正規乘積算符積分法及其應用的教學探討

夏立新陳翠云袁盼盼

(1．河南科技大學 物理系,河南 洛陽 471003；2．河南科技大學 藝術學院,河南 洛陽 471003)

0. 言

在量子力學中，算符的不對易給量子系統的數學處理帶來了復雜性與困難，有什么方法能使普通數與算符在數學處理上的差距縮小呢? 如何把量子力學中抽象的符號法變得淺顯易懂，變得更實用呢? 這是我們需要研究的課題。

在符號表示方法上，突出的是狄拉克,通過結合薛定諤波函數的物理思想，他開創性地引入了態矢這一概念，并建立了q數與態矢的關系。在此基礎上，狄拉克進一步用抽象的方式直接處理一些有重要意義的物理量。狄拉克的符號法不只是非常有用的數學方法，更為重要的是它能深入事物的本質，可用簡潔精煉的方式來表達物理規律。在物理觀念上, 符號法對量子力學的發展具有革命性的貢獻[1]。

從狄拉克提出符號法以來,符號法已引起了許多研究者的關注[2-6]。特別是范洪義教授，他從解決積分系統地建立了有序算符積分法理論，他相繼出版了三部重要的學術專著[2-4]，為符號法的發展做出了貢獻，取得了重要的成果。在看似已非常完善的量子力學理論體系中，解決了多年來懸而未決的若干問題，開辟了一個全新的研究方向，發展了量子力學的表象與變換理論[2]。該積分法在量子光學、群表示論、固體理論，耦合振子動力學、Wigner函數、經典力學向量子力學的過渡、統計力學、相干態與壓縮態等方面發揮了積極的作用。在有序算符積分法的基礎上，范教授也系統地建立了量子力學的糾纏態表象，并介紹了它在量子光學、固體物理、熱場動力學和量子場論等方面的應用[3]。同時，范教授進一步地建立了量子力學的連續糾纏態表象，使量子光學的數理基礎理論得到了更新的發展，對相干態、壓縮態、相位算符，以及量子主方程等理論都有嶄新的闡述，深化了量子糾纏的思想。還給出了若干糾纏態表象、量子幺正變換等變換理論，促進了對傅利葉光學理論的研究[4]。

本文主要介紹了量子力學中玻色子算符正規乘積算符的積分方法。特別是，對正規乘積算符積分法及其應用的教學給出了簡單的探討。在量子力學的教學中，期望該積分法引起廣泛的關注，它有利于培養學生發現問題和解決問題的能力。

1.規乘積及其性質

對于波色子算符a和 a+，由其所構成的任何函數或算符f( a,a+)，可寫為

其中，j,k,l,???,m是正整數或零。利用算符a和a+的對易關系[ a, a+]=1，可將任意算符(1)中的產生算符 a+都移到所有湮滅算符a的左邊，這時，我們稱算符 f( a,a+)已被排列成了正規乘積形式，并用︰︰標記。算符的正規乘積在量子場論、量子光學、固體物理等理論的描述中都被廣泛采用。算符有序乘積有三種常見的形式，分別為正規乘積、反常乘積和對稱乘積。其中，正規乘積具有非常重要的性質，它們是發展狄拉克的符號法以及表象理論的重要形式[1]。本文以正規乘積為例。首先，我們參考文獻[2-4]寫出八條正規乘積的性質，它們給出如下

① 正規乘積內，玻色子算符相互對易。

② 對于c數(普通數)，它可自由出入正規乘積記號。

③ 對于正規乘積內的c數，可進行積分(或微分)運算，只要積分是收斂的。

④ 正規乘積內部的函數的和差可以分拆,即,︰W±V︰ =︰W︰±︰V︰。

⑤ 厄米共軛操作可進入︰︰內，也就是，

(︰W???V︰)+=︰(W???V)+︰。

⑥ 正規乘積內的正規乘積記號可以取消；或在︰︰內部的任意兩個算符(相鄰或不相鄰的)緊外邊可以加上正規乘積記號。

（2）菌種馴化將活化后的乳酸菌接種到山羊乳中訓化增殖，依次調整菌種接種量為8%，4%，2%，40℃恒溫培養至凝乳，保證菌種活力能在4 h內凝乳。

⑦ 正規乘積內，以下兩個等式成立：

對單模情形，表示為

在教學中，我們要逐一地將這八個性質詳細地介紹給學生，讓他們能夠很好地理解，并能靈活運用它們。

2.本算符的正規乘積表示

這一節，我們介紹兩個基本算符的正規乘積表示。首先，給出真空投影算符00的正規乘積展開形式

這是容易證明的。根據文獻[2]的方法，由粒子態的完備性，可得

在具體的計算中，公式(2)和(6)是兩個重要算符的正規乘積表示。在教學中，不僅要介紹給學生，同時還要學生會證明。證明過程對理解算符正規乘積的性質是很有幫助的。

3.規乘積算符積分法

對于玻色算符, 正規乘積算符積分法，這個理論充分注意并應用了正規乘積的性質，其基本思想[2-4]可表述為：利用正規乘積內部玻色算符相互對易的特點,只要把原本并不對易的玻色算符變為正規乘積形式，就可在對互不為共軛量的投影型積分算符積分時，可把算符視為互相對易的(c數)參量，這樣，積分就可以順利進行。最后，把積分結果取消其正規乘積形式，從而可恢復算符明顯的不對易性。

在教學中，最好用一個簡單的例子來說明正規乘積算符積分法，這樣使學生更容易理解。

上面，只說明了正規乘積積分法。算符的排序還有反正規乘積和對稱乘積，相應的就有反正規乘積和對稱乘積積分法，有興趣的讀者可參考文獻[2-4]。上述三種積分法可統稱為有序乘積積分法。

4.單應用

為了對正規乘積算符積分法有一個更深的認識, 本節中，我們舉文獻[2]中的兩個例子來說明該積分法的應用。

其中, ︰e?a+︰a的左邊是產生算符,右邊是湮滅算符。因此，整個被積的算符函數已被排成正規乘積。所以，可把左邊的︰移到第一個指數左邊，并把右邊的︰移到第三個指數的右邊。根據性質①，玻色算符在︰︰內對易,三個exp指數函數的指數可直接相加，(8)式變成

5.束語

總之，本文介紹了正規乘積算符積分法及其應用的教學探討。正規乘積算符積分法使狄拉克的符號法更完美、更具體，而且能更好地表達物理規律。

在教學中，正規乘積算符積分法的關鍵是如何利用正規乘積算符的八個性質，以及兩個基本公式(2)和(6)。符號法知識的教學是非常重要的，期望該積分法引起廣泛的關注，它有利于本科學生加強基本功、擴大知識面，以及有利于培養他們發現問題和解決問題的能力。

[1]P.A. Dirac, The Principle of Quantum Mechanics[M], Oxford:Oxford University Press，1958.

[2]范洪義,量子力學表象與變換論----狄拉克符號法進展[M],上海:上海科學出版社, 1997.

[3]范洪義,量子力學糾纏態表象及應用[M],上海:上海交通大學出版社,2001.

[4]范洪義,從量子力學到量子光學---數理進展[M],上海:上海交通出版社,2005.

[5]W.Y. Louisell,Quantum Statistical Properties ofRadiation[M],New York:John Wiley Press,1973.

[6]M.O. Scully, M.S. Zubairy, Quantum Optics[M], Cambridge:Cambridge University Press, 2000.