略論模象直觀在中職立體幾何概念教學中的應用

習明

（桐廬教師進修學校 浙江 杭州 311500）

略論模象直觀在中職立體幾何概念教學中的應用

習明

（桐廬教師進修學校 浙江 杭州 311500）

從中職數學立體幾何概念教學這個角度出發，以模象直觀為助手，從給出模象、啟發思維，自制模象、自主探究兩個方面應用模象直觀教學，讓學生能夠更好地掌握立體幾何概念。

模象直觀；中職；立體幾何概念；調查分析

直觀是反映事物外部特征和聯系的感性認識活動，參與這一活動的有記憶、想象、思維的成分。直觀所獲得的感性認識非常豐富，有助于概念的理解。建構主義認為：學生是信息加工的主體，學生將其所獲得的新知識與已有的知識建立實質性聯系，是意義建構的關鍵。因此，充分發揮學生在學習中的主動性和能動性至關重要。表征是認知科學，特別是認知心理學的一個核心概念，它代表某種事物并傳遞某種事物的信息。而建立立體幾何概念的直觀表征則能充分激發學生的學習興趣，發揮他們學習的自主性，促使學生形成良好的認知結構，對培養他們的創新能力和實踐能力也起到十分重要的作用。

模象直觀是直觀教學的類型之一，指通過對實際事物的模擬性形象的感知提供感性材料的直觀方式，如觀看圖片、圖表、模型、幻燈、錄像、電影等，引導學生有意識地使用立體幾何的模象直觀，是使學生順利進入立體幾何之門理解立體幾何概念的重要手段。這里所說的模象直觀不僅指教學使用的教具、課桌面、書本、手掌（表示平面）、手指（表示直線）、打開的書本（表示二面角）等現成的實物，也指日常生活中的實例，如造房子用的鉛垂線可看作空間的一點到平面的距離，還指用紙片、線、木板等實物構造出來的模擬實物，如用一張紙片折成的二面角，在適時地選用合適的多媒體方式來刺激學生感官，創造新的興奮點，可使學生繼續保持最佳的學習狀態。

給出模象，啟發思維

立體幾何是直觀與抽象相結合的產物。波利亞說：“抽象的道理是重要的，但是要用一切辦法使它們能看得見、摸得著。”對于一個新的立體幾何概念來說，這就是指如何通過對直觀模象的考察，把新概念與已經掌握的概念聯系起來，即用“已知”表征“未知”，啟發學生的思維，突破概念理解的障礙。如圖1所示。

圖1 聯系圖

（一）運用實例模象

建構主義認為：數學概念要緊密聯系學生的生活實際。數學概念應結合現實中的具體情境，使學生形成背景性經驗。例如，在實際生活中，木工檢查板面是否平滑，用準確的直尺邊沿放在木板上，若任意移動時，直尺的邊沿都緊貼木板（不透光），則認為板面是平滑的。因此，在教學中要密切聯系數學概念的現實原型，引導他們分析日常生活和生產實際中常見的事例，使學生獲得十分豐富和合乎實際的感性材料，在具有充分的感性認識的基礎上引入概念。

案例1：點到直線的距離

在運動會上，運動員的跳遠成績，是運動員落入沙坑的足跟到起跳線的距離（點到直線的距離），如圖2所示。

圖2 跳遠示意圖

點A是足跟，a是起跳線，AB⊥a,點B是垂足，AB是點A到直線a的距離。不論運動員從起跳線的什么地方起跳（犯規不算），丈量時總是讓皮尺起于足跟，并且垂直于起跳線，即點到直線的垂線段的長，是運動員的跳遠成績。

這一實例，揭示了“點到直線的距離”的概念的本質屬性，學生從計算運動員的跳遠成績這一的生活情景中充分理解了“點到直線的距離”的概念。

（二）運用簡易模象

有時身邊隨手可得的筆、三角板、翻折的紙等就是很好的模象。例如，將一本書打開，將書脊看作一條直線，書一分為二——兩個“半平面”。其中一半平面繞書脊這一直線旋轉時，與初始位置構成二面角。

案例2：直線與平面垂直

如果教師先列舉幾個直線與平面垂直的例子，然后給出定義，學生雖有所感悟，但有些學生理解得并不透徹。教師不妨再設計一下概念的形成過程，師生可共同操作。將兩個三角板的一條直角邊及直角頂點重合，另兩條直角邊放在桌面上，使這兩條邊不在同一條直線上。學生觀察到：可以將三角板繞公共直角邊所在的直線a任意旋轉，并且另兩條直角邊b、c仍落在桌面上。此時，教師提問：“平面內過公共直角頂點的直線b、c與公共邊a是否垂直，為什么？”

在展示論證該定義的形成過程中，學生豐富了感性認識，通過他們的實踐、觀察、論證，不僅學到了新知識，還認識到新知識的形成、發展、獲得過程，就是在原有的認知結構上進行實踐、概括、抽象的過程。

案例3：二面角的平面角

在講解該概念時，教科書中只是用山坡作例子，山坡的傾斜程度可以用它的坡角大小來刻畫，坡角是坡面與水平面形成的二面角。為了讓學生進一步鞏固二面角的概念，教師都會講到這樣的例題：山坡的傾斜度是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米升高多少？雖然這道題目與實際生活聯系緊密，但學生的掌握情況不是非常好。圖3的簡易模象直觀形象，對題目中的要素信息顯示得非常明了，學生也可動手操作，這使他們積極思維，學得靈活。

（二）運用多媒體技術

利用以計算機為中心的教學媒體，綜合處理和控制符號、語言、文字、圖形、圖像、動畫等多種媒體信息，把各個媒體要素按教學要求進行有機組合，同時完成一系列人機交互式的操作。多媒體技術能夠為學生提供一個主動學習、積極建構新的認知結構的學習環境，使教學中心由教師變為學生，教學形式由灌輸變為主動建構。目前，多媒體課件常用的制作軟件有PowerPoint、Authorware、Flash、FrontPage、Excel和幾何畫板等。

圖3 簡易模象圖

1967年，特瑞拉的研究表明：一個人的五官對知識的吸收率，視覺接受的信息占83%，聽覺所接受的信息占11%，以上兩項占94%，所以有效的視聽結合會增加信息的吸收率。多媒體技術具有圖文并茂、聲像并舉、能動會變、形象直觀的特點，可有效地刺激學生的多個感官，激發他們的學習興趣，使學生在輕松愉悅的氛圍中學到知識，學習狀態由被動變為主動。利用幾何畫板可進行圖形的平移、旋轉、縮放、反射操作，進行動態演示教學，可以變抽象為具體，變復雜為簡單，很適合制作立體幾何概念的教學課件。

案例4：兩點的最短距離

在立體幾何的教學中，空間的距離應是比較容易掌握的概念，但學生面對各種問題往往不知所措。

如圖4，一只螞蟻從長方體的頂點A沿表面爬到點K，最短路程是多少？

圖4 轉換圖

如圖5，一只螞蟻從長方體的頂點A沿表面爬到頂點G，最短路程是多少？

圖5 轉換圖

解決問題的關鍵是將不在同一平面的問題轉化為同一平面的問題來求解。若能利用幾何畫板進行圖示的變換，將整個過程展現給學生，幫助學生從動態中去觀察、探索、發現對象間的數量變化和空間結構變化，不需教師講解，學生就能探究出解題方法，培養了學生的創造性思維。

案例5：三垂線定理及其逆定理

如下為“直線與平面的夾角”一課的片段效果圖，在學習此概念前，不能不提到“三垂線定理及其逆定理”這一概念。它對解決直線與平面所成的角、二面角的平面角、點到平面的距離有非常重要的作用。利用幾何畫板降低了學生理解“三垂線定理”的難度，提高了他們的抽象思維能力。

圖6 示意圖

圖7 示意圖

圖8 示意圖

如圖6，點P在△ABC上的射影是△ABC的垂心，求證：PC⊥AB。

讓學生（已掌握異面直線垂直的概念、直線與平面垂直的概念）在各自的計算機上觀察猜想、思考、分析，應用幾何畫板來解決問題。在學生思考片刻后，教師提問，學生回答延長線段CO交AB于點D，形成圖7，并完成了證明。

此時，請學生回答在計算機屏幕上顯示的三個問題：

1.圖7中，線段PC、DC與△ABC所在的平面是何關系？學生：PC是△ABC所在平面的斜線，PO是斜線上一點P向△ABC所在的平面引的垂線，OC是PC在△ABC內的射影。

2.要使異面直線PC⊥AB，AB應在△ABC所在平面的什么位置？試使AB在△ABC所在平面內平行移動，影響結論嗎？學生：AB應在△ABC所在平面內與CD垂直的位置，在△ABC所在平面內平移AB不影響結論。

3.教師用“幾何畫板”軟件演示：隱藏PA、PB、AC、BC，并過AB和CD作平面α，把線段PC、DC、AB、PO均延長成直線，你能從圖8中歸納出平面α內直線AB⊥PC的數學命題嗎？讓學生應用“幾何畫板”對圖8中幾何模型嘗試旋轉（順、逆時針均可）和拖動直線AB平移，體會直線AB與直線PC、DC的內在聯系。讓學生在計算機的幫助下，通過自主探索或討論協作找出數學命題。在學生對數學模象進行了深入分析和探討之后，教師鼓勵學生用自己的語言歸納出數學命題。

自制模象，自主探究

著名教育家波利亞認為：“數學有兩個側面：一方面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，但另一方面，創造過程的數學，看起來卻像是一門實驗性的歸納科學。”從某種程度上說，重視數學作為試驗科學的這一側面，有利于學生提高實踐能力和培養創新精神。因此，落實有意義的數學學習方式，一個重要舉措就是要倡導“做數學”的理念，它強調以學生為主體的學習活動對學生理解數學的重要性。常言道：實踐出真知。“做數學”就是要學生多動手設計數學模象，自己動手去感悟和發現。這是一種倡導學生自主探索、動手實踐等積極主動的學習方式。

建構主義認為：學生學習數學的過程不是學生被動地吸收課本上的現成結論，而是一個學生親自參與的生動的思維活動，經歷一個實踐和創新的過程。具體地說，自制模象就是學生在教師的幫助下自己動手、動腦做出模象，主動探究、發現規律，獲得對立體幾何概念的感知。初學時，要求每個學生自備三四塊硬紙板和四五根小鉛絲，自制一個正方體與空間四邊形框架。每學一個概念，先讓學生觀察周圍環境，回憶生活經驗，擺弄自己的模型，通過親手操作，弄清各種“線線”、“線面”、“面面”的關系。如有的學生將一張三角形紙片沿高線折起，理解了直線與平面垂直的判定方法；把一張矩形紙片沿中間折起成直二面角，探求兩個平面垂直的判定定理和性質定理。

案例6：直線與平面垂直

讓學生準備好一塊三角形（△ABC）紙片，過頂點A任意翻折該紙片得到折痕AD，然后將翻折后的紙片略為展開并豎立（使B、C、D在桌面上），讓學生觀察分析：如何翻折AD才能使AD與桌面垂直？在動手操作的過程中，學生很容易發現：當且僅當DB邊與DC邊重合時，折痕AD與桌面垂直。于是，自然而然地進入了一個數學問題的討論：按DB邊與DC邊重合翻折，即有AD⊥CD、AD⊥BD,從而得到結論：AD與平面α內的兩條相交直線垂直，則AD⊥α。

案例7：用word制作互相垂直的平面、正方體

如下圖9、圖10為學生的作品。

圖9 互相垂直的平面示意圖

圖10 正方體的制作示意圖

學生經常依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形，而平面上繪出的立體圖形會受其視角的影響，況且空間圖形又有很大的抽象性。學生經過親手制作、探索以后，將會極大地提高他們的空間想象能力和平面與空間圖形的轉化能力。

[1]李艷.關于中學數學概念教學的研究[D].武漢:華中師范大學，2004.

[2]石志明.關于立體幾何開展探究性學習的研究[D].蘭州：西北師范大學，2006.

[3]（美）波利亞.數學的發現（第一、二卷）[M].呼和浩特：內蒙古人民出版社，1980.

G717

A

1672-5727（2010）04-0152-03

習明（1976—），女，湖北隨州人，教育碩士，桐廬教師進修學校講師，研究方向為中職數學。

（本欄責任編輯：張維佳）