優于三步算法和五步算法。七步算法對移相器標定誤差和移相非線性誤差也具有很高的免疫能力。

圖9 七步算法模擬與試驗結果對比:振幅確定,RMS隨頻率的變化Fig.9 Comparison be tween the resultsof seven-step algorithm and literatures:RMS varies with frequencywhen amplitude is determined

從圖7、圖8、圖9的模擬結果與參考文獻對比結果看出兩者吻合的較好,所以本文的模擬在預測算法對振動的抑制能力方面具有一定的可信度,能夠起到初步評價算法的作用。

6 結 論

在干涉檢驗過程中,振動對檢驗精度的影響最大,一般采用主動隔振平臺來隔離或減弱振動的影響。在高精度干涉檢驗中,對抑制振動的需求就更高了,尤其對于低頻振動,隔振平臺的隔振作用已不明顯,需要用算法對振動進行專門處理。本文主要對 Wyant84b三步、Hariharan87五步、七步算法 (移相步距π/2)和十三步算法 (移相步距π/4)等 4種不同移相算法對振動的免疫能力進行了對比分析。分析結果表明,十三步算法對振動的免疫能力最強;振動振幅的大小是影響算法抑制能力的關鍵,振幅較小的時候,移相算法對振動具有較好的抑制能力。本文的模擬能夠合理預測不同移相算法對振動誤差的抑制能力,并且在一定程度上能夠起到評價和篩選移相算法的作用。

[1] CREATH K.Phase-measurement interferometry techniques[J].Progress Opt.,1988,(26):349-398.

[2] BRUN ING J H,HERR IOTTD R,GALLAGHER J E,et al..Digitalwavefrontmeasuring interferometer for testing optical surfaces sand lenses[J].Appl.Opt.,1974,13(11):2693-2703.

[3] W INGERDEN J van,FRANKENA H H,S MORENBURG C.Linear approximation formeasurement errors in phase shifting interferometry[J].Appl.Opt.,1991,30:2718-2729.

[4] CREATH K.Comparison of phase-measurement algorithms[J].SPIE,1986,680:19-28.

[5] MALACALA D.Optical Shop Testing[M].3rd.Hoboken:A JohnW iley&Sons,Inc.,Publication,2007.

[6] GROOT P,DECKL L.Numerical simulationsof vibration in phase-shifting interferometry[J].Appl.Opt.,1996,35(13):2172-2178.