加權(quán)總體最小二乘在三維激光標(biāo)靶擬合中的應(yīng)用＊

陳瑋嫻 陳 義 袁 慶 葛旭明

(1)同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系,上海 200092

2)現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

加權(quán)總體最小二乘在三維激光標(biāo)靶擬合中的應(yīng)用＊

陳瑋嫻1)陳 義1,2)袁 慶1)葛旭明1)

(1)同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系,上海 200092

2)現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

針對(duì)平面標(biāo)靶和球標(biāo)靶擬合中最小二乘方法和總體最小二乘方法存在的問(wèn)題,提出了一種加權(quán)總體最小二乘的擬合方法,根據(jù)點(diǎn)云激光反射強(qiáng)度以及對(duì)系數(shù)陣A列向量部分修正引入權(quán)陣 P、PX、P0,建立較LS方法和TLS方法更加合理的模型,并給出相應(yīng)的迭代算法。經(jīng)實(shí)例計(jì)算證明加權(quán)總體最小二乘方法更加合理,可以獲得更高精度的參數(shù)解。

點(diǎn)云;EI V模型;標(biāo)靶擬合;總體最小二乘;加權(quán)總體最小二乘

1 引言

標(biāo)靶是由高反射率材料制成用來(lái)擬合點(diǎn)云特征點(diǎn)的反射標(biāo)志,一般分為平面標(biāo)靶和球標(biāo)靶。在地面三維激光中它起兩個(gè)作用：1)為多視點(diǎn)云模型的拼接提供同名公共點(diǎn);2)把其他測(cè)量手段獲得的控制點(diǎn)坐標(biāo)引入到點(diǎn)云模型中。對(duì)于平面標(biāo)靶,根據(jù)“Halo效應(yīng)”,Lichti[1]等人提出求標(biāo)靶平均反射強(qiáng)度中心來(lái)確定標(biāo)靶幾何中心。該估算方法基于激光掃描方向與標(biāo)靶平面絕對(duì)垂直的假設(shè)。而實(shí)際常常是不垂直掃描,且當(dāng)掃描方向與標(biāo)靶垂直方向夾角大于 60°時(shí)會(huì)產(chǎn)生無(wú)法識(shí)別靶標(biāo)中心的情況[2]。官云蘭[3]提出穩(wěn)健標(biāo)靶定位方法,建立高斯-馬爾科夫(G-M)模型,采用LS方法擬合平面,再進(jìn)行靶心定位,可以避免不垂直掃描時(shí)產(chǎn)生的識(shí)別錯(cuò)誤,但所建立的 G-M模型中未考慮到系數(shù)矩陣A的誤差。對(duì)于球標(biāo)靶,通常建立 G-M模型,用 LS方法擬合半個(gè)球面點(diǎn)云,得到球標(biāo)靶的幾何中心[4]。魯鐵定等人[5]提出基于 TLS方法球標(biāo)靶定位方法,該方法在假定球面點(diǎn)云等精度獲取的情況下建立的變量中的誤差模型 (Error-In-Variables,EI V)[6,7]對(duì)系數(shù)陣 A和觀測(cè)向量 Y進(jìn)行改正[8,9],能較好地解決系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量存在誤差的問(wèn)題。然而在實(shí)際中,由于入射角的不同導(dǎo)致獲取的點(diǎn)云激光反射強(qiáng)度不同,反射強(qiáng)度越高點(diǎn)位精度越高,因而擬合點(diǎn)云時(shí)需根據(jù)反射強(qiáng)度考慮每個(gè)點(diǎn)的擬合權(quán)重。同時(shí)系數(shù)陣A中某些固定的常數(shù)列是不需要修改的,加入權(quán)陣可以修改系數(shù)陣A的數(shù)據(jù)列,而不修改常數(shù)列。本文在官云蘭的點(diǎn)云平面擬合和魯鐵定的球面擬合的方法基礎(chǔ)上,引入加權(quán)總體最小二乘 (WTLS)的擬合方法,在 EI V模型的基礎(chǔ)上根據(jù)點(diǎn)云激光反射強(qiáng)度不同的特性引入觀測(cè)值權(quán)陣 P和行向量權(quán)陣 PX;根據(jù)系數(shù)矩陣A的部分列修改引入列向量權(quán)陣 P0。經(jīng)實(shí)驗(yàn)計(jì)算,該方法能得到更加合理的模型和更高精度的參數(shù)解。

2 函數(shù)模型及解法

2.1 LS、TLS、W TLS函數(shù)模型

經(jīng)預(yù)處理后得到一組標(biāo)靶點(diǎn)云的三維坐標(biāo)(xi, yi,zi),(i=1,2,…,n)。相應(yīng)的空間平面方程為:

式中,a、b、c為平面參數(shù)。對(duì)于球標(biāo)靶,由于從任何方向掃描均可獲得半個(gè)球面點(diǎn)云,從點(diǎn)云數(shù)據(jù)中擬合球體得到球心坐標(biāo)和球半徑即可完成球標(biāo)靶定位,相應(yīng)的球面方程為:

式中,a0、b0、c0為球心坐標(biāo),r為球半徑,球面方程展開(kāi)形式為:

LS估計(jì)準(zhǔn)則：

式中,Y為 n×1維觀測(cè)值向量,X為m×1維待估參數(shù),A為 n×m維的系數(shù)矩陣,e為觀測(cè)向量的隨機(jī)誤差,In為單位陣?？紤]系數(shù)矩陣 A含有誤差的等權(quán) EI V模型為：

式中,EA為系數(shù)矩陣 A的隨機(jī)誤差,在 LS方法中EA≡0。Q=In,QA=Im?In=Inm,Qx=In,Q0=Im是單位權(quán)陣,“?”為“kronecker積”(M?N=[mijN], M=[mij])[10],“vec”為矩陣列向量化算子。TLS估計(jì)準(zhǔn)則：

考慮系數(shù)矩陣A含有誤差的加權(quán) EI V模型：

平面方程寫(xiě)成矩陣形式：

球面方程寫(xiě)成矩陣形式:

2.2 W TLS權(quán)陣的定義

圖 1 激光反射強(qiáng)度[4]Fig.1 Laser reflection intensity[4]

假設(shè)點(diǎn)云在 x、y、z3個(gè)方向等精度獲取。對(duì)于平面標(biāo)靶的系數(shù)陣列向量和觀測(cè)值,有σx=σy= σz,得到平面擬合的權(quán)陣如下:

對(duì)于球標(biāo)靶,擬合模型較平面標(biāo)靶復(fù)雜,根據(jù)系數(shù)陣列向量和觀測(cè)值的關(guān)系,提出 3種定權(quán)方法。

方法二:認(rèn)為系數(shù)陣行向量之間等精度且與觀測(cè)值向量無(wú)關(guān),則 P0、P的形式不變,Px形式為:

方法三:認(rèn)為系數(shù)陣行向量之間權(quán)值由反射強(qiáng)度決定且與觀測(cè)值向量無(wú)關(guān),則 P0、P的形式不變, Px形式為:

2.3 W TLS算法及精度估計(jì)

迭代法求解過(guò)程[10-13]：

3 實(shí)例分析

采用 Faro large scanner對(duì)圖 2場(chǎng)景進(jìn)行掃描得到 3個(gè)平面標(biāo)靶和 3個(gè)球標(biāo)靶 (球半徑設(shè)計(jì)為0.072 5 m)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)。圖 3是其中一個(gè)平面標(biāo)靶和一個(gè)球面標(biāo)靶的原始點(diǎn)云。手動(dòng)刪除大量冗余掃描點(diǎn)云數(shù)據(jù),通過(guò)轉(zhuǎn)換關(guān)系將每個(gè)點(diǎn)的反射強(qiáng)度轉(zhuǎn)換為(0～1)之間的數(shù)值,根據(jù)標(biāo)靶的反射率 0.5≤E′≤0.68設(shè)置相應(yīng)閾值,消除噪聲。對(duì)于平面標(biāo)靶,為了避免由于直線平行與某坐標(biāo)軸而出現(xiàn)數(shù)值問(wèn)題[14],先求出 3個(gè)坐標(biāo)分量的最大值和最小值Δx、Δy、Δz,再確定平面方程形式。按式 (9)組成觀測(cè)方程,按式(11)組成權(quán)陣,根據(jù)式 (16)～(22)求解。對(duì)于球標(biāo)靶按式(10)組成觀測(cè)方程,分別按式(12)～(14)3種方法組成權(quán)陣,根據(jù)式 (16)～ (22)求解。利用上述WTLS方法求解待估參數(shù),并與 TLS方法和LS進(jìn)行比較得到的結(jié)果如表 1和表2。擬合結(jié)果如圖 4和 5,觀測(cè)值殘差和系數(shù)陣殘差如圖 6,圖 5(c)和圖 6(f)的WTLS方法依據(jù)方法三定權(quán)。

由表 1可以看出,平面擬合中WTLS方法擬合的單位權(quán)中誤差要小于 LS方法和 TLS方法,精度相對(duì)LS方法和 TLS方法平均分別提高 60.1%和57.9%。由表 2可以看出,球面擬合中 LS、TLS、WTLS方法擬合球半徑與設(shè)計(jì)半徑相近,WTLS方法擬合球面的單位權(quán)中誤差要小于LS方法和 TLS方法,依方法三定權(quán)的WTLS方法(WTLS3)求得的精度高于方法一 (WTLS1)和方法二 (WTLS2),且WTLS3方法相對(duì) LS方法和 TLS方法分別提高76.0%和 27.3%。由圖 6(c)、(d)、(e)、(f)可以看出,TLS和WTLS方法同時(shí)改正觀測(cè)值和系數(shù)陣,殘差分布在觀測(cè)值和系數(shù)陣中,而LS方法擬合的殘差僅存在觀測(cè)值中 (圖 6(a)、(b))。在 TLS和WTLS方法中引入陣固定了系數(shù)陣中的常數(shù)列,即圖 6(e)、(f)中系數(shù)陣常數(shù)列殘差為 0。同時(shí)比較圖 6(c)、(e)和 (d)、(f),可以看出WTLS方法引入陣擬合殘差更好。在靶標(biāo)擬合中WTLS方法建立的模型較 LS方法和 TLS方法更為合理,得到更高精度參數(shù)解。

圖2 掃描場(chǎng)景Fig.2 Scanning scenes

圖3 平面標(biāo)靶、球標(biāo)靶點(diǎn)云Fig.3 Point cloud of plane and sphere targets

表 1 平面標(biāo)靶擬合參數(shù)及精度(單位:m)Tab.1 Fitti ng results of plane targets(un it:m)

表 2 球標(biāo)靶擬合參數(shù)及精度(單位:m)Tab.2 Fitti ng results of some sphere targets(un it:m)

圖4 平面標(biāo)靶LS、TLS、WTLS方法擬合結(jié)果Fig.4 Fitting results of a plane targetswith LS、TLS andWTLSmethods

圖5 球標(biāo)靶LS、TLS、WTLS方法擬合結(jié)果Fig.5 Fitting results of a sphere targetwith LS、TLS andWTLSmethods

4 結(jié)語(yǔ)

1)在平面和球面點(diǎn)云擬合中,考慮到平面方程和球面方程中由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)組成的系數(shù)矩陣 A含有誤差,從而建立 EI V模型對(duì)系數(shù)陣A和觀測(cè)向量的誤差同時(shí)進(jìn)行最小化約束,該處理方法比認(rèn)為系數(shù)陣無(wú)誤差的LS處理方法更加合理。

2)在WTLS方法中引入列向量權(quán)陣,可以起到部分修改系數(shù)陣A列向量的作用,即修改A的數(shù)據(jù)列而不修改常數(shù)列,得到了更加普遍適用的模型。

3)根據(jù)每個(gè)點(diǎn)的激光反射強(qiáng)度定權(quán),引入觀測(cè)值權(quán)陣 P和系數(shù)陣行向量權(quán)陣 Px。在球標(biāo)靶擬合模型中給出 P、Px3種定權(quán)方法,并加以比較。比較結(jié)果認(rèn)為,合理的定權(quán)可以使WTLS方法擬合平面標(biāo)靶擬合精度提高近 60%,球標(biāo)靶的擬合精度較TLS方法提高近 30%,所以WTLS方法能夠得到更高精度的參數(shù)解。

圖6 觀測(cè)值及系數(shù)陣殘差Fig.6 Observations and residuals of plane and sphere targetswith LS、TLS andWTLSmethods

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APPL ICATI ON OF W EIGHTED TOTAL LEAST-SQUARES TO TARGET FITTING OF THREE-D IM ENSIONAL LASER SCANNING

ChenWeixian1),Chen Yi1,2),Yuan Qing1)and Ge Xuming1)

(1)Departm ent of Surveying and Geo-Infor m atics,Tongji University,Shanghai 200092 2)Key Laboratory of M odern Engineering Surveying,SBSM,Shanghai 200092)

According to the different laser reflection intensity of each cloud point and correcting partsof the coefficientmatrixAcolumn vectors,the weighted total least-square(WTLS)methods in the plane target and sphere target fitting of the terrestrial laser scanning is introduced,a more reasonable model than the least-square(LS) methods and the total least-square(TLS)methods is established,and the corresponding iterative algorithm is given. The calculated example proves that the model ismore reasonable indeed and the more accurate parameters solution can be obtained withWTLS.

point cloud;Error-In-Variables(EI V)model;target fitting;total least-square(TLS);weighted total least-square(WTLS)

1671-5942(2010)05-0090-07

2010-05-31

陳瑋嫻,女,1987年生,碩士,研究方向：大地測(cè)量與測(cè)量工程專業(yè)數(shù)據(jù)處理.E-mail：15531422@qq.com

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